In diesem Artikel wird die Methode als Möglichkeit betrachtet, lineare Gleichungssysteme (SLAE) zu lösen. Die Methode ist analytisch, dh Sie können einen allgemeinen Lösungsalgorithmus schreiben und dort dann Werte aus bestimmten Beispielen ersetzen. Anders als bei der Matrixmethode oder den Cramerschen Formeln kann man beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Gauß-Methode auch mit solchen arbeiten, die unendlich viele Lösungen haben. Oder habe es gar nicht.
Was bedeutet es, mit der Gauß-Methode zu lösen?
Zunächst müssen wir unser Gleichungssystem als Matrix aufschreiben. Es sieht aus wie das. Das System ist belegt:
Koeffizienten werden in Form einer Tabelle geschrieben und rechts in einer separaten Sp alte - freie Mitglieder. Die Sp alte mit freien Elementen ist der Einfachheit halber durch einen vertikalen Balken getrennt. Eine Matrix, die diese Sp alte enthält, heißt erweitert.
Als nächstes muss die Hauptmatrix mit Koeffizienten auf die obere Dreiecksform reduziert werden. Dies ist der Hauptpunkt bei der Lösung des Systems durch das Gauß-Verfahren. Einfach ausgedrückt sollte die Matrix nach gewissen Manipulationen so aussehen, sodass im unteren linken Teil nur noch Nullen stehen:
Wenn Sie die neue Matrix dann wieder als Gleichungssystem schreiben, werden Sie feststellen, dass die letzte Zeile bereits den Wert einer der Wurzeln enthält, die dann in die obige Gleichung eingesetzt wird, eine andere Wurzel wird gefunden, und so weiter.
Dies ist eine allgemeinste Beschreibung der Gaußschen Lösung. Und was passiert, wenn das System plötzlich keine Lösung hat? Oder gibt es davon unendlich viele? Um diese und viele weitere Fragen zu beantworten, ist es notwendig, alle Elemente, die in der Lösung nach der Gauß-Methode verwendet werden, separat zu betrachten.
Matrizen, ihre Eigenschaften
Es gibt keine versteckte Bedeutung in der Matrix. Es ist nur eine praktische Möglichkeit, Daten für spätere Operationen aufzuzeichnen. Auch Schulkinder sollten keine Angst vor ihnen haben.
Die Matrix ist immer rechteckig, weil es bequemer ist. Auch bei der Gauß-Methode, bei der alles darauf hinausläuft, eine Dreiecksmatrix zu bilden, erscheint im Eintrag ein Rechteck, nur mit Nullen an den Stellen, an denen keine Zahlen stehen. Nullen können weggelassen werden, sind aber impliziert.
Matrix hat Größe. Seine "Breite" ist die Anzahl der Zeilen (m), seine "Länge" ist die Anzahl der Sp alten (n). Dann wird die Größe der Matrix A (normalerweise werden lateinische Großbuchstaben für ihre Bezeichnung verwendet) als Am×n bezeichnet. Wenn m=n, dann ist diese Matrix quadratisch, undm=n - seine Reihenfolge. Dementsprechend kann jedes Element der Matrix A durch die Nummer seiner Zeile und Sp alte bezeichnet werden: axy; x - Zeilennummer, ändern [1, m], y - Sp altennummer, ändern [1, n].
Bei der Gaußschen Methode sind Matrizen nicht der Hauptpunkt der Lösung. Im Prinzip können alle Operationen direkt mit den Gleichungen selbst durchgeführt werden, allerdings wird die Notation viel umständlicher und es wird viel einfacher, sich darin zu verwirren.
Qualifikation
Die Matrix hat auch eine Determinante. Dies ist eine sehr wichtige Funktion. Es lohnt sich nicht, ihre Bedeutung jetzt herauszufinden, Sie können einfach zeigen, wie sie berechnet wird, und dann sagen, welche Eigenschaften der Matrix sie bestimmt. Der einfachste Weg, die Determinante zu finden, ist durch Diagonalen. In die Matrix werden imaginäre Diagonalen eingezeichnet; Die Elemente, die sich auf jedem von ihnen befinden, werden multipliziert und dann die resultierenden Produkte addiert: Diagonalen mit einer Neigung nach rechts - mit einem "Plus" -Zeichen, mit einer Neigung nach links - mit einem "Minus" -Zeichen.
