Matrix ist ein spezielles Objekt in der Mathematik. Es wird in Form einer rechteckigen oder quadratischen Tabelle dargestellt, die aus einer bestimmten Anzahl von Zeilen und Sp alten besteht. In der Mathematik gibt es eine Vielzahl von Matrizentypen, die sich in Größe oder Inh alt unterscheiden. Die Nummern seiner Reihen und Sp alten werden Ordnungen genannt. Diese Objekte werden in der Mathematik verwendet, um das Schreiben linearer Gleichungssysteme zu organisieren und bequem nach ihren Ergebnissen zu suchen. Gleichungen, die eine Matrix verwenden, werden mit der Methode von Carl Gauss, Gabriel Cramer, Minoren und algebraischen Additionen und vielen anderen Methoden gelöst. Die grundlegende Fähigkeit bei der Arbeit mit Matrizen besteht darin, sie in eine Standardform zu bringen. Lassen Sie uns jedoch zuerst herausfinden, welche Arten von Matrizen von Mathematikern unterschieden werden.
Nulltyp
Alle Komponenten dieser Art von Matrix sind Nullen. Inzwischen ist die Anzahl seiner Zeilen und Sp alten völlig unterschiedlich.
Quadrattyp
Die Anzahl der Sp alten und Zeilen dieser Art von Matrix ist gleich. Mit anderen Worten, es handelt sich um einen "quadratischen" Tisch. Die Anzahl seiner Sp alten (oder Zeilen) wird als Ordnung bezeichnet. Sonderfälle sind das Vorhandensein einer Matrix zweiter Ordnung (Matrix 2x2), vierter Ordnung (4x4), zehnter (10x10), siebzehnter (17x17) und so weiter.
Sp altenvektor
Dies ist eine der einfachsten Arten von Matrizen, die nur eine Sp alte enthält, die drei numerische Werte enthält. Er repräsentiert eine Reihe freier Terme (von Variablen unabhängige Zahlen) in linearen Gleichungssystemen.
Zeilenvektor
Ansicht ähnlich der vorherigen. Besteht aus drei numerischen Elementen, die wiederum in einer Zeile angeordnet sind.
Diagon altyp
Nur Komponenten der Hauptdiagonale (grün hervorgehoben) nehmen numerische Werte in der Diagonalform der Matrix an. Die Hauptdiagonale beginnt jeweils mit dem Element in der oberen linken Ecke und endet mit dem Element in der unteren rechten Ecke. Die restlichen Komponenten sind Null. Der diagonale Typ ist nur eine quadratische Matrix irgendeiner Ordnung. Unter den Matrizen der Diagonalform kann man eine skalare hervorheben. Alle seine Komponenten nehmen dieselben Werte an.
Identitätsmatrix
Eine Unterart der Diagonalmatrix. Alle seine Zahlenwerte sind Einheiten. Verwenden Sie einen einzigen Typ von Matrixtabellen, führen Sie seine grundlegenden Transformationen durch oder finden Sie eine Matrix, die invers zur ursprünglichen ist.
Kanonischer Typ
Die kanonische Form einer Matrix gilt als eine der wichtigsten; Casting ist oft erforderlich, um zu funktionieren. Die Anzahl der Zeilen und Sp alten in der kanonischen Matrix ist unterschiedlich, sie gehört nicht unbedingt zum quadratischen Typ. Sie ist der Identitätsmatrix etwas ähnlich, jedoch nehmen in ihrem Fall nicht alle Komponenten der Hauptdiagonalen einen Wert gleich eins an. Es können zwei oder vier Hauptdiagonaleinheiten vorhanden sein (alles hängt von der Länge und Breite der Matrix ab). Oder es gibt überhaupt keine Einheiten (dann wird es als Null betrachtet). Die restlichen Komponenten des kanonischen Typs sowie die Elemente der Diagonale und der Identität sind gleich Null.
