Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Katheten im Quadrat

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Jeder Schüler weiß, dass das Quadrat der Hypotenuse immer gleich der Summe der Beine ist, von denen jedes quadriert ist. Diese Aussage wird Satz des Pythagoras genannt. Es ist einer der berühmtesten Sätze in der Trigonometrie und Mathematik im Allgemeinen. Betrachten Sie es genauer.

Das Konzept eines rechtwinkligen Dreiecks

Bevor wir uns mit dem Satz des Pythagoras befassen, in dem das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der quadrierten Beine ist, sollten wir das Konzept und die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks betrachten, für das der Satz gilt ist gültig.

Dreieck ist eine flache Figur mit drei Winkeln und drei Seiten. Ein rechtwinkliges Dreieck hat, wie der Name schon sagt, einen rechten Winkel, das heißt, dieser Winkel ist 90o.

Aus den allgemeinen Eigenschaften für alle Dreiecke ist bekannt, dass die Summe aller drei Winkel dieser Figur 180^o ist, was bedeutet, dass für ein rechtwinkliges Dreieck die Summe von zwei Winkel, die nicht richtig sind, ist 180^o -90^o=90^o. Die letzte Tatsache bedeutet, dass jeder Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, der kein rechter Winkel ist, immer kleiner als 90^{o. ist.}

Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die anderen beiden Seiten sind die Schenkel des Dreiecks, sie können einander gleich oder unterschiedlich sein. Aus der Trigonometrie ist bekannt, dass je größer der Winkel ist, unter dem eine Seite in einem Dreieck liegt, desto größer ist die Länge dieser Seite. Das bedeutet, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse (liegt gegenüber dem Winkel 90^o) immer größer ist als jeder der Schenkel (liegt gegenüber den Winkeln < 90^o).

Mathematische Schreibweise des Satzes des Pythagoras

Dieser Satz besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Zweige ist, von denen jeder zuvor quadriert wurde. Um diese Formulierung mathematisch zu schreiben, stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, in dem die Seiten a, b und c die beiden Schenkel bzw. die Hypotenuse sind. In diesem Fall kann der Satz, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine ist, durch die folgende Formel dargestellt werden: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Daraus lassen sich weitere für die Praxis wichtige Formeln ableiten: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) und c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Beachte, dass im Fall eines rechtwinkligen gleichseitigen Dreiecks, also a=b, die Formulierung: das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Schenkel, von denen jeder istquadriert, mathematisch geschrieben als: c²=a² + b²=2a ^{2, was die Gleichheit impliziert: c=a√2.}

Historischer Hintergrund

Der Satz des Pythagoras, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Beine ist, von denen jedes quadriert ist, war bekannt, lange bevor der berühmte griechische Philosoph sich damit beschäftigte. Viele Papyri des alten Ägypten sowie Tontafeln der Babylonier bestätigen, dass diese Völker die bekannte Eigenschaft der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks nutzten. Beispielsweise wurde eine der ersten ägyptischen Pyramiden, die Chephren-Pyramide, deren Bau auf das 26. Jahrhundert v. Chr. (2000 Jahre vor dem Leben von Pythagoras) zurückgeht, auf der Grundlage der Kenntnis des Seitenverhältnisses in einem rechtwinkligen Dreieck von 3x4x5 gebaut.

Warum ist der Satz nun nach einem Griechen benannt? Die Antwort ist einfach: Pythagoras ist der erste, der diesen Satz mathematisch beweist. Erh altene babylonische und ägyptische Schriften erwähnen nur seine Verwendung, liefern aber keinen mathematischen Beweis.

Es wird angenommen, dass Pythagoras den betrachteten Satz bewies, indem er die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke verwendete, die er durch Zeichnen einer Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck vom Winkel 90o zu erhielt die Hypotenuse.

Ein Beispiel für die Verwendung des Satzes des Pythagoras

Stellen Sie sich ein einfaches Problem vor: Es ist notwendig, die Länge einer geneigten Treppe L zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass sie eine Höhe H=3 hatMeter, und der Abstand von der Wand, an der die Leiter anliegt, bis zu ihrem Fuß beträgt P=2,5 Meter.

In diesem Fall sind H und P die Schenkel und L die Hypotenuse. Da die Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist, erh alten wir: L²=H² + P 2^{, woher L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 Meter oder 3 Meter und 90,5 cm.}