Einer der grundlegenden Bereiche der mathematischen Analyse ist die Integralrechnung. Es deckt das breiteste Feld von Objekten ab, wobei das erste das unbestimmte Integral ist. Es lohnt sich, ihn als Schlüssel zu positionieren, der auch im Gymnasium immer mehr Perspektiven und Möglichkeiten offenbart, die die höhere Mathematik beschreibt.
Aussehen
Auf den ersten Blick scheint das Integral absolut modern und relevant zu sein, aber in der Praxis stellt sich heraus, dass es bereits 1800 v. Chr. Auftauchte. Ägypten gilt offiziell als Heimatland, da frühere Beweise für seine Existenz uns nicht erreicht haben. Aus Mangel an Informationen wurde er die ganze Zeit nur als Phänomen positioniert. Er bestätigte noch einmal den Entwicklungsstand der Wissenschaft unter den Völkern jener Zeit. Schließlich wurden die Werke antiker griechischer Mathematiker aus dem 4. Jahrhundert v. Chr. Gefunden. Sie beschrieben eine Methode, bei der ein unbestimmtes Integral verwendet wurde, dessen Kern darin bestand, das Volumen oder die Fläche einer krummlinigen Figur (dreidimensional) zu findenbzw. zweidimensionale Ebenen). Das Berechnungsprinzip basierte auf der Aufteilung der ursprünglichen Figur in infinitesimale Komponenten, sofern deren Volumen (Fläche) bereits bekannt ist. Im Laufe der Zeit ist die Methode gewachsen, Archimedes verwendete sie, um die Fläche einer Parabel zu finden. Ähnliche Berechnungen wurden zur gleichen Zeit von Wissenschaftlern im alten China durchgeführt, und sie waren völlig unabhängig von ihren griechischen Kollegen in der Wissenschaft.
Entwicklung
Der nächste Durchbruch im 11. Jahrhundert n. Chr. war die Arbeit des arabischen Wissenschaftlers „universal“Abu Ali al-Basri, der die Grenzen des bereits Bekannten erweiterte, indem er Formeln auf Basis des Integrals zur Berechnung der Summen ableitete der Reihen und der Summen der Potenzen von der ersten bis zur vierten unter Anwendung der uns bekannten Methode der mathematischen Induktion.
Der Verstand der Neuzeit bewundert, wie die alten Ägypter erstaunliche architektonische Denkmäler ohne besondere Hilfsmittel geschaffen haben, außer vielleicht ihren Händen, aber ist die Kraft des Verstandes der Wissenschaftler dieser Zeit nicht weniger ein Wunder? Im Vergleich zu heute erscheint ihr Leben fast primitiv, aber die Lösung unbestimmter Integrale wurde überall hergeleitet und in der Praxis zur Weiterentwicklung genutzt.
Der nächste Schritt erfolgte im 16. Jahrhundert, als der italienische Mathematiker Cavalieri die von Pierre Fermat aufgegriffene Methode der Unteilbarkeiten entwickelte. Diese beiden Persönlichkeiten legten den Grundstein für die heute bekannte moderne Integralrechnung. Sie verbanden die früheren Konzepte der Differenzierung und Integrationals autonome Einheiten behandelt. Im Großen und Ganzen war die damalige Mathematik fragmentiert, die Schlussfolgerungspartikel existierten für sich und hatten einen begrenzten Umfang. Der Weg der Vereinigung und Suche nach Gemeinsamkeiten war damals der einzig wahre, dank dem die moderne mathematische Analyse die Möglichkeit bekam, zu wachsen und sich zu entwickeln.
Alles hat sich im Laufe der Zeit geändert, einschließlich der Notation des Integrals. Im Großen und Ganzen bezeichneten Wissenschaftler es durchaus, Newton verwendete beispielsweise ein quadratisches Symbol, in dem er eine integrierbare Funktion platzierte oder einfach daneben stellte.
Diese Widersprüchlichkeit dauerte bis ins 17. Jahrhundert, als der Wissenschaftler Gottfried Leibniz, ein Meilenstein für die gesamte Theorie der mathematischen Analysis, das uns so vertraute Symbol einführte. Das verlängerte „S“basiert tatsächlich auf diesem Buchstaben des lateinischen Alphabets, da es die Summe der Stammfunktionen bezeichnet. Das Integral erhielt seinen Namen 15 Jahre später von Jacob Bernoulli.
Formale Definition
Das unbestimmte Integral hängt direkt von der Definition der Stammfunktion ab, also betrachten wir es zuerst.
Eine Stammfunktion ist eine Funktion, die das Inverse einer Ableitung ist, in der Praxis wird sie auch als primitiv bezeichnet. Sonst: Die Stammfunktion einer Funktion d ist eine Funktion D, deren Ableitung gleich v V'=v ist. Die Suche nach der Stammfunktion ist die Berechnung des unbestimmten Integrals, und dieser Vorgang selbst heißt Integration.
