Eines der schwierigsten und unverständlichsten Themen der Hochschulmathematik ist die Integration und Differentialrechnung. Sie müssen diese Konzepte kennen und verstehen sowie in der Lage sein, sie anzuwenden. Viele technische Universitätsdisziplinen sind an Differentiale und Integrale gebunden.
Kurze Informationen zu Gleichungen
Diese Gleichungen sind eines der wichtigsten mathematischen Konzepte im Bildungssystem. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die die unabhängigen Variablen, die zu findende Funktion und die Ableitungen dieser Funktion mit den als unabhängig angenommenen Variablen in Beziehung setzt. Die Differentialrechnung zum Auffinden einer Funktion einer Variablen wird gewöhnlich genannt. Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung.
Tatsächlich kommt es darauf an, eine bestimmte Antwort auf die Gleichung zu finden, und die Lösungsmethode wird durch die Art der Gleichung bestimmt.
Gleichungen erster Ordnung
Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung, die eine Variable, eine gewünschte Funktion und ihre erste Ableitung beschreiben kann. Solche Gleichungen können in drei Formen angegeben werden: explizit, implizit, differentiell.
Zur Lösung benötigte Konzepte
Anfangsbedingung - Setzen des Werts der gewünschten Funktion für einen gegebenen Wert einer unabhängigen Variablen.
Lösung einer Differentialgleichung - jede differenzierbare Funktion, die exakt in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, macht sie zu identisch gleich. Die erh altene Lösung, die nicht explizit ist, ist das Integral der Gleichung.
Die allgemeine Lösung von Differentialgleichungen ist eine Funktion y=y(x;C), die folgende Urteile erfüllen kann:
- Eine Funktion kann nur eine beliebige Konstante haben С.
- Die resultierende Funktion muss eine Lösung der Gleichung für beliebige Werte einer beliebigen Konstante sein.
- Mit einer gegebenen Anfangsbedingung kann eine beliebige Konstante eindeutig definiert werden, so dass die resultierende spezielle Lösung konsistent mit der gegebenen frühen Anfangsbedingung ist.
In der Praxis wird häufig das Cauchy-Problem verwendet - das Finden einer Lösung, die speziell ist und mit der eingangs gestellten Bedingung verglichen werden kann.
Der Satz von Cauchy ist ein Satz, der die Existenz und Eindeutigkeit einer bestimmten Lösung in der Differentialrechnung betont.
Geometrischer Sinn:
- Allgemeine Lösung y=y(x;C)Gleichung ist die Gesamtzahl der Integralkurven.
- Differentialrechnung ermöglicht es Ihnen, die Koordinaten eines Punktes in der XOY-Ebene und der Tangente an die Integralkurve zu verbinden.
- Das Setzen der Anfangsbedingung bedeutet, einen Punkt auf der Ebene zu setzen.
- Um das Cauchy-Problem zu lösen, muss aus dem ganzen Satz von Integralkurven, die dieselbe Lösung der Gleichung darstellen, die einzige ausgewählt werden, die durch den einzig möglichen Punkt verläuft.
- Erfüllung der Bedingungen des Satzes von Cauchy in einem Punkt bedeutet, dass eine Integralkurve (im Übrigen nur eine) notwendigerweise durch den gewählten Punkt in der Ebene geht.
Gleichung mit trennbaren Variablen
Definitionsgemäß ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, deren rechte Seite ein Produkt (manchmal ein Verhältnis) zweier Funktionen beschreibt oder widerspiegelt, von denen die eine nur von "x" und die andere - nur von "y" abhängt ". Ein klares Beispiel für diese Art: y'=f1(x)f2(y).
Um Gleichungen einer bestimmten Form zu lösen, müssen Sie zuerst die Ableitung y'=dy/dx transformieren. Dann müssen Sie die Gleichung durch Bearbeiten in eine Form bringen, in der Sie die beiden Teile der Gleichung integrieren können. Nach den notwendigen Transformationen integrieren wir beide Teile und vereinfachen das Ergebnis.
Homogene Gleichungen
Per Definition kann eine Differentialgleichung als homogen bezeichnet werden, wenn sie folgende Form hat: y'=g(y/x).
In diesem Fall wird am häufigsten die Ersetzung y/x=verwendett(x).
Um solche Gleichungen zu lösen, ist es notwendig, eine homogene Gleichung auf eine Form mit trennbaren Variablen zu reduzieren. Dazu müssen Sie die folgenden Operationen ausführen:
- Anzeige, die die Ableitung der ursprünglichen Funktion ausdrückt, von einer beliebigen ursprünglichen Funktion als neue Gleichung.
