Algebraische Ungleichungen oder ihre Systeme mit rationalen Koeffizienten, deren Lösungen in ganzen oder ganzen Zahlen gesucht werden. In der Regel ist die Anzahl der Unbekannten in diophantischen Gleichungen größer. Daher werden sie auch als unbestimmte Ungleichungen bezeichnet. In der modernen Mathematik wird das obige Konzept auf algebraische Gleichungen angewendet, deren Lösungen in algebraischen ganzen Zahlen einer gewissen Erweiterung des Körpers der Q-rationalen Variablen, des Körpers der p-adischen Variablen usw. gesucht werden.
Die Ursprünge dieser Ungleichheiten
Das Studium der diophantischen Gleichungen steht an der Grenze zwischen Zahlentheorie und algebraischer Geometrie. Das Finden von Lösungen in ganzzahligen Variablen ist eines der ältesten mathematischen Probleme. Bereits zu Beginn des zweiten Jahrtausends v. den alten Babyloniern gelang es, Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten zu lösen. Dieser Zweig der Mathematik blühte im antiken Griechenland am stärksten auf. Die Arithmetik des Diophantus (ca. 3. Jh. n. Chr.) ist eine bedeutende und zentrale Quelle, die verschiedene Arten und Systeme von Gleichungen enthält.
In diesem Buch sah Diophantus eine Reihe von Methoden vor, um die Ungleichungen der zweiten und dritten zu untersuchenAbschlüsse, die im 19. Jahrhundert vollständig entwickelt wurden. Die Schaffung der Theorie der rationalen Zahlen durch diesen Forscher des antiken Griechenlands führte zur Analyse logischer Lösungen für unbestimmte Systeme, die in seinem Buch systematisch verfolgt werden. Obwohl seine Arbeit Lösungen für spezifische diophantische Gleichungen enthält, gibt es Grund zu der Annahme, dass er auch mit mehreren allgemeinen Methoden vertraut war.
Das Studium dieser Ungleichheiten ist meist mit großen Schwierigkeiten verbunden. Aufgrund der Tatsache, dass sie Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten F (x, y1, …, y) enth alten. Daraus wurde geschlossen, dass es keinen einzigen Algorithmus gibt, der verwendet werden könnte, um für ein gegebenes x zu bestimmen, ob die Gleichung F (x, y1, …., y ). Die Situation ist lösbar für y1, …, y . Beispiele für solche Polynome können geschrieben werden.
Die einfachste Ungleichung
ax + by=1, wobei a und b relativ ganze Zahlen und Primzahlen sind, hat es eine riesige Anzahl von Ausführungen (wenn x0, y0 das Ergebnis wird gebildet, dann das Variablenpaar x=x0 + b und y=y0 -an, wobei n beliebig ist, wird ebenfalls als Ungleichung betrachtet). Ein weiteres Beispiel für diophantische Gleichungen ist x2 + y2 =z2. Die positiven ganzzahligen Lösungen dieser Ungleichung sind die Längen der kleinen Seiten x, y und rechtwinkliger Dreiecke sowie der Hypotenuse z mit ganzzahligen Seitenabmessungen. Diese Zahlen sind als pythagoräische Zahlen bekannt. Alle Tripletts in Bezug auf Prim angezeigtobige Variablen sind gegeben durch x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, wobei m und n ganze Zahlen und Primzahlen sind (m>n>0).
Diophantus sucht in seiner Arithmetik nach rationalen (nicht unbedingt integralen) Lösungen spezieller Arten seiner Ungleichungen. Eine allgemeine Theorie zur Lösung diophantischer Gleichungen ersten Grades wurde im 17. Jahrhundert von C. G. Baschet entwickelt. Andere Wissenschaftler untersuchten zu Beginn des 19. Jahrhunderts hauptsächlich ähnliche Ungleichungen wie ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, wobei a, b, c, d, e und f allgemein, heterogen sind, mit zwei Unbekannten zweiten Grades. Lagrange verwendete in seiner Studie Kettenbrüche. Gauß für quadratische Formen entwickelte eine allgemeine Theorie, die einigen Arten von Lösungen zugrunde liegt.
