Maclaurin-Reihe und Erweiterung einiger Funktionen

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Studenten der höheren Mathematik sollten sich darüber im Klaren sein, dass sich die Summe einiger Potenzreihen, die zum Konvergenzintervall der gegebenen Reihe gehören, als stetige und unbegrenzt oft differenzierte Funktion herausstellt. Es stellt sich die Frage: Kann man behaupten, dass eine gegebene beliebige Funktion f(x) die Summe einiger Potenzreihen ist? Das heißt, unter welchen Bedingungen kann die Funktion f(x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung dieser Frage liegt darin, dass es möglich ist, die Funktion f(x) näherungsweise durch die Summe der ersten Terme der Potenzreihe, also durch ein Polynom, zu ersetzen. Ein solcher Ersatz einer Funktion durch einen ziemlich einfachen Ausdruck - ein Polynom - ist auch praktisch, wenn einige Probleme der mathematischen Analyse gelöst werden, nämlich: beim Lösen von Integralen, beim Berechnen von Differentialgleichungen usw.

Es wurde bewiesen, dass für einige Funktionen f(х), bei denen Ableitungen bis zur (n+1)-ten Ordnung, einschließlich der letzten, in der Nachbarschaft (α_{berechnet werden können- R; x}0 _{+ R) von einem Punkt x=α gilt die Formel:}

Diese Formel ist nach dem berühmten Wissenschaftler Brook Taylor benannt. Die Reihe, die aus der vorherigen erh alten wird, heißt Maclaurin-Reihe:

Die Regel, die es ermöglicht, in einer Maclaurin-Reihe zu expandieren:

1. Bestimme Ableitungen der ersten, zweiten, dritten… Ordnung.
2. Berechnen Sie, was die Ableitungen bei x=0 sind.
3. Nehmen Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion auf und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
4. Bestimmen Sie das Intervall (-R;R), in dem der Rest der Maclaurin-Formel steht

R (x) -> 0 für n -> unendlich. Wenn eine existiert, muss die darin enth altene Funktion f(x) mit der Summe der Maclaurin-Reihe übereinstimmen.

Betrachten Sie nun die Maclaurin-Reihe für einzelne Funktionen.

1. Das erste ist also f(x)=e^x. Natürlich hat eine solche Funktion je nach ihren Eigenschaften Ableitungen verschiedener Ordnungen, und f^(k)(x)=e^x, wobei k gleich all ist natürliche Zahlen. Lassen Sie uns x=0 ersetzen. Wir erh alten f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{würde so aussehen:}

2. Die Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x)=sin x. Stellen Sie sofort klar, dass die Funktion für alle Unbekannten Ableitungen haben wird, außer f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), wobei k gleich einer beliebigen natürlichen Zahl ist. Das heißt, nach einfachen Berechnungen können wir zu dem Schluss kommen, dass die Reihe für f(x)=sin x so aussehen wird:}

3. Versuchen wir nun, die Funktion f(x)=cos x zu betrachten. Sie ist für alles Unbekanntehat Ableitungen beliebiger Ordnung und |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Auch hier erh alten wir nach einigen Berechnungen, dass die Reihe für f(x)=cos x so aussehen wird:

Also, wir haben die wichtigsten erweiterbaren Funktionen in der Maclaurin-Reihe aufgelistet, aber sie werden bei einigen Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Teil der Praxis des Lösens von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also, Taylor-Reihe.

1. Die erste wird eine Reihe für f-ii f(x)=ln(1+x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir bei f (x)=ln (1 + x) eine Reihe hinzufügen, indem wir die allgemeine Form der Maclaurin-Reihe verwenden. für diese Funktion ist die Maclaurin-Serie jedoch viel einfacher erhältlich. Nach Integration einer bestimmten geometrischen Reihe erh alten wir eine Reihe für f(x)=ln(1+x) dieser Stichprobe:

2. Und die zweite, die in unserem Artikel endgültig sein wird, wird eine Serie für f (x) u003d arctg x sein. Für x im Intervall [-1;1] gilt die Entwicklung:

Das war's. Dieser Artikel untersuchte die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere an wirtschaftlichen und technischen Universitäten.