Inverse trigonometrische Funktionen bereiten Schulkindern traditionell Schwierigkeiten. Die Fähigkeit, den Arkustangens einer Zahl zu berechnen, kann in USE-Aufgaben in Planimetrie und Stereometrie erforderlich sein. Um eine Gleichung und ein Problem mit einem Parameter erfolgreich zu lösen, müssen Sie die Eigenschaften der Arkustangensfunktion verstehen.
Definition
Der Arkustangens einer Zahl x ist eine Zahl y, deren Tangens x ist. Dies ist die mathematische Definition.
Die Arkustangensfunktion wird geschrieben als y=arctg x.
Allgemeiner: y=Carctg (kx + a).
Berechnung
Um zu verstehen, wie die inverse trigonometrische Funktion des Arkustangens funktioniert, musst du dich zuerst daran erinnern, wie der Wert des Tangens einer Zahl bestimmt wird. Sehen wir uns das genauer an.
Der Tangens von x ist das Verhältnis des Sinus von x zum Kosinus von x. Wenn mindestens eine dieser beiden Größen bekannt ist, kann der Modul der zweiten aus der trigonometrischen Grundidentität erh alten werden:
sin2 x + cos2 x=1.
Allerdings ist eine Prüfung erforderlich, um das Modul freizusch alten.
Wenndie Zahl selbst bekannt ist und nicht ihre trigonometrischen Eigenschaften, dann ist es in den meisten Fällen notwendig, den Tangens der Zahl anhand der Bradis-Tabelle ungefähr zu schätzen.
Ausnahmen sind die sogenannten Standardwerte.
Sie werden in der folgenden Tabelle dargestellt:
Zusätzlich zu den oben genannten können alle Werte, die aus den Daten erh alten werden, indem eine Zahl der Form ½πк (к - jede ganze Zahl, π=3, 14) hinzugefügt wird, als Standard betrachtet werden.
Genau das Gleiche gilt für den Arcustangens: Meistens ist der Näherungswert aus der Tabelle ersichtlich, aber nur wenige Werte sind sicher bekannt:
In der Praxis ist es üblich, bei der Lösung von Problemen der Schulmathematik eine Antwort in Form eines Ausdrucks zu geben, der den Arkustangens enthält, und nicht seine ungefähre Schätzung. Beispiel: arctg 6, arctg (-¼).
Grafik erstellen
Da der Tangens jeden beliebigen Wert annehmen kann, ist der Definitionsbereich der Arkustangensfunktion der gesamte Zahlenstrahl. Lass es uns genauer erklären.
Derselbe Tangens entspricht einer unendlichen Anzahl von Argumenten. Beispielsweise ist nicht nur der Tangens von Null gleich Null, sondern auch der Tangens einer beliebigen Zahl der Form π k, wobei k eine ganze Zahl ist. Daher einigten sich die Mathematiker darauf, Werte für den Arkustangens aus dem Intervall von -½ π bis ½ π zu wählen. Es muss so verstanden werden. Der Wertebereich der Arkustangensfunktion ist das Intervall (-½ π; ½ π). Die Enden der Lücke sind nicht enth alten, da die Tangenten -½p und ½p nicht existieren.
Im angegebenen Intervall ist die Tangente stetigerhöht sich. Das bedeutet, dass auch die Umkehrfunktion des Arcus Tangens auf dem gesamten Zahlenstrahl stetig steigend ist, jedoch nach oben und unten begrenzt. Als Ergebnis hat es zwei horizontale Asymptoten: y=-½ π und y=½ π.
In diesem Fall, tg 0=0, andere Schnittpunkte mit der Abszissenachse außer (0;0), kann der Graph wegen Erhöhung nicht haben.
Wie sich aus der Parität der Tangensfunktion ergibt, hat der Arkustangens eine ähnliche Eigenschaft.
Um ein Diagramm zu erstellen, nehmen Sie mehrere Punkte aus den Standardwerten:
Die Ableitung der Funktion y=arctg x an jedem Punkt wird nach folgender Formel berechnet:
Beachte, dass ihre Ableitung überall positiv ist. Dies stimmt mit der zuvor gemachten Schlussfolgerung über die kontinuierliche Zunahme der Funktion überein.
Die zweite Ableitung des Arkustangens verschwindet im Punkt 0, ist für positive Werte des Arguments negativ und umgekehrt.
Dies bedeutet, dass der Graph der Arkustangensfunktion einen Wendepunkt bei Null hat und auf dem Intervall (-∞; 0) nach unten konvex und auf dem Intervall [0; +∞] nach oben konvex ist.
