Eine Ebene ist ein geometrisches Objekt, dessen Eigenschaften beim Konstruieren von Projektionen von Punkten und Linien sowie beim Berechnen von Abständen und Flächenwinkeln zwischen Elementen dreidimensionaler Figuren verwendet werden. Betrachten wir in diesem Artikel, welche Gleichungen verwendet werden können, um die Position von Ebenen im Raum zu untersuchen.
Ebenendefinition
Jeder stellt sich intuitiv vor, welches Objekt besprochen wird. Aus geometrischer Sicht ist eine Ebene eine Ansammlung von Punkten, zwischen denen alle Vektoren senkrecht zu einem Vektor stehen müssen. Wenn es beispielsweise m verschiedene Punkte im Raum gibt, können daraus m(m-1) / 2 verschiedene Vektoren erstellt werden, die die Punkte paarweise verbinden. Stehen alle Vektoren senkrecht auf eine Richtung, so ist dies eine hinreichende Bedingung dafür, dass alle Punkte m auf derselben Ebene liegen.
Allgemeine Gleichung
In der räumlichen Geometrie wird eine Ebene durch Gleichungen beschrieben, die im Allgemeinen drei unbekannte Koordinaten enth alten, die den x-, y- und z-Achsen entsprechen. Zuerh alte die allgemeine Gleichung in ebenen Koordinaten im Raum, nehme an, dass es einen Vektor n¯(A; B; C) und einen Punkt M(x0; y0 gibt; z0). Mit diesen beiden Objekten kann die Ebene eindeutig definiert werden.
Angenommen, es gibt einen zweiten Punkt P(x; y; z), dessen Koordinaten unbekannt sind. Gemäß der oben gegebenen Definition muss der Vektor MP¯ senkrecht auf n¯ stehen, dh das Skalarprodukt für sie ist gleich Null. Dann können wir folgenden Ausdruck schreiben:
(n¯MP¯)=0 oder
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
Wenn wir die Klammern öffnen und einen neuen Koeffizienten D einführen, erh alten wir den Ausdruck:
Ax + By + Cz + D=0 wobei D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Diesen Ausdruck nennt man die allgemeine Gleichung für die Ebene. Dabei ist zu beachten, dass die Koeffizienten vor x, y und z die Koordinaten des Vektors n¯(A; B; C) senkrecht zur Ebene bilden. Es stimmt mit der Normalen überein und ist ein Leitfaden für das Flugzeug. Für die Bestimmung der allgemeinen Gleichung spielt es keine Rolle, wohin dieser Vektor gerichtet ist. Das heißt, die Ebenen, die auf den Vektoren n¯ und -n¯ aufgebaut sind, sind gleich.
Die obige Abbildung zeigt eine Ebene, einen Vektor senkrecht dazu und eine Linie senkrecht zur Ebene.
Segmente, die von der Ebene auf den Achsen abgeschnitten werden, und die entsprechende Gleichung
Die allgemeine Gleichung erlaubt es, mit einfachen mathematischen Operationen zu bestimmen, inan welchen Punkten die Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Es ist wichtig, diese Informationen zu kennen, um eine Vorstellung von der Lage des Flugzeugs im Raum zu haben, sowie für die Darstellung in den Zeichnungen.
Zur Bestimmung der genannten Schnittpunkte wird eine Segmentgleichung verwendet. Es wird so genannt, weil es explizit die Werte der Längen der Segmente enthält, die von der Ebene auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden, wenn vom Punkt (0; 0; 0) aus gezählt wird. Lass uns diese Gleichung bekommen.
Schreibe den allgemeinen Ausdruck für die Ebene wie folgt:
Ax + By + Cz=-D
Der linke und der rechte Teil können durch -D geteilt werden, ohne die Gleichheit zu verletzen. Wir haben:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 oder
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Gest alte die Nenner jedes Terms mit einem neuen Symbol, wir erh alten:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C then
x/p + y/q + z/r=1
Dies ist die oben erwähnte Gleichung in Segmenten. Daraus folgt, dass der Wert des Nenners jedes Terms die Koordinate des Schnittpunkts mit der entsprechenden Achse der Ebene angibt. Beispielsweise schneidet es die y-Achse im Punkt (0; q; 0). Dies ist leicht zu verstehen, wenn Sie die x- und z-Koordinaten von Null in die Gleichung einsetzen.
Beachte, dass wenn es keine Variable in der Gleichung in den Segmenten gibt, dies bedeutet, dass die Ebene die entsprechende Achse nicht schneidet. Zum Beispiel bei gegebenem Ausdruck:
x/p + y/q=1
Das bedeutet, dass die Ebene die Segmente p und q auf der x- bzw. y-Achse abschneidet, aber parallel zur z-Achse verläuft.
Schlussfolgerung über das Verh alten des Flugzeugs wanndas Fehlen einer Variablen in ihrer Gleichung gilt auch für einen allgemeinen Typausdruck, wie in der Abbildung unten gezeigt.
Vektorparametrische Gleichung
Es gibt eine dritte Art von Gleichung, die es erlaubt, eine Ebene im Raum zu beschreiben. Er wird parametrischer Vektor genannt, weil er durch zwei in der Ebene liegende Vektoren und zwei Parameter gegeben ist, die beliebige unabhängige Werte annehmen können. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Gleichung erh alten werden kann.