Bei der Erforschung dieser Ungleichheiten zweiten Grades wurden erst im 20. Jahrhundert bedeutende Fortschritte erzielt. A. Thue fand heraus, dass die diophantische Gleichung a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, wobei n≧3, a0, …, a , c sind ganze Zahlen und a0tn + …+ a kann nicht unendlich viele ganzzahlige Lösungen haben. Die Methode von Thue war jedoch nicht richtig entwickelt. A. Baker hat effektive Theoreme entwickelt, die Schätzungen über die Leistung einiger Gleichungen dieser Art liefern. BN Delaunay schlug eine andere Untersuchungsmethode vor, die auf eine engere Klasse dieser Ungleichheiten anwendbar ist. Insbesondere die Form ax3 + y3 =1 ist auf diese Weise vollständig auflösbar.
Diophantinische Gleichungen: Lösungsmethoden
Die Theorie des Diophantus hat viele Richtungen. Ein bekanntes Problem in diesem System ist also die Hypothese, dass es keine nicht-triviale Lösung der diophantischen Gleichungen xn + y =z gibt n if n ≧ 3 (Frage von Fermat). Das Studium der ganzzahligen Erfüllungen der Ungleichung ist eine natürliche Verallgemeinerung des Problems der pythagoreischen Tripel. Euler erhielt eine positive Lösung des Fermatschen Problems für n=4. Aufgrund dieses Ergebnisses bezieht es sich auf den Beweis der fehlenden ganzzahligen, von Null verschiedenen Studien der Gleichung, wenn n eine ungerade Primzahl ist.
Die Studie zur Entscheidung ist noch nicht abgeschlossen. Die Schwierigkeiten bei der Implementierung hängen damit zusammen, dass die einfache Faktorisierung im Ring der algebraischen ganzen Zahlen nicht eindeutig ist. Die Theorie der Teiler in diesem System für viele Klassen von Primzahlexponenten n ermöglicht es, die Gültigkeit des Satzes von Fermat zu bestätigen. Somit ist die lineare diophantische Gleichung mit zwei Unbekannten durch die bestehenden Methoden und Wege erfüllt.
Arten und Typen der beschriebenen Aufgaben
Arithmetik von Ringen algebraischer ganzer Zahlen wird auch in vielen anderen Problemen und Lösungen diophantischer Gleichungen verwendet. Solche Verfahren wurden beispielsweise bei der Erfüllung von Ungleichungen der Form N(a1 x1 +…+ a x)=m, wobei N(a) die Norm von a ist, und x1, …, xn ganzzahlige rationale Variablen werden gefunden. Diese Klasse enthält die Pell-Gleichung x2–dy2=1.
Die Werte a1, …, a erscheinen, diese Gleichungen werden in zwei Typen unterteilt. Der erste Typ – die sogenannten vollständigen Formen – umfasst Gleichungen, in denen unter a m linear unabhängige Zahlen über dem Körper der rationalen Variablen Q stehen, wobei m=[Q(a1, …, a):Q], in dem es einen Grad algebraischer Exponenten Q (a1, …, a ) über Q gibt. Unvollständige Arten sind die in die die maximale Anzahl von a i kleiner als m.
Vollständige Formulare sind einfacher, ihr Studium ist abgeschlossen, und alle Lösungen können beschrieben werden. Der zweite Typ, die unvollständigen Arten, ist komplizierter, und die Entwicklung einer solchen Theorie ist noch nicht abgeschlossen. Solche Gleichungen werden unter Verwendung diophantischer Näherungen untersucht, die die Ungleichung F(x, y)=C enth alten, wobei F(x, y) ein irreduzibles, homogenes Polynom vom Grad n≥3 ist. Wir können also annehmen, dass yi→∞. Wenn also yi groß genug ist, dann widerspricht die Ungleichung dem Theorem von Thue, Siegel und Roth, woraus folgt, dass F(x, y)=C, wobei F ist eine Form dritten Grades oder höher, das Irreduzible kann nicht unendlich viele Lösungen haben.
Wie löst man eine diophantische Gleichung?
