Im Jahr 1900 stellte einer der größten Wissenschaftler des letzten Jahrhunderts, David Hilbert, eine Liste mit 23 ungelösten Problemen in der Mathematik zusammen. Die Arbeit an ihnen hatte einen enormen Einfluss auf die Entwicklung dieses Bereichs des menschlichen Wissens. 100 Jahre später präsentierte das Clay Mathematical Institute eine Liste von 7 Problemen, die als Millennium-Probleme bekannt sind. Jedem von ihnen wurde ein Preis von 1 Million Dollar angeboten.
Das einzige Problem, das unter den beiden Listen von Rätseln auftauchte, die Wissenschaftler seit mehr als einem Jahrhundert verfolgen, war die Riemann-Hypothese. Sie wartet immer noch auf ihre Entscheidung.
Kurzbiografische Notiz
Georg Friedrich Bernhard Riemann wurde 1826 in Hannover in eine kinderreiche Familie eines armen Pfarrers geboren und lebte nur 39 Jahre. Es gelang ihm, 10 Werke zu veröffentlichen. Riemann g alt jedoch schon zu Lebzeiten als Nachfolger seines Lehrers Johann Gauss. Mit 25 Jahren verteidigte der junge Wissenschaftler seine Dissertation „Grundlagen der Funktionentheorie einer komplexen Variablen“. Später formulierte erseine berühmte Hypothese.
Primzahlen
Mathematik entstand, als der Mensch das Zählen lernte. Gleichzeitig entstanden die ersten Ideen zu Zahlen, die sie später einzuordnen versuchten. Bei einigen von ihnen wurden gemeinsame Eigenschaften beobachtet. Insbesondere unter den natürlichen Zahlen, d. h. solchen, die zum Zählen (Nummerieren) oder Bezeichnen der Anzahl von Gegenständen verwendet wurden, wurde eine Gruppe unterschieden, die nur durch Eins und durch sich selbst teilbar waren. Sie werden einfach genannt. Einen eleganten Beweis des Unendlichkeitssatzes der Menge solcher Zahlen liefert Euklid in seinen Elementen. Im Moment geht ihre Suche weiter. Insbesondere ist die größte bereits bekannte Zahl 274 207 281 – 1.
Euler-Formel
Neben dem Begriff der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen hat Euklid auch den zweiten Satz über die einzig mögliche Zerlegung in Primfaktoren bestimmt. Demnach ist jede positive ganze Zahl das Produkt nur einer Menge von Primzahlen. 1737 drückte der große deutsche Mathematiker Leonhard Euler den ersten Unendlichkeitssatz von Euklid als folgende Formel aus.
Sie heißt Zeta-Funktion, wobei s eine Konstante ist und p alle Primwerte annimmt. Euklids Aussage über die Eindeutigkeit der Erweiterung folgte direkt daraus.
Riemann-Zeta-Funktion
Eulers Formel ist bei näherer Betrachtung vollständigüberraschend, weil es die Beziehung zwischen Primzahlen und ganzen Zahlen definiert. Schließlich werden auf seiner linken Seite unendlich viele Ausdrücke multipliziert, die nur von Primzahlen abhängen, und auf der rechten Seite steht die Summe aller positiven ganzen Zahlen.
Riemann ging weiter als Euler. Um den Schlüssel zum Problem der Verteilung von Zahlen zu finden, schlug er vor, eine Formel sowohl für reelle als auch für komplexe Variablen zu definieren. Sie war es, die später den Namen der Riemann-Zeta-Funktion erhielt. 1859 veröffentlichte der Wissenschaftler einen Artikel mit dem Titel „Über die Anzahl der Primzahlen, die einen bestimmten Wert nicht überschreiten“, in dem er alle seine Ideen zusammenfasste.
Riemann schlug vor, die Euler-Reihe zu verwenden, die für jedes echte s>1 konvergiert. Wenn die gleiche Formel für komplexe s verwendet wird, konvergiert die Reihe für jeden Wert dieser Variablen mit einem Re alteil größer als 1. Riemann wendete das analytische Fortsetzungsverfahren an und erweiterte die Definition von Zeta (s) auf alle komplexen Zahlen, aber das Gerät "rausgeschmissen". Sie wurde ausgeschlossen, weil bei s=1 die Zeta-Funktion gegen unendlich ansteigt.
Praktischer Sinn
Da stellt sich eine logische Frage: Warum ist die Zeta-Funktion, die in Riemanns Arbeiten zur Nullhypothese zentral ist, interessant und wichtig? Wie Sie wissen, wurde im Moment kein einfaches Muster identifiziert, das die Verteilung von Primzahlen unter natürlichen Zahlen beschreiben würde. Riemann konnte entdecken, dass die Anzahl pi(x) der Primzahlen, die x nicht überschreiten, durch die Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion ausgedrückt wird. Darüber hinaus ist die Riemann-Hypotheseeine notwendige Bedingung für den Nachweis von Zeitschätzungen für den Betrieb einiger kryptographischer Algorithmen.
Riemann-Hypothese
Eine der ersten Formulierungen dieses bis heute unbewiesenen mathematischen Problems klingt so: Nicht-triviale 0-Zeta-Funktionen sind komplexe Zahlen mit Re alteil gleich ½. Sie liegen also auf der Geraden Re s=½.
Es gibt auch eine verallgemeinerte Riemann-Hypothese, die dieselbe Aussage ist, aber für Verallgemeinerungen von Zeta-Funktionen, die allgemein als Dirichlet-L-Funktionen bezeichnet werden (siehe Foto unten).
In der Formel χ(n) - ein numerisches Zeichen (modulo k).