Es ist äußerst wichtig zu beachten, dass die Determinante nur für eine quadratische Matrix berechnet werden kann. Für eine rechteckige Matrix können Sie Folgendes tun: Wählen Sie die kleinste der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Sp alten (es sei k) und markieren Sie dann zufällig k Sp alten und k Zeilen in der Matrix. Die Elemente, die sich am Schnittpunkt der ausgewählten Sp alten und Zeilen befinden, bilden eine neue quadratische Matrix. Wenn die Determinante einer solchen Matrix eine andere Zahl als Null ist, wird sie als grundlegender Minor der ursprünglichen rechteckigen Matrix bezeichnet.
VorherWie man mit der Lösung eines Gleichungssystems nach der Gauß-Methode beginnt, schadet es nicht, die Determinante zu berechnen. Wenn es sich herausstellt, dass es Null ist, können wir sofort sagen, dass die Matrix entweder unendlich viele Lösungen hat oder gar keine. In solch einem traurigen Fall müssen Sie weiter gehen und den Rang der Matrix herausfinden.
Systemklassifizierung
Es gibt so etwas wie den Rang einer Matrix. Dies ist die maximale Ordnung ihrer Determinante ungleich Null (in Erinnerung an die Basis-Minor können wir sagen, dass der Rang einer Matrix die Ordnung der Basis-Minor ist).
So wie es mit Rang ist, kann SLOW unterteilt werden in:
- Joint. Bei gemeinsamen Systemen stimmt der Rang der Hauptmatrix (nur aus Koeffizienten bestehend) mit dem Rang der erweiterten Matrix (mit einer Sp alte freier Terme) überein. Solche Systeme haben eine Lösung, aber nicht unbedingt eine, daher werden gemeinsame Systeme zusätzlich unterteilt in:
- - definitiv - mit einer einzigartigen Lösung. In bestimmten Systemen sind der Rang der Matrix und die Anzahl der Unbekannten gleich (oder die Anzahl der Sp alten, was dasselbe ist);
- - unbestimmt - mit unendlich vielen Lösungen. Der Rang der Matrizen in solchen Systemen ist kleiner als die Anzahl der Unbekannten.
- Inkompatibel. Bei solchen Systemen stimmen die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen nicht überein. Inkompatible Systeme haben keine Lösung.
Die Gauss-Methode ist gut, weil sie es erlaubt, entweder einen eindeutigen Beweis für die Inkonsistenz des Systems zu erh alten (ohne die Determinanten großer Matrizen zu berechnen) oder eine allgemeine Lösung für ein System mit unendlich vielen Lösungen.
Elementare Transformationen
Vorherwie Sie direkt zur Lösung des Systems gelangen, können Sie es weniger umständlich und bequemer für Berechnungen machen. Dies wird durch elementare Transformationen erreicht – derart, dass ihre Implementierung die endgültige Antwort in keiner Weise ändert. Es sollte beachtet werden, dass einige der obigen elementaren Transformationen nur für Matrizen gelten, deren Quelle genau die SLAE war. Hier ist eine Liste dieser Transformationen:
- Zeichenfolgen ändern. Es ist offensichtlich, dass eine Änderung der Reihenfolge der Gleichungen im Systemdatensatz die Lösung in keiner Weise beeinflusst. Daher ist es auch möglich, Zeilen in der Matrix dieses Systems zu vertauschen, nicht zu vergessen natürlich die Sp alte der freien Mitglieder.
- Alle Elemente einer Zeichenkette mit einem Faktor multiplizieren. Sehr hilfreich! Damit können Sie große Zahlen in der Matrix reduzieren oder Nullen entfernen. Der Lösungssatz ändert sich wie üblich nicht und es wird bequemer, weitere Operationen durchzuführen. Hauptsache, der Koeffizient darf nicht gleich Null sein.
