Umkehrfunktionen sind in der Mathematik einander entsprechende Ausdrücke, die ineinander übergehen. Um zu verstehen, was das bedeutet, lohnt es sich, ein konkretes Beispiel zu betrachten. Nehmen wir an, wir haben y=cos(x). Wenn wir den Kosinus aus dem Argument nehmen, können wir den Wert von y finden. Offensichtlich müssen Sie dafür x haben. Aber was ist, wenn der Spieler zunächst gegeben wird? Hier geht es zum Kern der Sache. Zur Lösung des Problems ist die Verwendung einer Umkehrfunktion erforderlich. In unserem Fall ist dies der Arkuskosinus.
Nach allen Transformationen erh alten wir: x=arccos(y).
Das heißt, um eine Funktion zu finden, die invers zu einer gegebenen ist, reicht es aus, nur ein Argument daraus auszudrücken. Das funktioniert aber nur, wenn das Ergebnis einen einzigen Wert hat (dazu später mehr).
Allgemein lässt sich diese Tatsache wie folgt schreiben: f(x)=y, g(y)=x.
Definition
F sei eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge X ist, undder Wertebereich ist die Menge Y. Wenn es g gibt, dessen Domänen entgegengesetzte Aufgaben erfüllen, dann ist f umkehrbar.
Außerdem ist in diesem Fall g eindeutig, was bedeutet, dass es genau eine Funktion gibt, die diese Eigenschaft erfüllt (nicht mehr und nicht weniger). Dann heißt sie Umkehrfunktion und wird schriftlich wie folgt bezeichnet: g(x)=f -1(x).
Mit anderen Worten, sie können als binäre Relation betrachtet werden. Reversibilität findet nur statt, wenn ein Element der Menge einem Wert eines anderen entspricht.
Es gibt nicht immer eine Umkehrfunktion. Dazu muss jedes Element y є Y höchstens einem x є X entsprechen. Dann heißt f Eins-zu-Eins oder Injektion. Wenn f -1 zu Y gehört, dann muss jedes Element dieser Menge einem x ∈ X entsprechen. Funktionen mit dieser Eigenschaft heißen Surjektionen. Es gilt per Definition, wenn Y ein Bild f ist, aber das ist nicht immer der Fall. Um invers zu sein, muss eine Funktion sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion sein. Solche Ausdrücke nennt man Bijektionen.
Beispiel: Quadrat- und Wurzelfunktionen
Die Funktion ist auf [0, ∞) definiert und durch die Formel f (x)=x2.
gegeben
Dann ist es nicht injektiv, weil jedes mögliche Ergebnis Y (außer 0) zwei verschiedenen X entspricht - einem positiven und einem negativen, also ist es nicht umkehrbar. In diesem Fall ist es unmöglich, die anfänglichen Daten von den empfangenen zu erh alten, was widersprüchlich istTheorien. Es wird nicht-injektiv sein.
Wenn der Definitionsbereich bedingt auf nicht-negative Werte beschränkt ist, dann funktioniert alles wie bisher. Dann ist sie bijektiv und damit invertierbar. Die Umkehrfunktion heißt hier positiv.
Anmerkung zum Eintrag
Die Bezeichnung f -1 (x) mag eine Person verwirren, sollte aber auf keinen Fall so verwendet werden: (f (x)) - 1 . Es bezieht sich auf ein völlig anderes mathematisches Konzept und hat nichts mit der Umkehrfunktion zu tun.
In der Regel verwenden einige Autoren Ausdrücke wie sin-1 (x).
Andere Mathematiker glauben jedoch, dass dies zu Verwirrung führen kann. Um solche Schwierigkeiten zu vermeiden, werden inverse trigonometrische Funktionen oft mit dem Präfix "Arc" (vom lateinischen Bogen) bezeichnet. In unserem Fall sprechen wir vom Arkussinus. Sie können gelegentlich auch das Präfix "ar" oder "inv" für einige andere Funktionen sehen.
