Eine der wichtigen Fragen beim Studium thermodynamischer Systeme in der Physik ist die Frage, ob dieses System nützliche Arbeit leisten kann. Eng verwandt mit dem Begriff der Arbeit ist der Begriff der inneren Energie. In diesem Artikel betrachten wir die innere Energie eines idealen Gases und geben Formeln zu ihrer Berechnung an.
Ideales Gas
Über Gas, als einen Aggregatzustand, der bei äußerer Einwirkung keine elastische Kraft auf ihn ausübt und dadurch Volumen und Form nicht behält, weiß jedes Schulkind. Das Konzept eines idealen Gases bleibt für viele unverständlich und unklar. Lass es uns erklären.
Ein ideales Gas ist jedes Gas, das die folgenden zwei wichtigen Bedingungen erfüllt:
- Die Teilchen, aus denen es besteht, haben keine Größe. Sie haben zwar eine Größe, aber sie ist im Vergleich zu den Abständen zwischen ihnen so klein, dass sie bei allen mathematischen Berechnungen vernachlässigt werden kann.
- Partikel interagieren nicht miteinander unter Verwendung von Van-der-Waals-Kräften oder -Kräftenandere Natur. Tatsächlich ist eine solche Wechselwirkung in allen realen Gasen vorhanden, aber ihre Energie ist im Vergleich zur durchschnittlichen Energie der kinetischen Teilchen vernachlässigbar.
Die beschriebenen Bedingungen werden von fast allen realen Gasen erfüllt, deren Temperaturen über 300 K liegen und deren Drücke eine Atmosphäre nicht überschreiten. Bei zu hohen Drücken und niedrigen Temperaturen beobachtet man die Abweichung der Gase vom idealen Verh alten. In diesem Fall spricht man von echten Gasen. Sie werden durch die Van-der-Waals-Gleichung beschrieben.
Das Konzept der inneren Energie eines idealen Gases
Definitionsgemäß ist die innere Energie eines Systems die Summe der in diesem System enth altenen kinetischen und potentiellen Energien. Wendet man dieses Konzept auf ein ideales Gas an, so sollte die potentielle Komponente verworfen werden. Da die Teilchen eines idealen Gases nicht miteinander wechselwirken, können sie in der Tat als frei im absoluten Vakuum beweglich betrachtet werden. Um ein Teilchen aus dem untersuchten System zu extrahieren, ist es nicht notwendig, gegen die inneren Wechselwirkungskräfte zu arbeiten, da diese Kräfte nicht existieren.
Die innere Energie eines idealen Gases fällt also immer mit seiner kinetischen Energie zusammen. Letztere wiederum wird eindeutig durch die Molmasse der Teilchen des Systems, ihre Anzahl sowie die mittlere Geschwindigkeit der Translations- und Rotationsbewegung bestimmt. Die Bewegungsgeschwindigkeit hängt von der Temperatur ab. Eine Erhöhung der Temperatur führt zu einer Erhöhung der inneren Energie und umgekehrt.
Formel fürinnere Energie
Bezeichne die innere Energie eines idealen Gassystems mit dem Buchstaben U. Nach der Thermodynamik ist sie definiert als die Differenz zwischen der Enthalpie H des Systems und dem Produkt aus Druck und Volumen, also:
U=H - pV.
Im obigen Absatz haben wir herausgefunden, dass der Wert von U der gesamten kinetischen Energie Ek aller Gasteilchen entspricht:
U=Ek.
Aus der statistischen Mechanik folgt im Rahmen der molekularen kinetischen Theorie (MKT) eines idealen Gases, dass die durchschnittliche kinetische Energie eines Teilchens Ek1 gleich der ist folgender Wert:
Ek1=z/2kBT.
Hier kB und T - Boltzmann-Konstante und Temperatur, z - Anzahl der Freiheitsgrade. Die gesamte kinetische Energie des Systems Ek erhält man durch Multiplikation von Ek1 mit der Anzahl der Teilchen N im System:
Ek=NEk1=z/2NkBT.
Damit haben wir die Formel für die innere Energie eines idealen Gases erh alten, allgemein geschrieben in Bezug auf die absolute Temperatur und die Anzahl der Teilchen in einem geschlossenen System:
U=z/2NkBT.
Einatomiges und mehratomiges Gas
Die im vorigen Absatz des Artikels geschriebene Formel für U ist für die praktische Anwendung unbequem, da es schwierig ist, die Anzahl der Teilchen N zu bestimmen. Berücksichtigt man jedoch die Definition der Stoffmenge n, so lässt sich dieser Ausdruck bequemer umschreiben:
n=N/NA; R=NAkB=8, 314 J/(molK);
U=z/2nR T.
Die Anzahl der Freiheitsgrade z hängt von der Geometrie der Teilchen ab, aus denen das Gas besteht. Für ein einatomiges Gas ist also z=3, da sich ein Atom nur in drei Raumrichtungen unabhängig bewegen kann. Wenn das Gas zweiatomig ist, dann ist z=5, da zu den drei Translationsfreiheitsgraden zwei weitere Rotationsfreiheitsgrade hinzukommen. Schließlich ist für jedes andere mehratomige Gas z=6 (3 Translations- und 3 Rotationsfreiheitsgrade). Vor diesem Hintergrund können wir die Formeln für die innere Energie eines idealen einatomigen, zweiatomigen und mehratomigen Gases in folgender Form schreiben:
U1=3/2nRT;
U2=5/2nRT;
U≧3=3nRT.
Beispiel einer Aufgabe zur Bestimmung der inneren Energie
Eine 100-Liter-Flasche enthält reinen Wasserstoff bei einem Druck von 3 Atmosphären. Unter der Annahme, dass Wasserstoff unter gegebenen Bedingungen ein ideales Gas ist, muss seine innere Energie bestimmt werden.
Die obigen Formeln für U enth alten die Stoffmenge und die Temperatur des Gases. In der Problemstellung wird über diese Mengen absolut nichts gesagt. Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, sich an die universelle Clapeyron-Mendeleev-Gleichung zu erinnern. Es hat das in der Abbildung gezeigte Aussehen.
Da Wasserstoff H2 ein zweiatomiges Molekül ist, lautet die Formel für die innere Energie:
UH2=5/2nRT.
Wenn wir beide Ausdrücke vergleichen, kommen wir auf die endgültige Formel zur Lösung des Problems:
UH2=5/2PV.
Es bleibt noch, die Einheiten für Druck und Volumen aus dem Zustand in das SI-Einheitensystem umzurechnen, die entsprechenden Werte in der Formel für U einzusetzenH2und erh alte die Antwort: UH2 ≈ 76 kJ.