- Zeilen mit proportionalen Koeffizienten löschen. Dies folgt teilweise aus dem vorherigen Absatz. Wenn zwei oder mehr Zeilen in der Matrix proportionale Koeffizienten haben, werden beim Multiplizieren / Dividieren einer der Zeilen mit dem Proportionalitätskoeffizienten zwei (oder wieder mehr) absolut identische Zeilen erh alten, und Sie können die zusätzlichen entfernen und nur übrig lassen eins.
- Lösche die Nullzeile. Erhält man im Zuge von Transformationen irgendwo einen String, bei dem alle Elemente einschließlich des freien Elements Null sind, dann kann man einen solchen String Null nennen und aus der Matrix werfen.
- Hinzufügen der Elemente einer Reihe von Elementen einer anderen (gementsprechenden Sp alten) multipliziert mit einem Koeffizienten. Die obskurste und wichtigste Transformation von allen. Es lohnt sich, näher darauf einzugehen.
Addieren einer Zeichenfolge multipliziert mit einem Faktor
Zum besseren Verständnis lohnt es sich, diesen Prozess Schritt für Schritt zu zerlegen. Aus der Matrix werden zwei Zeilen entnommen:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Nehmen wir an, Sie müssen den ersten multipliziert mit dem Koeffizienten "-2" zum zweiten addieren.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Dann wird die zweite Zeile in der Matrix durch eine neue ersetzt, während die erste unverändert bleibt.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Zu beachten ist, dass der Multiplikationsfaktor so gewählt werden kann, dass durch die Addition zweier Strings eines der Elemente des neuen Strings gleich Null ist. Daher ist es möglich, eine Gleichung im System zu erh alten, bei der es eine weniger Unbekannte gibt. Und wenn Sie zwei solcher Gleichungen erh alten, kann die Operation erneut durchgeführt werden und Sie erh alten eine Gleichung, die bereits zwei Unbekannte weniger enthält. Und wenn wir jedes Mal einen Koeffizienten für alle Zeilen, die niedriger als der ursprüngliche sind, auf Null stellen, können wir wie Schritte bis zum Ende der Matrix gehen und eine Gleichung mit einer Unbekannten erh alten. Das nennt manLösen Sie das System mit der Gauß-Methode.
Allgemein
Lass es ein System geben. Es hat m Gleichungen und n unbekannte Wurzeln. Du kannst es so schreiben:
Die Hauptmatrix wird aus den Koeffizienten des Systems zusammengestellt. Der erweiterten Matrix wird eine Sp alte mit freien Mitgliedern hinzugefügt und der Einfachheit halber durch einen Balken getrennt.
Weiter:
- die erste Zeile der Matrix wird mit dem Koeffizienten k=(-a21/a11); multipliziert
- die erste geänderte Zeile und die zweite Zeile der Matrix werden hinzugefügt;
- statt der zweiten Zeile wird das Ergebnis der Addition aus dem vorherigen Absatz in die Matrix eingefügt;
- jetzt ist der erste Koeffizient in der neuen zweiten Zeile a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Jetzt wird die gleiche Reihe von Transformationen durchgeführt, nur die erste und dritte Zeile sind betroffen. Dementsprechend wird in jedem Schritt des Algorithmus das Element a21 durch a31 ersetzt. Dann wiederholt sich alles für a41, … am1. Das Ergebnis ist eine Matrix, bei der das erste Element in den Zeilen [2, m] gleich Null ist. Jetzt müssen Sie die Zeile Nummer eins vergessen und den gleichen Algorithmus ab der zweiten Zeile ausführen:
- k Koeffizient=(-a32/a22);
- die zweite geänderte Zeile wird der "aktuellen" Zeile hinzugefügt;
- das Ergebnis der Addition wird in die dritte, vierte usw. Zeile eingesetzt, während die erste und zweite unverändert bleiben;
- in den Zeilen [3, m] der Matrix sind die ersten beiden Elemente bereits gleich Null.
