Eine der charakteristischen Eigenschaften jeder Welle ist ihre Fähigkeit, sich an Hindernissen zu beugen, deren Größe mit der Wellenlänge dieser Welle vergleichbar ist. Diese Eigenschaft wird in den sogenannten Beugungsgittern genutzt. Was sie sind und wie sie zur Analyse der Emissions- und Absorptionsspektren verschiedener Materialien verwendet werden können, wird im Artikel diskutiert.
Beugungsphänomen
Dieses Phänomen besteht darin, die Bahn der geradlinigen Ausbreitung einer Welle zu ändern, wenn ein Hindernis auf ihrem Weg erscheint. Anders als Brechung und Reflexion macht sich die Beugung nur an sehr kleinen Hindernissen bemerkbar, deren geometrische Abmessungen in der Größenordnung einer Wellenlänge liegen. Es gibt zwei Arten von Beugung:
- Welle, die sich um ein Objekt krümmt, wenn die Wellenlänge viel größer ist als die Größe dieses Objekts;
- Streuung einer Welle beim Durchgang durch Löcher unterschiedlicher geometrischer Form, wenn die Abmessungen der Löcher kleiner als die Wellenlänge sind.
Das Phänomen der Beugung ist charakteristisch für Schall, Meer und elektromagnetische Wellen. Weiter unten in diesem Artikel betrachten wir ein Beugungsgitter nur für Licht.
Störphänomen
Beugungsmuster, die an verschiedenen Hindernissen (runde Löcher, Schlitze und Gitter) auftreten, sind nicht nur das Ergebnis von Beugung, sondern auch von Interferenzen. Die Essenz des letzteren ist die Überlagerung von Wellen, die von verschiedenen Quellen ausgesandt werden. Wenn diese Quellen Wellen ausstrahlen, während sie eine Phasendifferenz zwischen ihnen beibeh alten (die Eigenschaft der Kohärenz), dann kann ein stabiles Interferenzmuster über die Zeit beobachtet werden.
Die Lage der Maxima (helle Bereiche) und Minima (dunkle Zonen) erklärt sich wie folgt: Treffen zwei Wellen an einem bestimmten Punkt gegenphasig ein (eine mit maximaler und die andere mit minimaler absoluter Amplitude), dann "zerstören" sie sich gegenseitig, und an diesem Punkt wird ein Minimum beobachtet. Kommen dagegen zwei Wellen in gleicher Phase auf einen Punkt, dann verstärken sie sich gegenseitig (maximal).
Beide Phänomene wurden erstmals 1801 von dem Engländer Thomas Young beschrieben, als er die Beugung an zwei Sp alten untersuchte. Der Italiener Grimaldi beobachtete dieses Phänomen jedoch erstmals 1648, als er das Beugungsmuster untersuchte, das durch Sonnenlicht entsteht, das durch ein kleines Loch fällt. Grimaldi konnte die Ergebnisse seiner Experimente nicht erklären.
Mathematische Methode zur Untersuchung der Beugung
Diese Methode wird Huygens-Fresnel-Prinzip genannt. Sie besteht in der Behauptung, dass dabeiAusbreitung der Wellenfront, jeder ihrer Punkte ist eine Quelle von Sekundärwellen, deren Interferenz die resultierende Schwingung an einem beliebigen betrachteten Punkt bestimmt.
Das beschriebene Prinzip wurde von Augustin Fresnel in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts entwickelt. Gleichzeitig ging Fresnel von den Ideen der Wellentheorie von Christian Huygens aus.
Obwohl das Huygens-Fresnel-Prinzip theoretisch nicht streng ist, wurde es erfolgreich verwendet, um Experimente mit Beugung und Interferenz mathematisch zu beschreiben.
Beugung im Nah- und Fernfeld
Beugung ist ein ziemlich komplexes Phänomen, dessen exakte mathematische Lösung die Berücksichtigung von Maxwells Theorie des Elektromagnetismus erfordert. Daher werden in der Praxis nur Sonderfälle dieses Phänomens unter Verwendung verschiedener Näherungen betrachtet. Wenn die Wellenfront flach auf das Hindernis trifft, werden zwei Beugungsarten unterschieden:
- im Nahfeld oder Fresnel-Beugung;
- im Fernfeld oder Fraunhofer-Beugung.
Die Worte "Fern- und Nahfeld" bedeuten den Abstand zum Bildschirm, auf dem das Beugungsmuster beobachtet wird.
Der Übergang zwischen Fraunhofer- und Fresnel-Beugung kann abgeschätzt werden, indem die Fresnel-Zahl für einen bestimmten Fall berechnet wird. Diese Nummer ist wie folgt definiert:
F=a2/(Dλ).
Hierbei ist λ die Wellenlänge des Lichts, D der Abstand zum Bildschirm, a die Größe des Objekts, an dem die Beugung auftritt.