Dreieckstyp
Eine der wichtigsten Matrizenarten, die bei der Suche nach ihrer Determinante und bei der Durchführung einfacher Operationen verwendet wird. Der dreieckige Typ kommt vom diagonalen Typ, also ist die Matrix auch quadratisch. Die Dreiecksansicht der Matrix ist in ein oberes Dreieck und ein unteres Dreieck unterteilt.
In der oberen Dreiecksmatrix (Abb. 1) nehmen nur Elemente, die oberhalb der Hauptdiagonalen liegen, einen Wert gleich Null an. Die Komponenten der Diagonalen selbst und der Teil der Matrix darunter enth alten Zahlenwerte.
In der unteren Dreiecksmatrix (Abb. 2) hingegen sind die im unteren Teil der Matrix befindlichen Elemente gleich Null.
Schrittmatrix
Die Ansicht ist notwendig, um den Rang einer Matrix zu finden, sowie für elementare Operationen auf ihnen (zusammen mit dem dreieckigen Typ). Die Stufenmatrix wird so genannt, weil sie charakteristische "Stufen" von Nullen enthält (wie in der Abbildung gezeigt). Beim gestuften Typ wird eine Diagonale aus Nullen gebildet (nicht unbedingt die Hauptdiagonale), und alle Elemente unter dieser Diagonale haben auch Werte gleich Null. Voraussetzung ist: Wenn in der Schrittmatrix eine Nullzeile vorhanden ist, dann enth alten auch die restlichen Zeilen darunter keine Zahlenwerte.
Daher haben wir die wichtigsten Arten von Matrizen betrachtet, die benötigt werden, um mit ihnen zu arbeiten. Beschäftigen wir uns nun mit der Aufgabe, eine Matrix in die benötigte Form umzuwandeln.
Auf Dreiecksform reduzieren
Wie bringt man die Matrix in eine Dreiecksform? Meistens müssen Sie bei Aufgaben eine Matrix in eine Dreiecksform umwandeln, um ihre Determinante, auch Determinante genannt, zu finden. Bei diesem Verfahren ist es äußerst wichtig, die Hauptdiagonale der Matrix zu "erh alten", da die Determinante einer Dreiecksmatrix genau das Produkt der Komponenten ihrer Hauptdiagonale ist. Lassen Sie mich Sie auch an alternative Methoden zur Ermittlung der Determinante erinnern. Die quadratische Determinante wird mit speziellen Formeln gefunden. Sie können zum Beispiel die Dreiecksmethode verwenden. Für andere Matrizen wird die Methode der Zerlegung nach Zeile, Sp alte oder deren Elementen verwendet. Sie können auch die Methode der Minoren und algebraischen Komplemente der Matrix anwenden.
DetailsLassen Sie uns anhand von Beispielen einiger Aufgaben analysieren, wie eine Matrix in eine Dreiecksform gebracht wird.
Aufgabe 1
Es ist notwendig, die Determinante der dargestellten Matrix zu finden, indem man sie auf eine Dreiecksform bringt.
Die uns gegebene Matrix ist eine quadratische Matrix dritter Ordnung. Um es in eine Dreiecksform umzuwandeln, müssen wir daher zwei Komponenten der ersten Sp alte und eine Komponente der zweiten Sp alte aufheben.
Um es in eine dreieckige Form zu bringen, beginnen Sie die Transformation von der unteren linken Ecke der Matrix - von der Zahl 6. Um es auf Null zu bringen, multiplizieren Sie die erste Zeile mit drei und subtrahieren Sie sie von der letzten Zeile.
Wichtig! Die obere Zeile ändert sich nicht, bleibt aber gleich wie in der ursprünglichen Matrix. Sie müssen nicht das Vierfache des ursprünglichen Strings schreiben. Aber die Werte der Strings, deren Komponenten annulliert werden müssen, ändern sich ständig.