Dieses Beispiel ist eine ziemlich schmale Klasse unter allen. Zum Beispiel sind x3 + y3 + z3=N und x2 +y 2 +z2 +u2 =N sind nicht in dieser Klasse enth alten. Das Studium der Lösungen ist ein ziemlich sorgfältig untersuchter Zweig der diophantischen Gleichungen, dessen Grundlage die Darstellung durch quadratische Formen von Zahlen ist. Lagrangeeinen Satz erstellt, der besagt, dass die Erfüllung für alle natürlichen N existiert. Jede natürliche Zahl kann als Summe von drei Quadraten dargestellt werden (Satz von Gauß), aber sie sollte nicht die Form 4a haben (8K- 1), wobei a und k nicht negative ganzzahlige Exponenten sind.
Rationale oder integrale Lösungen eines Systems einer diophantischen Gleichung vom Typ F (x1, …, x)=a, wobei F (x 1, …, x) ist eine quadratische Form mit ganzzahligen Koeffizienten. Somit ist nach dem Satz von Minkowski-Hasse die Ungleichung ∑aijxixj=b ij und b ist rational, hat für jede Primzahl p nur dann eine ganzzahlige Lösung in reellen und p-adischen Zahlen, wenn sie in dieser Struktur lösbar ist.
Aufgrund der inhärenten Schwierigkeiten wurde das Studium von Zahlen mit willkürlichen Formen des dritten Grades und darüber weniger untersucht. Die Hauptausführungsmethode ist die Methode der trigonometrischen Summen. In diesem Fall wird die Anzahl der Lösungen der Gleichung explizit als Fourier-Integral geschrieben. Danach wird die Umgebungsmethode verwendet, um die Anzahl der Erfüllungen der Ungleichung der entsprechenden Kongruenzen auszudrücken. Die Methode der trigonometrischen Summen hängt von den algebraischen Merkmalen der Ungleichungen ab. Es gibt eine Vielzahl elementarer Methoden zur Lösung linearer diophantischer Gleichungen.
Diophantine Analyse
Fakultät für Mathematik, deren Gegenstand das Studium der integralen und rationalen Lösungen von Gleichungssystemen der Algebra mit Methoden der Geometrie ist, aus derselbenKugeln. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts führte das Aufkommen dieser Zahlentheorie zum Studium der diophantischen Gleichungen aus einem beliebigen Bereich mit Koeffizienten, und Lösungen wurden entweder in ihr oder in ihren Ringen betrachtet. Parallel zu den Zahlen entwickelte sich das System der algebraischen Funktionen. Die grundlegende Analogie zwischen beiden, die von D. Hilbert und insbesondere von L. Kronecker betont wurde, führte zur einheitlichen Konstruktion verschiedener arithmetischer Begriffe, die üblicherweise als global bezeichnet werden.
Dies ist besonders auffällig, wenn die zu untersuchenden algebraischen Funktionen über einem endlichen Körper von Konstanten eine Variable sind. Konzepte wie Klassenkörpertheorie, Divisor und Verzweigung und Ergebnisse sind eine gute Illustration für das Obige. Diese Sichtweise wurde erst später in das System der diophantischen Ungleichungen übernommen, und die systematische Forschung nicht nur mit numerischen Koeffizienten, sondern auch mit Koeffizienten, die Funktionen sind, begann erst in den 1950er Jahren. Einer der entscheidenden Faktoren bei diesem Ansatz war die Entwicklung der algebraischen Geometrie. Das gleichzeitige Studium der Bereiche Zahlen und Funktionen, die sich als zwei gleich wichtige Aspekte desselben Themas ergeben, lieferte nicht nur elegante und überzeugende Ergebnisse, sondern führte zu einer gegenseitigen Bereicherung der beiden Themen.
In der algebraischen Geometrie wird der Begriff einer Varietät durch einen nicht-invarianten Satz von Ungleichungen über einem gegebenen Körper K ersetzt, und ihre Lösungen werden durch rationale Punkte mit Werten in K oder in seiner endlichen Erweiterung ersetzt. Man kann dementsprechend sagen, dass das grundlegende Problem der diophantischen Geometrie das Studium rationaler Punkte isteiner algebraischen Menge X(K), wobei X bestimmte Zahlen im Körper K sind. Ganzzahlige Ausführung hat eine geometrische Bedeutung in linearen diophantischen Gleichungen.