Wenn F<1, dann überlegen Sie es sichbereits Nahfeldannäherungen.
Viele praktische Fälle, einschließlich der Verwendung eines Beugungsgitters, werden in der Fernfeldnäherung betrachtet.
Das Konzept eines Gitters, an dem Wellen gebeugt werden
Dieses Gitter ist ein kleines flaches Objekt, auf dem auf irgendeine Weise eine periodische Struktur, wie Streifen oder Rillen, aufgebracht ist. Ein wichtiger Parameter eines solchen Gitters ist die Anzahl der Streifen pro Längeneinheit (üblicherweise 1 mm). Dieser Parameter wird als Gitterkonstante bezeichnet. Außerdem bezeichnen wir es mit dem Symbol N. Der Kehrwert von N bestimmt den Abstand zwischen benachbarten Streifen. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben d, dann:
d=1/N.
Wenn eine ebene Welle auf ein solches Gitter trifft, erfährt sie periodische Störungen. Letztere werden auf dem Bildschirm in Form eines bestimmten Bildes angezeigt, das das Ergebnis von Welleninterferenzen ist.
Gitterarten
Es gibt zwei Arten von Beugungsgittern:
- durchgehend oder transparent;
- reflektierend.
Die ersten werden durch Auftragen undurchsichtiger Striche auf Glas hergestellt. Mit solchen Platten arbeiten sie in Labors, sie werden in Spektroskopen verwendet.
Der zweite Typ, dh reflektierende Gitter, werden hergestellt, indem periodische Rillen auf das polierte Material aufgebracht werden. Ein auffälliges alltägliches Beispiel für ein solches Gitter ist eine Plastik-CD oder -DVD.
Gittergleichung
Unter Berücksichtigung der Fraunhofer-Beugung an einem Gitter lässt sich für die Lichtintensität im Beugungsmuster folgender Ausdruck schreiben:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, wobei
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parameter a ist die Breite eines Slots und Parameter d ist der Abstand zwischen ihnen. Ein wichtiges Merkmal im Ausdruck für I(θ) ist der Winkel θ. Dies ist der Winkel zwischen der Mittelsenkrechten zur Gitterebene und einem bestimmten Punkt im Beugungsmuster. In Experimenten wird sie mit einem Goniometer gemessen.
In der angegebenen Formel bestimmt der Ausdruck in Klammern die Beugung an einem Sp alt, und der Ausdruck in eckigen Klammern ist das Ergebnis der Welleninterferenz. Analysiert man es für die Bedingung der Interferenzmaxima, so erhält man folgende Formel:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Winkel θ0 charakterisiert die auf das Gitter einfallende Welle. Wenn die Wellenfront parallel dazu ist, dann ist θ0=0, und der letzte Ausdruck wird zu:
sin(θm)=mλ/d.
Diese Formel wird Beugungsgittergleichung genannt. Der Wert von m kann beliebige ganze Zahlen annehmen, einschließlich negativer Einsen und Null, er wird Beugungsordnung genannt.
Gittergleichungsanalyse
Im vorigen Absatz haben wir es herausgefundendass die Lage der Hauptmaxima durch die Gleichung beschrieben wird:
sin(θm)=mλ/d.
Wie kann es in die Praxis umgesetzt werden? Sie wird hauptsächlich verwendet, wenn das auf ein Beugungsgitter mit einer Periode d auftreffende Licht in einzelne Farben zerlegt wird. Je länger die Wellenlänge λ ist, desto größer wird der Winkelabstand zum ihr entsprechenden Maximum. Durch Messen des entsprechenden θm für jede Welle können Sie ihre Länge berechnen und somit das gesamte Spektrum des strahlenden Objekts bestimmen. Wenn wir dieses Spektrum mit den Daten einer bekannten Datenbank vergleichen, können wir sagen, welche chemischen Elemente es emittiert haben.
Das obige Verfahren wird in Spektrometern verwendet.
Gitterauflösung
Darunter versteht man einen solchen Unterschied zwischen zwei Wellenlängen, die im Beugungsbild als getrennte Linien erscheinen. Tatsache ist, dass jede Linie eine bestimmte Dicke hat. Wenn zwei Wellen mit nahen Werten von λ und λ + Δλ gebeugt werden, können die ihnen entsprechenden Linien im Bild zu einer verschmelzen. Im letzteren Fall soll die Gitterauflösung kleiner als Δλ sein.
Wenn wir die Argumente zur Herleitung der Formel für die Gitterauflösung weglassen, präsentieren wir ihre endgültige Form:
Δλ>λ/(mN).
Diese kleine Formel lässt uns schlussfolgern: Mit einem Gitter kann man je näher die Wellenlängen (Δλ) trennen, je länger die Wellenlänge des Lichts λ, desto größer die Anzahl der Striche pro Längeneinheit(Gitterkonstante N) und je höher die Beugungsordnung ist. Bleiben wir beim letzten.