Der Algorithmus muss wiederholt werden, bis der Koeffizient k=(-am, m-1/amm erscheint). Das bedeutet, dass der Algorithmus zuletzt nur für die untere Gleichung ausgeführt wurde. Jetzt sieht die Matrix wie ein Dreieck aus oder hat eine Stufenform. Die unterste Zeile enthält die Gleichung amn × x =bm. Der Koeffizient und der freie Term sind bekannt, und die Wurzel wird durch sie ausgedrückt: x =bm/amn. Die resultierende Wurzel wird in die obere Zeile eingesetzt, um xn-1=(bm-1 - am-1, n zu finden×(bm/amn))÷am-1, n-1. Und so weiter analog: In jeder nächsten Zeile gibt es eine neue Wurzel, und wenn man die "Spitze" des Systems erreicht hat, kann man eine Menge von Lösungen finden [x1, … x ]. Es wird die einzige sein.
Wenn es keine Lösungen gibt
Wenn in einer der Matrixzeilen alle Elemente außer dem freien Term gleich Null sind, dann sieht die dieser Zeile entsprechende Gleichung so aus: 0=b. Es hat keine Lösung. Und da eine solche Gleichung im System enth alten ist, ist die Lösungsmenge des Gesamtsystems leer, also entartet.
Wenn es unendlich viele Lösungen gibt
Es kann sich herausstellen, dass es in der reduzierten Dreiecksmatrix keine Zeilen mit einem Element - dem Koeffizienten der Gleichung und einem - einem freien Element gibt. Es gibt nur Strings, die umgeschrieben wie eine Gleichung mit zwei oder mehr Variablen aussehen würden. Das bedeutet, dass das System unendlich viele Lösungen hat. In diesem Fall kann die Antwort in Form einer allgemeinen Lösung gegeben werden. Wie geht das?
AlleVariablen in der Matrix sind in grundlegende und freie unterteilt. Einfach - das sind diejenigen, die "am Rand" der Zeilen in der abgestuften Matrix stehen. Der Rest ist kostenlos. In der allgemeinen Lösung werden die Basisvariablen in Bezug auf die freien Variablen geschrieben.
Der Einfachheit halber wird die Matrix zunächst wieder in ein Gleichungssystem umgeschrieben. Bei der letzten, wo genau nur eine Grundvariable übrig geblieben ist, bleibt sie auf der einen Seite und alles andere wird auf die andere übertragen. Dies geschieht für jede Gleichung mit einer Basisvariablen. Dann wird in den restlichen Gleichungen, wo möglich, anstelle der Basisvariable der dafür erh altene Ausdruck eingesetzt. Wenn das Ergebnis wieder ein Ausdruck ist, der nur eine Basisvariable enthält, wird es von dort aus erneut ausgedrückt und so weiter, bis jede Basisvariable als Ausdruck mit freien Variablen geschrieben ist. Dies ist die allgemeine Lösung von SLAE.
Sie können auch die Basislösung des Systems finden - geben Sie den freien Variablen beliebige Werte und berechnen Sie dann die Werte der Basisvariablen für diesen speziellen Fall. Es gibt unendlich viele spezielle Lösungen.
Lösung mit konkreten Beispielen
Hier ist ein Gleichungssystem.
Der Einfachheit halber ist es besser, die Matrix sofort zu erstellen
Es ist bekannt, dass beim Lösen nach der Gauß-Methode die der ersten Zeile entsprechende Gleichung am Ende der Transformationen unverändert bleibt. Daher ist es rentabler, wenn das obere linke Element der Matrix das kleinste ist - dann die ersten ElementeDer Rest der Zeilen nach den Operationen wird auf Null gesetzt. Das bedeutet, dass es in der erstellten Matrix vorteilhaft ist, die zweite Zeile anstelle der ersten zu setzen.
Als nächstes müssen Sie die zweite und dritte Zeile so ändern, dass die ersten Elemente Null werden. Dazu addieren Sie sie zum ersten, multipliziert mit einem Koeffizienten:
zweite Zeile: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
dritte Zeile: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Um nicht verwirrt zu werden, müssen Sie jetzt eine Matrix mit Zwischenergebnissen von Transformationen schreiben.
