Flächen zweiter Ordnung: Beispiele

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Der Student trifft im ersten Jahr am häufigsten auf Oberflächen 2. Ordnung. Aufgaben zu diesem Thema mögen zunächst einfach erscheinen, aber wenn Sie höhere Mathematik studieren und sich in die naturwissenschaftliche Seite vertiefen, können Sie endlich aufhören, sich am Geschehen zu orientieren. Um dies zu verhindern, muss man sich nicht nur merken, sondern auch verstehen, wie diese oder jene Oberfläche erh alten wird, wie sich die Änderung der Koeffizienten auf sie und ihre Position relativ zum ursprünglichen Koordinatensystem auswirkt und wie man ein neues System findet (einer, bei dem sein Zentrum mit den Ursprungskoordinaten zusammenfällt und die Symmetrieachse parallel zu einer der Koordinatenachsen ist). Fangen wir von vorne an.

Definition

GMT wird als Fläche 2. Ordnung bezeichnet, deren Koordinaten die allgemeine Gleichung der folgenden Form erfüllen:

F(x, y, z)=0.

Es ist klar, dass jeder Punkt, der zur Oberfläche gehört, drei Koordinaten in einer bestimmten Basis haben muss. Obwohl in einigen Fällen der Ort von Punkten zum Beispiel in eine Ebene entarten kann. Es bedeutet nur, dass eine der Koordinaten konstant ist und im gesamten Bereich akzeptabler Werte gleich Null ist.

Die vollständige gem alte Form der oben erwähnten Gleichheit sieht so aus:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – einige Konstanten, x, y, z – Variablen, die affinen Koordinaten eines Punktes entsprechen. In diesem Fall muss mindestens einer der konstanten Faktoren ungleich Null sein, d. h. kein Punkt wird der Gleichung entsprechen.}

In den allermeisten Beispielen sind viele Zahlenfaktoren immer noch identisch gleich Null, und die Gleichung ist stark vereinfacht. In der Praxis ist die Feststellung, ob ein Punkt zu einer Fläche gehört, nicht schwierig (es genügt, seine Koordinaten in die Gleichung einzusetzen und zu prüfen, ob die Identität eingeh alten wird). Der entscheidende Punkt bei solchen Arbeiten ist, letzteres in eine kanonische Form zu bringen.

Die oben geschriebene Gleichung definiert beliebige (alle unten aufgeführten) Flächen 2. Ordnung. Wir werden unten Beispiele betrachten.

Arten von Flächen 2. Ordnung

Gleichungen von Flächen 2. Ordnung unterscheiden sich nur in den Werten der Koeffizienten A_{nm. Aus der allgemeinen Sicht können für bestimmte Werte der Konstanten verschiedene Oberflächen erh alten werden, die wie folgt klassifiziert sind:}

Zylinder.
Elliptischer Typ.
Hyperbolischer Typ.
Konischer Typ.
Parabolischer Typ.
Flugzeuge.

Jeder der aufgeführten Typen hat eine natürliche und eine imaginäre Form: In der imaginären Form degeneriert der Ort realer Punkte entweder zu einer einfacheren Figur oder fehlt ganz.

Zylinder

Dies ist der einfachste Typ, da eine relativ komplexe Kurve nur an der Basis liegt und als Führung dient. Die Erzeuger sind gerade Linien senkrecht zur Ebene, in der die Basis liegt.

Die Grafik zeigt einen Kreiszylinder, einen Spezialfall eines elliptischen Zylinders. In der XY-Ebene ist seine Projektion eine Ellipse (in unserem Fall ein Kreis) - eine Führung und in XZ - ein Rechteck - da die Generatoren parallel zur Z-Achse sind. Um es aus der allgemeinen Gleichung zu erh alten, müssen Sie um den Koeffizienten die folgenden Werte zu geben:

Statt der üblichen Symbole x, y, z, wird x mit einer fortlaufenden Nummer verwendet - egal.

Tatsächlich sind 1/a2und die anderen hier angegebenen Konstanten dieselben Koeffizienten, die in der allgemeinen Gleichung angegeben sind, aber es ist üblich, sie in dieser Form zu schreiben - das ist die kanonische Darstellung. Außerdem wird nur eine solche Notation verwendet.

So wird ein hyperbolischer Zylinder definiert. Das Schema ist dasselbe - die Übertreibung wird der Leitfaden sein.

y2=2px

Ein parabolischer Zylinder wird etwas anders definiert: Seine kanonische Form enthält einen Koeffizienten p, der als Parameter bezeichnet wird. Tatsächlich ist der Koeffizient gleich q=2p, aber es ist üblich, ihn in die beiden angegebenen Faktoren zu teilen.

Es gibt noch eine andere Art von Zylinder: imaginär. Zu einem solchen Zylinder gehört kein wirklicher Punkt. Sie wird durch die Gleichung beschriebenelliptischer Zylinder, aber anstelle der Einheit ist -1.