Beispiel:
Funktion s(y)=y3, und ihre Stammfunktion S(y)=(y4/4).
Die Menge aller Stammfunktionen der betrachteten Funktion ist das unbestimmte Integral, es wird wie folgt bezeichnet: ∫v(x)dx.
Da V(x) nur eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion ist, ergibt sich der Ausdruck: ∫v(x)dx=V(x) + C, wobei C eine Konstante ist. Eine beliebige Konstante ist jede Konstante, da ihre Ableitung gleich Null ist.
Eigenschaften
Die Eigenschaften, die das unbestimmte Integral hat, basieren auf der Hauptdefinition und den Eigenschaften von Ableitungen.
Schauen wir uns die wichtigsten Punkte an:
- das Integral aus der Ableitung der Stammfunktion ist die Stammfunktion selbst plus eine beliebige Konstante ' ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- die Ableitung des Funktionsintegrals ist die ursprüngliche Funktion (∫v(x)dx)'=v(x);
- Konstante wird unter dem Integralzeichen ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx herausgenommen, wobei k beliebig ist;
- das Integral aus der Summe ist identisch gleich der Summe der Integrale ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Aus den letzten beiden Eigenschaften können wir schließen, dass das unbestimmte Integral linear ist. Dadurch haben wir: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Zur Konsolidierung betrachten wir Beispiele für die Lösung unbestimmter Integrale.
Es ist notwendig, das Integral ∫(3sinx + 4cosx)dx zu finden:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Aus dem Beispiel können wir schließen:Sie wissen nicht, wie man unbestimmte Integrale löst? Finde einfach alle Primitiven! Aber die Prinzipien der Suche werden weiter unten betrachtet.
Methoden und Beispiele
Um das Integral zu lösen, können Sie auf folgende Methoden zurückgreifen:
- benutze die vorbereitete Tabelle;
- teilweise integrieren;
- integrieren durch Ändern der Variablen;
- unter das Differentialzeichen bringen.
Tabellen
Der einfachste und angenehmste Weg. Die mathematische Analysis verfügt derzeit über recht umfangreiche Tabellen, in denen die Grundformeln unbestimmter Integrale niedergeschrieben sind. Mit anderen Worten, es gibt Vorlagen, die vor Ihnen und für Sie entwickelt wurden, es bleibt nur noch, sie zu verwenden. Hier ist eine Liste der wichtigsten Tabellenpositionen, auf die Sie fast jedes Beispiel, das eine Lösung hat, ableiten können:
- ∫0dy=C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫dy=y + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, wobei C eine Konstante und ist n - Nicht-Eins-Zahl;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫eydy=ey + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫cosydy=siny + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫sinydy=-cosy + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, wobei C eine Konstante ist;
- ∫chydy=schüchtern + C, wobei C -konstant;
- ∫shydy=chy + C, wobei C eine Konstante ist.
Wenn nötig, mache ein paar Schritte, bringe den Integranden in eine tabellarische Form und genieße den Sieg. Beispiel: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Nach der Lösung ist klar, dass dem Integranden für das tabellarische Beispiel der Faktor 5 fehlt. Wir addieren ihn, multiplizieren ihn parallel mit 1/5, damit sich der allgemeine Ausdruck nicht ändert.
Integration nach Teilen
Betrachten Sie zwei Funktionen - z(y) und x(y). Sie müssen über den gesamten Definitionsbereich stetig differenzierbar sein. Nach einer der Differentiationseigenschaften gilt: d(xz)=xdz + zdx. Integrieren wir beide Teile der Gleichung, erh alten wir: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Umschreiben der resultierenden Gleichheit erh alten wir eine Formel, die die Methode der partiellen Integration beschreibt: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Warum wird es benötigt? Der Punkt ist, dass einige Beispiele vereinfacht, bedingt gesprochen, ∫zdx auf ∫xdz reduzieren können, wenn letzteres der Tabellenform nahe kommt. Außerdem kann diese Formel mehr als einmal angewendet werden, wodurch optimale Ergebnisse erzielt werden.
Wie man unbestimmte Integrale auf diese Weise löst:
müssen ∫(s + 1)e berechnen2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
müssen ∫lnsds berechnen
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variablensubstitution
Dieses Prinzip der Lösung unbestimmter Integrale ist nicht weniger gefragt als die beiden vorherigen, obwohl es komplizierter ist. Das Verfahren ist wie folgt: Sei V(x) das Integral einer Funktion v(x). Für den Fall, dass das Integral selbst im Beispiel komplex wirkt, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass man verwirrt wird und den falschen Lösungsweg einschlägt. Um dies zu vermeiden, wird der Übergang von der Variablen x zu z geübt, bei dem der allgemeine Ausdruck optisch vereinfacht wird, wobei die Abhängigkeit von z von x erh alten bleibt.