Wenn man sich das Beugungsmuster ansieht, dann nimmt mit zunehmendem m tatsächlich der Abstand zwischen benachbarten Wellenlängen zu. Um jedoch hohe Beugungsordnungen nutzen zu können, ist es erforderlich, dass die Lichtintensität auf ihnen für Messungen ausreicht. Auf einem herkömmlichen Beugungsgitter fällt sie mit zunehmendem m schnell ab. Daher werden für diese Zwecke spezielle Gitter verwendet, die so hergestellt sind, dass sie die Lichtintensität zugunsten großer m umverteilen. In der Regel handelt es sich dabei um Reflexionsgitter, deren Beugungsmuster sich für große θ0.
ergibt
Als nächstes ziehen Sie in Betracht, die Gittergleichung zu verwenden, um mehrere Probleme zu lösen.
Aufgaben zur Bestimmung von Beugungswinkeln, Beugungsordnung und Gitterkonstanten
Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung mehrerer Probleme geben:
Um die Periode des Beugungsgitters zu bestimmen, wird folgender Versuch durchgeführt: Man nimmt eine monochromatische Lichtquelle, deren Wellenlänge ein bekannter Wert ist. Mit Hilfe von Linsen wird eine parallele Wellenfront gebildet, dh es werden Bedingungen für die Fraunhofer-Beugung geschaffen. Dann wird diese Front auf ein Beugungsgitter gerichtet, dessen Periode unbekannt ist. Im resultierenden Bild werden die Winkel für verschiedene Ordnungen mit einem Goniometer gemessen. Dann berechnet die Formel den Wert des unbekannten Zeitraums. Führen wir diese Rechnung an einem konkreten Beispiel durch
Die Wellenlänge des Lichts sei 500 nm und der Winkel für die erste Beugungsordnung sei 21o. Basierend auf diesen Daten ist es notwendig, die Periode des Beugungsgitters d zu bestimmen.
Benutze die Gittergleichung, drücke d aus und setze die Daten ein:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Dann ist die Gitterkonstante N:
N=1/d ≈ 714 Linien pro 1 mm.
Licht fällt normalerweise auf ein Beugungsgitter mit einer Periode von 5 Mikrometern. Da die Wellenlänge λ=600 nm ist, ist es notwendig, die Winkel zu finden, bei denen die Maxima der ersten und zweiten Ordnung auftreten
Für das erste Maximum erh alten wir:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Das zweite Maximum erscheint für den Winkel θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Monochromatisches Licht fällt auf ein Beugungsgitter mit einer Periode von 2 Mikrometern. Seine Wellenlänge beträgt 550 nm. Es ist notwendig herauszufinden, wie viele Beugungsordnungen im resultierenden Bild auf dem Bildschirm erscheinen werden
Ein solches Problem wird wie folgt gelöst: Zunächst soll die Abhängigkeit des Winkels θm von der Beugungsordnung für die Bedingungen des Problems bestimmt werden. Danach muss berücksichtigt werden, dass die Sinusfunktion keine Werte größer als eins annehmen kann. Die letzte Tatsache wird uns erlauben, dieses Problem zu beantworten. Lassen Sie uns die beschriebenen Aktionen ausführen:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Diese Gleichheit zeigt, dass bei m=4 der Ausdruck auf der rechten Seite gleich 1 wird,1, und bei m=3 ist es gleich 0,825. Das bedeutet, dass Sie mit einem Beugungsgitter mit einer Periode von 2 μm bei einer Wellenlänge von 550 nm die maximale 3. Beugungsordnung erh alten können.
Das Problem der Berechnung der Gitterauflösung
Nehmen Sie an, dass sie für das Experiment ein Beugungsgitter mit einer Periode von 10 Mikrometern verwenden werden. Es muss berechnet werden, um welche minimale Wellenlänge sich die Wellen bei λ=580 nm unterscheiden können, damit sie als getrennte Maxima auf dem Bildschirm erscheinen.
Die Antwort auf dieses Problem hängt mit der Bestimmung der Auflösung des betrachteten Gitters für eine gegebene Wellenlänge zusammen. Zwei Wellen können sich also um Δλ>λ/(mN) unterscheiden. Da die Gitterkonstante umgekehrt proportional zur Periode d ist, kann dieser Ausdruck wie folgt geschrieben werden:
Δλ>λd/m.
Nun schreiben wir für die Wellenlänge λ=580 nm die Gittergleichung:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Wo wir bekommen, dass die maximale Ordnung von m 17 ist. Wenn wir diese Zahl in die Formel für Δλ einsetzen, haben wir:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 oder 0.00034 nm.
Wir haben eine sehr hohe Auflösung, wenn die Periode des Beugungsgitters 10 Mikrometer beträgt. In der Praxis wird sie wegen der geringen Intensitäten der Maxima hoher Beugungsordnungen in der Regel nicht erreicht.