Angenommen, es gibt ein paar bekannte Vektoren u ¯(a1; b1; c1) und v¯(a2; b2; c2). Wenn sie nicht parallel sind, können sie verwendet werden, um eine bestimmte Ebene festzulegen, indem der Anfang eines dieser Vektoren an einem bekannten Punkt M(x0; y0 festgelegt wird; z0). Lässt sich ein beliebiger Vektor MP¯ als Kombination der linearen Vektoren u¯ und v¯ darstellen, so bedeutet dies, dass der Punkt P(x; y; z) zur selben Ebene gehört wie u¯, v¯. Somit können wir die Gleichheit schreiben:
MP¯=αu¯ + βv¯
Oder wenn wir diese Gleichheit in Koordinaten schreiben, erh alten wir:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
Die dargestellte Gleichheit ist eine parametrische Vektorgleichung für die Ebene. BEIMVektorräume in der Ebene u¯ und v¯ heißen Generatoren.
Als nächstes wird bei der Lösung der Aufgabe gezeigt, wie diese Gleichung auf eine allgemeine Form für eine Ebene gebracht werden kann.
Winkel zwischen Ebenen im Raum
Intuitiv können sich Ebenen im 3D-Raum entweder schneiden oder nicht. Im ersten Fall ist es von Interesse, den Winkel zwischen ihnen zu finden. Die Berechnung dieses Winkels ist schwieriger als der Winkel zwischen Linien, da es sich um ein zweiflächiges geometrisches Objekt handelt. Abhilfe schafft jedoch der bereits erwähnte Führungsvektor für das Flugzeug.
Es ist geometrisch festgelegt, dass der Flächenwinkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen genau gleich dem Winkel zwischen ihren Führungsvektoren ist. Bezeichnen wir diese Vektoren als n1¯(a1; b1; c1) und n2¯(a2; b2; c2). Der Kosinus des Winkels zwischen ihnen wird aus dem Skalarprodukt bestimmt. Das heißt, der Winkel selbst im Raum zwischen den Ebenen kann nach folgender Formel berechnet werden:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Hier wird der Betrag im Nenner verwendet, um den Wert des stumpfen Winkels zu verwerfen (zwischen sich schneidenden Ebenen ist er immer kleiner oder gleich 90o).
In Koordinatenform kann dieser Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
Ebenen senkrecht und parallel
Wenn sich die Ebenen schneiden und der von ihnen gebildete Flächenwinkel 90o beträgt, dann stehen sie senkrecht zueinander. Ein Beispiel für solche Ebenen ist ein rechteckiges Prisma oder ein Würfel. Diese Figuren werden von sechs Ebenen gebildet. An jedem Scheitelpunkt der genannten Figuren stehen drei Ebenen senkrecht zueinander.
Um herauszufinden, ob die betrachteten Ebenen senkrecht zueinander stehen, genügt es, das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren zu berechnen. Eine hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit im Raum der Ebenen ist der Nullwert dieses Produkts.
Parallel nennt man sich nicht schneidende Ebenen. Manchmal wird auch gesagt, dass sich parallele Ebenen im Unendlichen schneiden. Die Bedingung der Parallelität im Raum der Ebenen stimmt mit der Bedingung für die Richtungsvektoren n1¯ und n2¯ überein. Sie können es auf zwei Arten überprüfen:
- Berechnen Sie den Kosinus des Diederwinkels (cos(φ)) mit dem Skalarprodukt. Wenn die Ebenen parallel sind, ist der Wert 1.
- Versuche, einen Vektor durch einen anderen darzustellen, indem du mit einer Zahl multiplizierst, also n1¯=kn2¯. Wenn dies möglich ist, dann sind die entsprechenden Flugzeugeparallel.
Die Abbildung zeigt zwei parallele Ebenen.
Lassen Sie uns nun Beispiele für die Lösung zweier interessanter Probleme unter Verwendung der erworbenen mathematischen Kenntnisse geben.
Wie erh alte ich eine allgemeine Form aus einer Vektorgleichung?
Dies ist ein parametrischer Vektorausdruck für eine Ebene. Um den Ablauf der Operationen und die verwendeten mathematischen Tricks besser verständlich zu machen, betrachten Sie ein konkretes Beispiel:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Erweitern Sie diesen Ausdruck und drücken Sie die unbekannten Parameter aus:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Dann:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
Wenn wir die Klammern im letzten Ausdruck öffnen, erh alten wir:
z=2x-2 + 3y - 6 oder
2x + 3y - z - 8=0
Wir haben die allgemeine Form der Gleichung für die in der Aufgabenstellung angegebene Ebene in Vektorform erh alten
Wie baut man ein Flugzeug durch drei Punkte?
Es ist möglich, eine einzelne Ebene durch drei Punkte zu zeichnen, wenn diese Punkte nicht zu einer einzigen geraden Linie gehören. Der Algorithmus zur Lösung dieses Problems besteht aus der folgenden Aktionsfolge:
- finde die Koordinaten zweier Vektoren, indem du paarweise bekannte Punkte verbindest;
- berechne ihr Kreuzprodukt und erh alte einen Vektor senkrecht zur Ebene;
- schreibe die allgemeine Gleichung unter Verwendung des gefundenen Vektors undirgendeiner der drei Punkte.
Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Vergebene Punkte:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
Die Koordinaten der beiden Vektoren sind:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
Ihr Kreuzprodukt ist:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Wenn wir die Koordinaten des Punktes R nehmen, erh alten wir die erforderliche Gleichung:
6x + 2y + 4z -10=0 oder
3x + y + 2z -5=0
Es wird empfohlen, die Richtigkeit des Ergebnisses zu überprüfen, indem Sie die Koordinaten der verbleibenden zwei Punkte in diesen Ausdruck einsetzen:
für P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
für Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Beachten Sie, dass es möglich war, das Vektorprodukt nicht zu finden, sondern schreiben Sie sofort die Gleichung für die Ebene in Form eines parametrischen Vektors auf.