Als nächstes beschäftigen wir uns mit dem nächsten Wert - dem Element der zweiten Zeile der ersten Sp alte, Nummer 8. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit vier und subtrahieren Sie es von der zweiten Zeile. Wir bekommen null.
Nur der letzte Wert bleibt übrig - das Element der dritten Zeile der zweiten Sp alte. Dies ist die Zahl (-1). Um es auf Null zu stellen, subtrahieren Sie die zweite von der ersten Zeile.
Überprüfen wir:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Also lautet die Antwort auf die Aufgabe -22.
Aufgabe 2
Wir müssen die Determinante der Matrix finden, indem wir sie in eine Dreiecksform bringen.
Dargestellte Matrixgehört zum quadratischen Typ und ist eine Matrix vierter Ordnung. Das bedeutet, dass drei Komponenten der ersten Sp alte, zwei Komponenten der zweiten Sp alte und eine Komponente der dritten Sp alte genullt werden müssen.
Beginnen wir mit der Reduktion bei dem Element in der unteren linken Ecke - bei der Zahl 4. Wir müssen diese Zahl auf Null setzen. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die oberste Reihe mit vier zu multiplizieren und sie dann von der vierten Reihe zu subtrahieren. Schreiben wir das Ergebnis der ersten Stufe der Transformation auf.
Also wird die Komponente der vierten Zeile auf Null gesetzt. Kommen wir zum ersten Element der dritten Zeile, zur Zahl 3. Wir führen eine ähnliche Operation durch. Multipliziere die erste Zeile mit drei, subtrahiere sie von der dritten Zeile und schreibe das Ergebnis.
Als nächstes sehen wir die Zahl 2 in der zweiten Zeile. Wir wiederholen die Operation: Multiplizieren Sie die obere Reihe mit zwei und subtrahieren Sie sie von der zweiten.
Wir haben es geschafft, alle Komponenten der ersten Sp alte dieser quadratischen Matrix auf Null zu setzen, mit Ausnahme der Zahl 1, dem Element der Hauptdiagonale, das keiner Transformation bedarf. Jetzt ist es wichtig, die resultierenden Nullen beizubeh alten, daher führen wir Transformationen mit Zeilen und nicht mit Sp alten durch. Kommen wir zur zweiten Sp alte der dargestellten Matrix.
Fangen wir wieder ganz unten an - beim Element der zweiten Sp alte der letzten Zeile. Dies ist die Zahl (-7). In diesem Fall ist es jedoch bequemer, mit der Zahl (-1) zu beginnen - dem Element der zweiten Sp alte der dritten Zeile. Um es auf Null zu stellen, subtrahieren Sie die zweite Zeile von der dritten Zeile. Dann multiplizieren wir die zweite Reihe mit sieben und subtrahieren sie von der vierten. Wir haben Null anstelle des Elements, das sich in der vierten Zeile der zweiten Sp alte befindet. Kommen wir nun zum drittenSp alte.
In dieser Sp alte müssen wir nur eine Zahl auf Null setzen - 4. Es ist ganz einfach: Fügen Sie einfach die dritte zur letzten Zeile hinzu und sehen Sie die Null, die wir brauchen.
Nach all den Transformationen haben wir die vorgeschlagene Matrix in eine dreieckige Form gebracht. Um nun ihre Determinante zu finden, müssen Sie nur die resultierenden Elemente der Hauptdiagonale multiplizieren. Wir erh alten: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Daher ist die Lösung die Zahl 160.
Also, jetzt wird es dir nicht schwer fallen, die Matrix auf eine Dreiecksform zu bringen.
Reduktion auf Stufenform
Bei elementaren Operationen auf Matrizen ist die Stufenform weniger "gefordert" als die Dreiecksform. Es wird am häufigsten verwendet, um den Rang einer Matrix (dh die Anzahl ihrer Zeilen ungleich Null) zu ermitteln oder um linear abhängige und unabhängige Zeilen zu bestimmen. Die Stufenmatrixansicht ist jedoch vielseitiger, da sie nicht nur für den quadratischen Typ geeignet ist, sondern für alle anderen.