Offensichtlich kann eine solche Matrix mit Hilfe einiger Operationen besser lesbar gemacht werden. Sie können beispielsweise alle „Minuszeichen“aus der zweiten Zeile entfernen, indem Sie jedes Element mit „-1“multiplizieren.
Es ist auch erwähnenswert, dass in der dritten Zeile alle Elemente Vielfache von drei sind. Dann kannst duSchneiden Sie die Zeichenfolge um diese Zahl und multiplizieren Sie jedes Element mit "-1/3" (minus - gleichzeitig, um negative Werte zu entfernen).
Sieht viel schöner aus. Jetzt müssen wir die erste Zeile in Ruhe lassen und mit der zweiten und dritten arbeiten. Die Aufgabe besteht darin, die zweite Zeile zur dritten Zeile zu addieren, multipliziert mit einem solchen Faktor, dass das Element a32 Null wird.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (falls während einiger Transformationen Wenn sich herausstellte, dass die Antwort keine ganze Zahl ist, wird empfohlen, sie „wie sie ist“in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu belassen und erst dann, wenn die Antworten eingegangen sind, zu entscheiden, ob gerundet und in eine andere Form umgewandelt werden soll Schreibweise)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Die Matrix wird mit neuen Werten neu geschrieben.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Wie Sie sehen können, hat die resultierende Matrix bereits eine Stufenform. Daher sind weitere Transformationen des Systems durch das Gauß-Verfahren nicht erforderlich. Was hier getan werden kann, ist, den Gesamtkoeffizienten "-1/7" aus der dritten Zeile zu entfernen.
Jetzt allenett. Der Punkt ist klein - schreibe die Matrix wieder in Form eines Gleichungssystems und berechne die Wurzeln
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Der Algorithmus, mit dem nun die Nullstellen gefunden werden, nennt man Rückwärtszug in der Gauß-Methode. Gleichung (3) enthält den Wert z:
z=61/9
Zurück zur zweiten Gleichung:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Und mit der ersten Gleichung kannst du x finden:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Wir haben das Recht, ein solches System gemeinsam und sogar endgültig zu nennen, das heißt, eine einzigartige Lösung zu haben. Die Antwort wird in folgender Form geschrieben:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Beispiel eines unbestimmten Systems
Die Variante, ein bestimmtes System mit der Gauß-Methode zu lösen, wurde analysiert, jetzt ist es notwendig, den Fall zu betrachten, wenn das System unbestimmt ist, dh unendlich viele Lösungen dafür gefunden werden können.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Schon die Form des Systems ist alarmierend, denn die Anzahl der Unbekannten ist n=5, und der Rang der Systemmatrix ist bereits genau kleiner als diese Zahl, denn die Anzahl der Zeilen ist m=4, das heißt, die größte Ordnung der quadratischen Determinante ist 4. Also,Es gibt unendlich viele Lösungen, und wir müssen nach ihrer allgemeinen Form suchen. Mit der Gauß-Methode für lineare Gleichungen können Sie dies tun.
Zunächst wird wie gewohnt die erweiterte Matrix kompiliert.
Zweite Zeile: Koeffizient k=(-a21/a11)=-3. In der dritten Zeile befindet sich das erste Element vor den Transformationen, Sie müssen also nichts anfassen, Sie müssen es so lassen, wie es ist. Vierte Zeile: k=(-a41/a11)=-5
Indem wir die Elemente der ersten Zeile nacheinander mit jedem ihrer Koeffizienten multiplizieren und zu den erforderlichen Zeilen addieren, erh alten wir eine Matrix der folgenden Form:
Wie Sie sehen können, bestehen die zweite, dritte und vierte Reihe aus Elementen, die zueinander proportional sind. Die zweite und vierte sind im Allgemeinen gleich, also kann eine von ihnen sofort entfernt werden und der Rest mit dem Koeffizienten "-1" multipliziert werden und Zeile Nummer 3 erh alten. Und wieder eine von zwei identischen Zeilen lassen.
