Wenn man einem Mathematiklehrer zuhört, nehmen die meisten Schüler den Stoff als Axiom. Gleichzeitig versuchen nur wenige Menschen, auf den Grund zu gehen und herauszufinden, warum das „Minus“auf dem „Plus“ein „Minus“-Zeichen ergibt und beim Multiplizieren zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis herauskommt.
Mathematische Gesetze
Die meisten Erwachsenen sind nicht in der Lage, sich selbst oder ihren Kindern zu erklären, warum dies passiert. Sie hatten diesen Stoff in der Schule gründlich aufgenommen, aber sie versuchten nicht einmal herauszufinden, woher solche Regeln kamen. Aber vergeblich. Moderne Kinder sind oft nicht so leichtgläubig, sie müssen der Sache auf den Grund gehen und beispielsweise verstehen, warum „Plus“auf „Minus“„Minus“ergibt. Und manchmal stellen Wildfang bewusst knifflige Fragen, um den Moment zu genießen, in dem Erwachsene keine verständliche Antwort geben können. Und es ist wirklich eine Katastrophe, wenn ein junger Lehrer in Schwierigkeiten gerät…
Zu beachten ist übrigens, dass die oben genannte Regel sowohl für die Multiplikation als auch für die Division gilt. Das Produkt aus einer negativen und einer positiven Zahl ergibt nur ein Minus. Wenn wir über zwei Ziffern mit einem „-“-Zeichen sprechen, ist das Ergebnis eine positive Zahl. Dasselbe gilt für die Teilung. Wenn eineine der Zahlen negativ ist, dann wird auch der Quotient mit einem „-“-Zeichen versehen.
Um die Richtigkeit dieses mathematischen Gesetzes zu erklären, ist es notwendig, die Axiome des Rings zu formulieren. Aber zuerst müssen Sie verstehen, was es ist. In der Mathematik ist es üblich, einen Ring als Menge zu bezeichnen, an der zwei Operationen mit zwei Elementen beteiligt sind. Aber es ist besser, dies an einem Beispiel zu behandeln.
Axiom des Rings
Es gibt mehrere mathematische Gesetze.
- Der erste ist seiner Meinung nach kommutativ, C + V=V + C.
- Die zweite heißt assoziativ (V + C) + D=V + (C + D).
Sie gehorchen auch der Multiplikation (V x C) x D=V x (C x D).
Niemand hat die Regeln aufgehoben, nach denen Klammern geöffnet werden (V + C) x D=V x D + C x D, es ist auch wahr, dass C x (V + D)=C x V + C x D.
Außerdem hat sich herausgestellt, dass in den Ring ein spezielles addierungsneutrales Element eingeführt werden kann, mit dem gilt: C + 0=C. Außerdem gilt für jedes C es gibt ein entgegengesetztes Element, das als (-C) bezeichnet werden kann. In diesem Fall ist C + (-C)=0.
Ableitung von Axiomen für negative Zahlen
Wenn wir die obigen Aussagen akzeptieren, können wir die Frage beantworten: "Welches Zeichen ergibt "Plus" zu "Minus"? Wenn man das Axiom über die Multiplikation negativer Zahlen kennt, muss man bestätigen, dass tatsächlich (-C) x V=-(C x V) gilt. Und auch, dass die folgende Gleichheit gilt: (-(-C))=C.
Dazu müssen wir zunächst beweisen, dass jedes der Elemente nur eines hatgegenüber Bruder. Betrachten Sie das folgende Beweisbeispiel. Versuchen wir uns vorzustellen, dass zwei Zahlen für C - V und D entgegengesetzt sind. Daraus folgt, dass C + V=0 und C + D=0, dh C + V=0=C + D. Erinnern wir uns an die Verschiebungsgesetze und über die Eigenschaften der Zahl 0 können wir die Summe aller drei Zahlen betrachten: C, V und D. Versuchen wir, den Wert von V herauszufinden. Es ist logisch, dass V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, weil der Wert von C + D, wie oben angenommen, gleich 0 ist. Also V=V + C + D.
Der Wert für D ergibt sich genau so: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Daraus ergibt sich, dass V=D.
Um zu verstehen, warum das "Plus" auf dem "Minus" ein "Minus" ergibt, müssen Sie Folgendes verstehen. Für das Element (-C) sind also die Gegensätze C und (-(-C)), das heißt, sie sind einander gleich.
Dann ist offensichtlich, dass 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Daraus folgt, dass C x V das Gegenteil von (-)C x ist V, also (-C) x V=-(C x V).
Für vollständige mathematische Strenge ist es auch notwendig zu bestätigen, dass 0 x V=0 für jedes Element. Wenn Sie der Logik folgen, dann 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Dies bedeutet, dass das Hinzufügen des Produkts 0 x V den eingestellten Betrag in keiner Weise ändert. Schließlich ist dieses Produkt gleich Null.
Wenn Sie all diese Axiome kennen, können Sie nicht nur ableiten, wie viel "Plus" durch "Minus" ergibt, sondern auch, was passiert, wenn Sie negative Zahlen multiplizieren.
Multiplikation und Division zweier Zahlen mit "-" Zeichen
Wenn Sie nicht tief in die Mathematik einsteigenNuancen können Sie versuchen, die Rechenregeln mit negativen Zahlen einfacher zu erklären.
Nehmen wir an, dass C - (-V)=D, also C=D + (-V), d. h. C=D - V. Übertragen Sie V und erh alten Sie C + V=D. Das heißt, C + V=C - (-V). Dieses Beispiel erklärt, warum in einem Ausdruck, in dem zwei „Minus“hintereinander stehen, die genannten Zeichen in „Plus“geändert werden sollten. Kommen wir nun zur Multiplikation.
(-C) x (-V)=D, Sie können zwei identische Produkte zu dem Ausdruck addieren und subtrahieren, was seinen Wert nicht ändert: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
Wenn wir uns an die Regeln für die Arbeit mit Klammern erinnern, erh alten wir:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Daraus folgt C x V=(-C) x (-V).
In ähnlicher Weise können wir beweisen, dass die Division zweier negativer Zahlen eine positive ergibt.
Allgemeine Rechenregeln
Diese Erklärung ist natürlich nicht für Grundschüler geeignet, die gerade anfangen, abstrakte negative Zahlen zu lernen. Es ist besser für sie, an sichtbaren Objekten zu erklären und den vertrauten Begriff durch den Spiegel zu manipulieren. Dort befinden sich zum Beispiel erfundene, aber nicht existierende Spielzeuge. Sie können mit einem "-" Zeichen angezeigt werden. Die Multiplikation zweier Spiegelobjekte versetzt sie in eine andere Welt, die der Gegenwart gleichgesetzt wird, d. h. wir haben als Ergebnis positive Zahlen. Aber die Multiplikation einer abstrakten negativen Zahl mit einer positiven liefert nur das jedem bekannte Ergebnis. Denn "plus"Multiplizieren mit "minus" ergibt "minus". Zwar versuchen Kinder im Grundschul alter nicht wirklich, sich in alle mathematischen Nuancen einzuarbeiten.
Obwohl, wenn man der Wahrheit ins Auge sieht, bleiben viele Regeln für viele Menschen selbst mit höherer Bildung ein Rätsel. Jeder nimmt das, was die Lehrer ihm beibringen, als selbstverständlich hin und ist nicht verlegen, sich in all die Komplexitäten zu vertiefen, mit denen die Mathematik behaftet ist. „Minus“auf „Minus“ergibt ein „Plus“– das weiß ausnahmslos jeder. Dies gilt sowohl für ganze Zahlen als auch für Bruchzahlen.