Um eine Matrix auf eine Stufenform zu reduzieren, müssen Sie zuerst ihre Determinante finden. Hierfür sind die oben genannten Verfahren geeignet. Der Zweck des Findens der Determinante besteht darin, herauszufinden, ob sie in eine Stufenmatrix umgewandelt werden kann. Wenn die Determinante größer oder kleiner als Null ist, können Sie sicher mit der Aufgabe fortfahren. Wenn es gleich Null ist, funktioniert es nicht, die Matrix auf eine Stufenform zu reduzieren. In diesem Fall müssen Sie überprüfen, ob der Datensatz oder die Matrixtransformationen fehlerhaft sind. Wenn solche Ungenauigkeiten nicht vorhanden sind, kann die Aufgabe nicht gelöst werden.
Mal sehen wieBringen Sie die Matrix anhand von Beispielen für mehrere Aufgaben in eine abgestufte Form.
Aufgabe 1. Finde den Rang der gegebenen Matrixtabelle.
Vor uns liegt eine quadratische Matrix dritter Ordnung (3x3). Wir wissen, dass es, um den Rang zu finden, notwendig ist, ihn auf eine abgestufte Form zu reduzieren. Daher müssen wir zuerst die Determinante der Matrix finden. Unter Verwendung der Dreiecksmethode: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinante=12. Sie ist größer als Null, was bedeutet, dass die Matrix auf eine Stufenform reduziert werden kann. Beginnen wir mit seinen Transformationen.
Beginnen wir mit dem Element der linken Sp alte der dritten Reihe - der Zahl 2. Multipliziere die oberste Reihe mit zwei und subtrahiere sie von der dritten. Dank dieser Operation wurde sowohl das benötigte Element als auch die Zahl 4 - das Element der zweiten Sp alte der dritten Zeile - zu Null.
Nulle als nächstes das Element der zweiten Zeile der ersten Sp alte - die Zahl 3. Multipliziere dazu die obere Zeile mit drei und subtrahiere sie von der zweiten.
Wir sehen, dass die Reduktion zu einer Dreiecksmatrix geführt hat. In unserem Fall kann die Transformation nicht fortgesetzt werden, da die restlichen Komponenten nicht auf Null gedreht werden können.
Daher schließen wir, dass die Anzahl der Zeilen mit numerischen Werten in dieser Matrix (oder ihrem Rang) 3 ist. Antwort auf die Aufgabe: 3.
Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen dieser Matrix.
Wir müssen Zeichenketten finden, die durch keine Transformationen rückgängig gemacht werden könnenbis Null. Tatsächlich müssen wir die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen oder den Rang der dargestellten Matrix finden. Vereinfachen wir es dazu.
Wir sehen eine Matrix, die nicht zum quadratischen Typ gehört. Es hat die Maße 3x4. Beginnen wir die Besetzung auch mit dem Element in der unteren linken Ecke - der Zahl (-1).
Füge die erste Zeile zur dritten hinzu. Subtrahiere als nächstes die Sekunde davon, um die Zahl 5 auf Null zu setzen.
Weitere Transformationen sind nicht möglich. Daraus schließen wir, dass die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen darin und die Antwort auf die Aufgabe 3 ist.
Nun ist es keine unmögliche Aufgabe für Sie, die Matrix in eine abgestufte Form zu bringen.
An den Beispielen dieser Aufgaben haben wir die Reduktion einer Matrix auf eine Dreiecksform und eine Stufenform analysiert. Um die gewünschten Werte von Matrixtabellen zu annullieren, ist es in einigen Fällen erforderlich, Vorstellungskraft zu zeigen und ihre Sp alten oder Zeilen korrekt umzuwandeln. Viel Glück in Mathe und Arbeiten mit Matrizen!