Ungleichheitsstudien und Ausführungsoptionen
Wenn man rationale (oder integrale) Punkte auf algebraischen Varietäten untersucht, taucht das erste Problem auf, nämlich ihre Existenz. Hilberts zehntes Problem ist formuliert als das Problem, eine allgemeine Methode zur Lösung dieses Problems zu finden. Bei der Erstellung einer genauen Definition des Algorithmus und nachdem bewiesen wurde, dass es für eine große Anzahl von Problemen keine solchen Ausführungen gibt, erhielt das Problem ein offensichtlich negatives Ergebnis, und die interessanteste Frage ist die Definition von Klassen diophantischer Gleichungen für die das obige System existiert. Der algebraisch natürlichste Ansatz ist das sogenannte Hasse-Prinzip: Der Anfangskörper K wird zusammen mit seinen Vervollständigungen Kv über alle möglichen Abschätzungen untersucht. Da X(K)=X(Kv) eine notwendige Existenzbedingung sind und der K-Punkt berücksichtigt, dass die Menge X(Kv) ist nicht für alle v. leer
Die Bedeutung liegt darin, dass es zwei Probleme zusammenbringt. Die zweite ist viel einfacher, sie ist mit einem bekannten Algorithmus lösbar. In dem speziellen Fall, in dem die Varietät X projektiv ist, ermöglichen Hänsels Lemma und seine Verallgemeinerungen eine weitere Reduktion: Das Problem kann auf die Untersuchung rationaler Punkte über einem endlichen Körper reduziert werden. Dann beschließt er, ein Konzept zu entwickeln, entweder durch konsequente Forschung oder effektivere Methoden.
ZuletztEine wichtige Überlegung ist, dass die Mengen X(Kv) für alle bis auf eine endliche Anzahl von v nicht leer sind, sodass die Anzahl der Bedingungen immer endlich ist und sie effektiv getestet werden können. Das Hassesche Prinzip gilt jedoch nicht für Gradkurven. Zum Beispiel hat 3x3 + 4y3=5 Punkte in allen p-adischen Zahlenfeldern und im System der reellen Zahlen, hat aber keine rationalen Punkte.
Diese Methode diente als Ausgangspunkt für die Konstruktion eines Konzepts, das die Klassen der wichtigsten homogenen Räume abelscher Varietäten beschreibt, um eine "Abweichung" vom Hasse-Prinzip durchzuführen. Sie wird durch eine spezielle Struktur beschrieben, die jeder Mannigf altigkeit zugeordnet werden kann (Tate-Shafarevich-Gruppe). Die Hauptschwierigkeit der Theorie liegt darin, dass Methoden zur Berechnung von Gruppen schwer erhältlich sind. Dieses Konzept wurde auch auf andere Klassen algebraischer Varietäten ausgedehnt.
Suche nach einem Algorithmus zur Erfüllung von Ungleichungen
Eine weitere heuristische Idee, die beim Studium diophantischer Gleichungen verwendet wird, ist, dass das System normalerweise eine Lösung hat, wenn die Anzahl der Variablen, die an einer Reihe von Ungleichungen beteiligt sind, groß ist. Dies ist jedoch im Einzelfall nur sehr schwer nachzuweisen. Der allgemeine Ansatz für Probleme dieser Art verwendet die analytische Zahlentheorie und basiert auf Schätzungen für trigonometrische Summen. Diese Methode wurde ursprünglich auf spezielle Arten von Gleichungen angewendet.
Später wurde jedoch mit ihrer Hilfe bewiesen, dass, wenn die Form eines ungeraden Grads F ist, in dund n Variablen und mit rationalen Koeffizienten, dann ist n groß genug gegen d, also hat die projektive Hyperfläche F=0 einen rationalen Punkt. Nach Artins Vermutung gilt dieses Ergebnis auch dann, wenn n > d2 ist. Dies ist nur für quadratische Formen bewiesen. Ähnliche Probleme können auch für andere Felder gestellt werden. Das zentrale Problem der diophantischen Geometrie ist die Struktur der Menge ganzzahliger oder rationaler Punkte und ihre Untersuchung, und die erste zu klärende Frage ist, ob diese Menge endlich ist. Bei diesem Problem hat die Situation normalerweise eine endliche Anzahl von Ausführungen, wenn der Grad des Systems viel größer ist als die Anzahl der Variablen. Dies ist die Grundannahme.