Mathematisch sieht das so aus: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), wobei x=y(z) eine Substitution ist. Und natürlich beschreibt die Umkehrfunktion z=y-1(x) die Abhängigkeit und Beziehung von Variablen vollständig. Wichtiger Hinweis - das Differential dx wird notwendigerweise durch ein neues Differential dz ersetzt, da die Ersetzung einer Variablen im unbestimmten Integral ihre Ersetzung überall impliziert, und nicht nur im Integranden.
Beispiel:
müssen ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds finden
Wende die Substitution z=(s+1)/(s2+2s-5 an). Dann ist dz=2sds=2+2(s+1)ds(s+1)ds=dz/2. Als Ergebnis erh alten wir folgenden sehr einfach zu berechnenden Ausdruck:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
müssen das Integral finden∫2sesdx
Zur Lösung schreiben wir den Ausdruck in folgende Form um:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Bezeichne mit a=2e (dieser Schritt ist kein Ersatz für das Argument, es ist immer noch s), wir bringen unser scheinbar komplexes Integral in eine elementare tabellarische Form:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Unter das Differentialzeichen bringen
Im Großen und Ganzen ist diese Methode der unbestimmten Integrale ein Zwillingsbruder des Prinzips der variablen Änderung, aber es gibt Unterschiede im Entwurfsprozess. Sehen wir uns das genauer an.
Wenn ∫v(x)dx=V(x) + C und y=z(x), dann ∫v(y)dy=V(y) + C.
In diesem Fall sollte man die trivialen Integr altransformationen nicht vergessen, darunter:
- dx=d(x + a), wobei a eine beliebige Konstante ist;
- dx=(1 / a)d(ax + b), wobei a wieder eine Konstante, aber ungleich Null ist;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Betrachtet man bei der Berechnung des unbestimmten Integrals den allgemeinen Fall, lassen sich Beispiele unter der allgemeinen Formel w'(x)dx=dw(x) zusammenfassen.
Beispiele:
müssen ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3) finden
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online-Hilfe
In einigen Fällen, an denen entweder Faulheit oder dringende Notwendigkeit liegen, können Sie Online-Tipps verwenden, oder besser gesagt, den unbestimmten Integralrechner verwenden. Bei aller scheinbaren Komplexität und Anfechtbarkeit von Integralen unterliegt ihre Lösung einem bestimmten Algorithmus, der auf dem Prinzip "wenn nicht …, dann …" beruht.
Natürlich wird ein solcher Rechner besonders komplizierte Beispiele nicht meistern, da es Fälle gibt, in denen die Lösung künstlich gefunden werden muss, indem bestimmte Elemente "zwangsweise" in den Prozess eingeführt werden, weil das Ergebnis nicht offensichtlich erreicht werden kann Wege. Bei aller Kontroversität dieser Aussage ist sie wahr, da die Mathematik im Prinzip eine abstrakte Wissenschaft ist und die Notwendigkeit, die Grenzen der Möglichkeiten zu erweitern, als ihre vorrangige Aufgabe ansieht. In der Tat ist es äußerst schwierig, nach glatten, eingespielten Theorien aufzusteigen und sich zu entwickeln, daher sollten Sie nicht davon ausgehen, dass die Beispiele zur Lösung unbestimmter Integrale, die wir gegeben haben, die Höhe der Möglichkeiten darstellen. Aber zurück zur technischen Seite der Dinge. Zumindest um die Berechnungen zu überprüfen, können Sie die Dienste nutzen, in denen alles vor uns geschrieben wurde. Wenn eine automatische Berechnung eines komplexen Ausdrucks erforderlich ist, kann darauf nicht verzichtet werden, Sie müssen auf seriösere Software zurückgreifen. Es lohnt sich, zunächst auf die MatLab-Umgebung zu achten.
Bewerbung
Die Lösung unbestimmter Integrale wirkt auf den ersten Blick völlig realitätsfern, da die offensichtlichen Anwendungsbereiche schwer zu erkennen sind. Sie können zwar nicht überall direkt eingesetzt werden, gelten aber als notwendiges Zwischenelement im Prozess der Ableitung praxistauglicher Lösungen. Die Integration ist also umgekehrt zur Differentiation, wodurch sie aktiv am Prozess der Lösung von Gleichungen teilnimmt.
Diese Gleichungen haben wiederum direkten Einfluss auf die Lösung mechanischer Probleme, die Berechnung von Trajektorien und Wärmeleitfähigkeiten – kurz alles, was die Gegenwart ausmacht und die Zukunft prägt. Das unbestimmte Integral, dessen Beispiele wir oben untersucht haben, ist nur auf den ersten Blick trivial, da es die Grundlage für immer neue Entdeckungen ist.