Das Ergebnis ist eine solche Matrix. Das System ist noch nicht niedergeschrieben, hier gilt es, die Grundvariablen zu bestimmen - stehend bei den Koeffizienten a11=1 und a22=1, und kostenlos - alles andere.
Es gibt nur eine Basisvariable in der zweiten Gleichung - x2. Daher kann es von dort aus ausgedrückt werden, indem man durch die Variablen x3, x4, x5 schreibt, welche sind kostenlos.
Setze den resultierenden Ausdruck in die erste Gleichung ein.
Es stellte sich eine Gleichung heraus, in derdie einzige Grundvariable ist x1. Machen wir damit dasselbe wie mit x2.
Alle Grundvariablen, von denen es zwei gibt, werden in Form von drei freien ausgedrückt, jetzt können Sie die Antwort in allgemeiner Form schreiben.
Sie können auch eine der speziellen Lösungen des Systems angeben. Für solche Fälle werden in der Regel Nullen als Werte für freie Variablen gewählt. Dann lautet die Antwort:
-16, 23, 0, 0, 0.
Beispiel eines inkonsistenten Systems
Die Lösung inkonsistenter Gleichungssysteme nach der Gauß-Methode ist am schnellsten. Sie endet, sobald auf einer der Stufen eine Gleichung erh alten wird, die keine Lösung hat. Das heißt, die Phase mit der Berechnung der Wurzeln, die ziemlich lang und langweilig ist, verschwindet. Angedacht ist folgendes System:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Wie üblich wird die Matrix kompiliert:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Und auf eine Stufenform reduziert:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Nach der ersten Transformation enthält die dritte Zeile eine Gleichung der Form
0=7, keine Lösung. Daher das Systemist inkonsistent, und die Antwort ist die leere Menge.
Vor- und Nachteile der Methode
Wenn Sie sich für eine Methode zum Lösen von SLAE auf Papier mit einem Stift entscheiden, dann sieht die Methode, die in diesem Artikel betrachtet wurde, am attraktivsten aus. Bei elementaren Transformationen ist es viel schwieriger, verwirrt zu werden, als wenn Sie manuell nach der Determinante oder einer kniffligen inversen Matrix suchen müssen. Wenn Sie jedoch Programme zum Arbeiten mit Daten dieser Art verwenden, z. B. Tabellenkalkulationen, stellt sich heraus, dass solche Programme bereits Algorithmen zur Berechnung der Hauptparameter von Matrizen enth alten - Determinante, Minor, inverse und transponierte Matrizen usw. Und wenn Sie sicher sind, dass die Maschine diese Werte selbst berechnet und keinen Fehler macht, ist es sinnvoller, die Matrixmethode oder die Formeln von Cramer zu verwenden, da ihre Anwendung mit der Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen beginnt und endet.
Bewerbung
Da die Gaußsche Lösung ein Algorithmus ist und die Matrix tatsächlich ein zweidimensionales Array ist, kann sie beim Programmieren verwendet werden. Aber da sich der Artikel als Leitfaden „für Dummies“positioniert, sollte gesagt werden, dass der einfachste Ort, um die Methode einzufügen, Tabellenkalkulationen sind, zum Beispiel Excel. Auch hier wird jede SLAE, die in Form einer Matrix in eine Tabelle eingegeben wird, von Excel als zweidimensionales Array betrachtet. Und für Operationen mit ihnen gibt es viele nette Befehle: Addition (man kann nur gleich große Matrizen addieren!), Multiplikation mit einer Zahl, Matrizenmultiplikation (auch mitbestimmte Einschränkungen), das Finden der inversen und transponierten Matrizen und vor allem das Berechnen der Determinante. Wenn diese zeitraubende Aufgabe durch einen einzigen Befehl ersetzt wird, ist es viel schneller, den Rang einer Matrix zu bestimmen und somit ihre Kompatibilität oder Inkonsistenz festzustellen.