Ungleichungen auf Geraden und Kurven
Die Gruppe X(K) kann als direkte Summe einer freien Struktur vom Rang r und einer endlichen Gruppe der Ordnung n dargestellt werden. Seit den 1930er Jahren beschäftigt man sich mit der Frage, ob diese Zahlen auf der Menge aller elliptischen Kurven über einem gegebenen Feld K beschränkt sind. Die Beschränktheit der Torsion n wurde in den siebziger Jahren nachgewiesen. Im funktionalen Fall gibt es Kurven beliebig hohen Ranges. Im numerischen Fall gibt es noch keine Antwort auf diese Frage.
Schließlich besagt Mordells Vermutung, dass die Anzahl der ganzzahligen Punkte für eine Kurve des Geschlechts g>1 endlich ist. Im funktionalen Fall wurde dieses Konzept 1963 von Yu I. Manin demonstriert. Das Hauptwerkzeug zum Beweis von Endlichkeitssätzen in der diophantischen Geometrie ist die Höhe. Von den algebraischen Varietäten sind Dimensionen über eins abelschMannigf altigkeiten, die die mehrdimensionalen Analoga elliptischer Kurven sind, wurden am gründlichsten untersucht.
A. Weil verallgemeinerte den Satz über die Endlichkeit der Anzahl von Erzeugern einer Gruppe rationaler Punkte auf abelsche Varietäten beliebiger Dimension (das Mordell-Weil-Konzept) und erweiterte ihn. In den 1960er Jahren erschien die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, die diese sowie die Gruppe und die Zeta-Funktionen der Mannigf altigkeit verbesserte. Numerische Beweise stützen diese Hypothese.
Lösbarkeitsproblem
Das Problem, einen Algorithmus zu finden, der verwendet werden kann, um zu bestimmen, ob irgendeine diophantische Gleichung eine Lösung hat. Ein wesentliches Merkmal der gestellten Problemstellung ist die Suche nach einer universellen Methode, die für jede Ungleichheit geeignet wäre. Ein solches Verfahren würde auch die Lösung der obigen Systeme ermöglichen, da es äquivalent ist zu P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 oder p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Das Problem, solch einen universellen Weg zu finden, um Lösungen für lineare Ungleichungen in ganzen Zahlen zu finden, wurde von D. Gilbert.
In den frühen 1950er Jahren erschienen die ersten Studien, die darauf abzielten, die Nichtexistenz eines Algorithmus zur Lösung diophantischer Gleichungen zu beweisen. Zu dieser Zeit tauchte die Davis-Vermutung auf, die besagte, dass jede aufzählbare Menge auch dem griechischen Wissenschaftler gehört. Denn Beispiele für algorithmisch unentscheidbare Mengen sind bekannt, aber rekursiv aufzählbar. Daraus folgt, dass die Davis-Vermutung wahr ist und das Problem der Lösbarkeit dieser Gleichungenhat eine negative Ausführung.
Danach bleibt für die Davis-Vermutung noch zu beweisen, dass es eine Methode zur Transformation einer Ungleichung gibt, die gleichzeitig auch (oder nicht) eine Lösung hat. Es wurde gezeigt, dass eine solche Änderung der diophantischen Gleichung möglich ist, wenn sie die beiden obigen Eigenschaften hat: 1) in jeder Lösung dieses Typs v ≦ uu; 2) für jedes k gibt es eine Ausführung mit exponentiellem Wachstum.
Ein Beispiel einer linearen diophantischen Gleichung dieser Klasse vervollständigte den Beweis. Das Problem der Existenz eines Algorithmus zur Lösbarkeit und Erkennung dieser Ungleichungen in rationalen Zahlen gilt nach wie vor als wichtige und offene Frage, die noch nicht ausreichend untersucht ist.