- Im nächsten Schritt transformieren wir die resultierende Funktion in die Form f(x;y)=g(y/x). Mit einfacheren Worten: Lass die Gleichung nur das Verhältnis y/x und Konstanten enth alten.
- Führen Sie die folgende Ersetzung durch: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Die vorgenommene Substitution hilft dabei, die Variablen in der Gleichung zu dividieren und sie allmählich zu einer einfacheren Form zu bringen.
Lineare Gleichungen
Die Definition solcher Gleichungen lautet wie folgt: Eine lineare Differentialgleichung ist eine Gleichung, deren rechte Seite als linearer Ausdruck in Bezug auf die ursprüngliche Funktion ausgedrückt wird. Die gesuchte Funktion in diesem Fall: y'=a(x)y + b(x).
Formulieren wir die Definition wie folgt um: Jede Gleichung 1. Ordnung wird in ihrer Form linear, wenn die ursprüngliche Funktion und ihre Ableitung in der Gleichung 1. Grades enth alten sind und nicht miteinander multipliziert werden. Die "klassische Form" einer linearen Differentialgleichung hat folgenden Aufbau: y' + P(x)y=Q(x).
Bevor eine solche Gleichung gelöst wird, sollte sie in die "klassische Form" umgewandelt werden. Der nächste Schritt wird die Wahl des Lösungsverfahrens sein: das Bernoulli-Verfahren oder das Lagrange-Verfahren.
Gleichung lösen mitunter Verwendung der von Bernoulli eingeführten Methode, impliziert die Substitution und Reduktion einer linearen Differentialgleichung in zwei Gleichungen mit getrennten Variablen relativ zu den Funktionen U(x) und V(x), die in ihrer ursprünglichen Form gegeben waren.
Die Lagrange-Methode besteht darin, eine allgemeine Lösung für die ursprüngliche Gleichung zu finden.
- Es ist notwendig, die gleiche Lösung der homogenen Gleichung zu finden. Nach der Suche haben wir die Funktion y=y(x, C), wobei C eine beliebige Konstante ist.
- Wir suchen nach einer Lösung der ursprünglichen Gleichung in der gleichen Form, aber wir betrachten C=C(x). Wir setzen die Funktion y=y(x, C(x)) in die Ausgangsgleichung ein, finden die Funktion C(x) und schreiben die Lösung der allgemeinen Ausgangsgleichung auf.
Bernoulli-Gleichung
Bernoulli-Gleichung - wenn die rechte Seite des Kalküls die Form f(x;y)=a(x)y + b(x)yk annimmt, wobei k jeder mögliche rationale numerische Wert ist, nicht als ein Beispielfälle, wenn k=0 und k=1.
Wenn k=1, dann wird der Kalkül trennbar, und wenn k=0, bleibt die Gleichung linear.
Betrachten wir den allgemeinen Fall der Lösung dieser Art von Gleichung. Wir haben die Standard-Bernoulli-Gleichung. Es muss auf eine lineare reduziert werden, dazu müssen Sie die Gleichung durch yk teilen. Ersetze nach dieser Operation z(x)=y1-k. Nach einer Reihe von Transformationen wird die Gleichung auf eine lineare reduziert, meistens durch die Substitutionsmethode z=UV.
Gleichungen in totalen Differentialen
Definition. Eine Gleichung mit der Struktur P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 heißt vollständig GleichungDifferentiale, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist (in dieser Bedingung ist "d" ein partielles Differential): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Alle zuvor betrachteten Differentialgleichungen erster Ordnung können als Differentiale dargestellt werden.
Solche Berechnungen werden auf verschiedene Arten gelöst. Aber sie alle beginnen mit einer Zustandsprüfung. Wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist der linke Bereich der Gleichung das totale Differential der noch unbekannten Funktion U(x;y). Dann ist dU (x; y) gemäß der Gleichung gleich Null, und daher wird dasselbe Integral der Gleichung in Gesamtdifferentialen in der Form U (x; y) u003d C angezeigt. Daher die Lösung der Gleichung reduziert sich darauf, die Funktion U (x; y) zu finden.
Integrierender Faktor
Wenn die Bedingung dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx in der Gleichung nicht erfüllt ist, dann hat die Gleichung nicht die oben betrachtete Form. Aber manchmal ist es möglich, eine Funktion M(x;y) zu wählen, mit der die Gleichung multipliziert die Form einer vollständigen "diffurs"-Gleichung annimmt. Die Funktion M (x;y) wird Integrationsfaktor genannt.
Ein Integrator kann nur gefunden werden, wenn er eine Funktion von nur einer Variablen wird.