Ellipsenform

Ein Ellipsoid kann entlang einer der Achsen gestreckt werden (entlang dessen es von den Werten der oben angegebenen Konstanten a, b, c abhängt; es ist offensichtlich, dass ein größerer Koeffizient der größeren Achse entspricht).

Es gibt auch ein gedachtes Ellipsoid - vorausgesetzt, die Summe der Koordinaten multipliziert mit den Koeffizienten ist -1:

Hyperboloide

Wenn in einer der Konstanten ein Minus erscheint, verwandelt sich die Ellipsoid-Gleichung in die Gleichung eines einblättrigen Hyperboloids. Es muss verstanden werden, dass dieses Minus nicht vor der Koordinate x₃ stehen muss! Es bestimmt nur, welche der Achsen die Rotationsachse des Hyperboloids ist (oder parallel dazu, da wann zusätzliche Terme im Quadrat erscheinen (z. B. (x-2)^{2) verschiebt sich der Mittelpunkt der Figur, dadurch verschiebt sich die Fläche parallel zu den Koordinatenachsen). Dies gilt für alle Flächen 2. Ordnung.}

Außerdem müssen Sie verstehen, dass die Gleichungen in kanonischer Form dargestellt werden und durch Variieren der Konstanten (unter Beibeh altung des Vorzeichens!) geändert werden können; während ihre Form (Hyperboloid, Kegel usw.) dieselbe bleibt.

Diese Gleichung ist bereits durch ein zweischaliges Hyperboloid gegeben.

Kegelfläche

Es gibt keine Einheit in der Kegelgleichung - gleich Null.

Nur eine begrenzte Kegelfläche heißt Kegel. Das Bild unten zeigt, dass es tatsächlich zwei sogenannte Kegel auf dem Diagramm geben wird.

Wichtiger Hinweis: In allen betrachteten kanonischen Gleichungen werden die Konstanten standardmäßig positiv angenommen. Andernfalls kann das Vorzeichen das endgültige Diagramm beeinflussen.

Die Koordinatenebenen werden zu Symmetrieebenen des Kegels, das Symmetriezentrum liegt im Ursprung.

In der imaginären Kegelgleichung gibt es nur Pluspunkte; es besitzt einen einzigen echten Punkt.

Paraboloide

Flächen 2. Ordnung im Raum können auch bei ähnlichen Gleichungen unterschiedliche Formen annehmen. Beispielsweise gibt es zwei Arten von Paraboloiden.

x²/a²+y²/b^2=2z

Ein elliptisches Paraboloid, wenn die Z-Achse senkrecht zur Zeichnung steht, wird in eine Ellipse projiziert.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolisches Paraboloid: Schnitte mit Ebenen parallel zu ZY erzeugen Parabeln und Schnitte mit Ebenen parallel zu XY erzeugen Hyperbeln.

Schnittebenen

Es gibt Fälle, in denen Flächen 2. Ordnung zu einer Ebene entarten. Diese Ebenen können auf verschiedene Weise angeordnet werden.

Betrachte zuerst die sich schneidenden Ebenen:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Diese Modifikation der kanonischen Gleichung führt zu nur zwei sich schneidenden Ebenen (imaginär!); alle reellen Punkte liegen auf der Achse der Koordinate, die in der Gleichung fehlt (in der kanonischen - der Z-Achse).

Parallele Ebenen

y²=a²

Bei nur einer Koordinate degenerieren die Flächen 2. Ordnung zu einem Paar paralleler Ebenen. Denken Sie daran, dass jede andere Variable den Platz von Y einnehmen kann; dann werden Ebenen parallel zu anderen Achsen erh alten.

y²=−a²

In diesem Fall werden sie imaginär.

Koinzidierende Ebenen

y2=0

Bei einer so einfachen Gleichung degenerieren zwei Ebenen zu einer - sie fallen zusammen.

Vergessen Sie nicht, dass bei einer dreidimensionalen Basis die obige Gleichung nicht die Gerade y=0 definiert! Es fehlen die beiden anderen Variablen, aber das bedeutet nur, dass ihr Wert konstant und gleich Null ist.

Gebäude

Eine der schwierigsten Aufgaben für einen Schüler ist die Konstruktion von Flächen 2. Ordnung. Es ist sogar noch schwieriger, sich von einem Koordinatensystem in ein anderes zu bewegen, wenn man die Winkel der Kurve in Bezug auf die Achsen und den Versatz des Zentrums berücksichtigt. Lassen Sie uns wiederholen, wie Sie die zukünftige Ansicht der Zeichnung mit einer Analyse konsistent bestimmen könnenweg.

Um eine Fläche 2. Ordnung zu bauen, brauchst du:

Gleichung in kanonische Form bringen;
bestimme die Art der zu untersuchenden Oberfläche;
Konstrukt basierend auf Koeffizientenwerten.

Im Folgenden sind alle betrachteten Typen aufgeführt:

Zur Konsolidierung wollen wir ein Beispiel für diese Art von Aufgabe im Detail beschreiben.

Beispiele

Angenommen, es gibt eine Gleichung:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Bringen wir es zur kanonischen Form. Heben wir die vollen Quadrate heraus, d. h. wir ordnen die verfügbaren Terme so an, dass sie die Erweiterung des Quadrats der Summe oder Differenz sind. Zum Beispiel: if (a+1)²=a²+2a+1 then a²+2a +1=(a+1)^{2. Wir werden die zweite Operation durchführen. In diesem Fall ist es nicht notwendig, die Klammern zu öffnen, da dies die Berechnungen nur komplizierter macht, aber es ist notwendig, den gemeinsamen Faktor 6 (in Klammern mit dem vollen Quadrat von Y) herauszunehmen:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Die Variable z kommt in diesem Fall nur einmal vor - Sie können sie vorerst weglassen.

Wir analysieren die Gleichung an dieser Stelle: Allen Unbekannten geht ein Pluszeichen voraus; wenn es durch sechs geteilt wird, bleibt eins übrig. Daher haben wir eine Gleichung, die ein Ellipsoid definiert.

Beachte, dass 144 in 150-6 faktorisiert wurde, wonach die -6 nach rechts verschoben wurde. Warum musste es so gemacht werden? Offensichtlich ist der größte Teiler in diesem Beispiel -6, so dass nach dem Teilen durch ihnWenn man rechts links ist, muss man genau 6 von 144 „verschieben“(die Tatsache, dass man rechts sein sollte, wird durch das Vorhandensein eines freien Begriffs angezeigt - eine Konstante, die nicht mit einer Unbekannten multipliziert wird).

Teile alles durch sechs und erh alte die kanonische Gleichung des Ellipsoids:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Bei der bisher verwendeten Klassifikation von Flächen 2. Ordnung wird ein Sonderfall betrachtet, wenn der Mittelpunkt der Figur im Koordinatenursprung liegt. In diesem Beispiel ist es versetzt.

Wir nehmen an, dass jede Klammer mit Unbekannten eine neue Variable ist. Das heißt: a=x-1, b=y+5, c=z. In den neuen Koordinaten fällt der Mittelpunkt des Ellipsoids mit dem Punkt (0, 0, 0) zusammen, also a=b=c=0, woraus: x=1, y=-5, z=0. In den Anfangskoordinaten liegt der Mittelpunkt der Figur im Punkt (1, -5, 0).

Ellipsoid wird aus zwei Ellipsen erh alten: die erste in der XY-Ebene und die zweite in der XZ-Ebene (oder YZ - es spielt keine Rolle). Die Koeffizienten, durch die die Variablen dividiert werden, werden in der kanonischen Gleichung quadriert. Daher wäre es im obigen Beispiel korrekter, durch die Wurzel aus zwei, eins und die Wurzel aus drei zu dividieren.

Die Nebenachse der ersten Ellipse, parallel zur Y-Achse, ist zwei. Die Hauptachse parallel zur x-Achse sind zwei Wurzeln von zwei. Die Nebenachse der zweiten Ellipse, parallel zur Y-Achse, bleibt gleich – sie ist gleich zwei. Und die Hauptachse, parallel zur Z-Achse, ist gleich zwei Wurzeln von drei.

Mit Hilfe der aus der ursprünglichen Gleichung durch Umwandlung in die kanonische Form erh altenen Daten können wir ein Ellipsoid zeichnen.

Zusammenfassen

In diesem Artikel behandeltdas thema ist recht umfangreich, aber eigentlich, wie man jetzt sieht, nicht sehr kompliziert. Seine Entwicklung endet in der Tat in dem Moment, in dem Sie sich die Namen und Gleichungen von Oberflächen merken (und natürlich wie sie aussehen). Im obigen Beispiel haben wir jeden Schritt im Detail besprochen, aber die Gleichung in die kanonische Form zu bringen, erfordert minimale Kenntnisse der höheren Mathematik und sollte dem Schüler keine Schwierigkeiten bereiten.

Analyse des zukünftigen Zeitplans auf der bestehenden Gleichberechtigung ist bereits eine schwierigere Aufgabe. Für eine erfolgreiche Lösung reicht es jedoch aus zu verstehen, wie die entsprechenden Kurven zweiter Ordnung aufgebaut sind - Ellipsen, Parabeln und andere.

Entartungsfälle - ein noch einfacherer Abschnitt. Durch das Fehlen einiger Variablen werden nicht nur, wie bereits erwähnt, die Berechnungen vereinfacht, sondern auch die Konstruktion selbst.

Sobald Sie alle Arten von Flächen sicher benennen können, die Konstanten variieren, den Graphen in die eine oder andere Form bringen - das Thema ist gemeistert.

Erfolg im Studium!