Die Riemannsche Aussage gilt als sogenannte Nullhypothese, da sie mit bestehenden Stichprobendaten auf Konsistenz geprüft wurde.
Wie Riemann argumentierte
Die Bemerkung des deutschen Mathematikers war ursprünglich ziemlich salopp formuliert. Tatsache ist, dass der Wissenschaftler zu dieser Zeit den Satz über die Verteilung der Primzahlen beweisen wollte, und in diesem Zusammenhang war diese Hypothese von keiner besonderen Bedeutung. Seine Rolle bei der Lösung vieler anderer Probleme ist jedoch enorm. Deshalb wird Riemanns Annahme heute von vielen Wissenschaftlern als das wichtigste der unbewiesenen mathematischen Probleme anerkannt.
Wie bereits erwähnt, wird die vollständige Riemann-Hypothese nicht benötigt, um den Verteilungssatz zu beweisen, und sie reicht aus, um logisch zu begründen, dass der Re alteil einer beliebigen nicht-trivialen Nullstelle der Zeta-Funktion in istzwischen 0 und 1. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass die Summe aller Nullen der Zeta-Funktion, die in der obigen exakten Formel erscheint, eine endliche Konstante ist. Bei großen Werten von x kann es vollständig verloren gehen. Das einzige Glied der Formel, das auch für sehr große x gleich bleibt, ist x selbst. Die restlichen komplexen Terme verschwinden dagegen asymptotisch. Die gewichtete Summe geht also gegen x. Dieser Umstand kann als Bestätigung der Wahrheit des Satzes über die Verteilung der Primzahlen angesehen werden. Somit kommt den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion eine besondere Rolle zu. Es besteht darin zu beweisen, dass solche Werte keinen signifikanten Beitrag zur Zerlegungsformel leisten können.
Anhänger von Riemann
Der tragische Tod durch Tuberkulose erlaubte diesem Wissenschaftler nicht, sein Programm zu seinem logischen Ende zu bringen. Sh-Zh übernahm jedoch von ihm. de la Vallée Poussin und Jacques Hadamard. Sie leiteten unabhängig voneinander einen Satz über die Verteilung von Primzahlen ab. Hadamard und Poussin gelang es zu beweisen, dass alle nicht-trivialen 0-Zeta-Funktionen innerhalb des kritischen Bandes liegen.
Dank der Arbeit dieser Wissenschaftler ist eine neue Richtung in der Mathematik aufgetaucht - die analytische Theorie der Zahlen. Später wurden mehrere primitivere Beweise des Theorems, an dem Riemann arbeitete, von anderen Forschern erh alten. Insbesondere Pal Erdős und Atle Selberg entdeckten sogar eine sehr komplexe logische Kette, die dies bestätigte und die keine komplexen Analysen erforderte. Zu diesem Zeitpunkt sind jedoch mehrere wichtigTheoreme, einschließlich Annäherungen an viele zahlentheoretische Funktionen. In dieser Hinsicht hat die neue Arbeit von Erdős und Atle Selberg praktisch nichts bewirkt.
Einer der einfachsten und schönsten Beweise für das Problem wurde 1980 von Donald Newman gefunden. Es basierte auf dem berühmten Satz von Cauchy.
Gefährdet die Riemannsche Hypothese die Grundlagen der modernen Kryptografie
Die Datenverschlüsselung entstand zusammen mit dem Erscheinen der Hieroglyphen, genauer gesagt, sie selbst können als die ersten Codes betrachtet werden. Im Moment gibt es einen ganzen Bereich der digitalen Kryptografie, der Verschlüsselungsalgorithmen entwickelt.
Primzahlen und „semiprime“Zahlen, also solche, die nur durch 2 andere Zahlen derselben Klasse teilbar sind, bilden die Grundlage des als RSA bekannten Public-Key-Systems. Es hat die breiteste Anwendung. Insbesondere wird es bei der Erstellung einer elektronischen Signatur verwendet. In Begriffen sprechend, die Dummies zugänglich sind, behauptet die Riemann-Hypothese die Existenz eines Systems in der Verteilung von Primzahlen. Dadurch wird die Stärke kryptografischer Schlüssel, von denen die Sicherheit von Online-Transaktionen im E-Commerce abhängt, deutlich reduziert.
Andere ungelöste mathematische Probleme
Es lohnt sich, den Artikel mit einigen Worten zu anderen Millenniumszielen abzuschließen. Dazu gehören:
- Gleichheit der Klassen P und NP. Das Problem wird wie folgt formuliert: Wenn eine positive Antwort auf eine bestimmte Frage in polynomieller Zeit überprüft wird, dann ist es wahr, dass die Antwort auf diese Frage selbstschnell gefunden werden?
- Hodges Vermutung. Vereinfacht lässt sich das so formulieren: Hodge-Zyklen sind für einige Arten projektiver algebraischer Varietäten (Räume) Kombinationen von Objekten, die eine geometrische Interpretation haben, also algebraische Zyklen.
- Poincarés Vermutung. Dies ist die einzige bisher nachgewiesene Millennium Challenge. Demnach muss jedes 3-dimensionale Objekt, das die spezifischen Eigenschaften einer 3-dimensionalen Kugel hat, bis zur Verformung eine Kugel sein.
- Bestätigung der Quantentheorie von Yang - Mills. Es muss bewiesen werden, dass die von diesen Wissenschaftlern aufgestellte Quantentheorie für den Raum R 4 existiert und einen 0-ten Massendefekt für jede einfache kompakte Eichgruppe G hat.
- Birch-Swinnerton-Dyer-Hypothese. Dies ist ein weiteres Problem im Zusammenhang mit der Kryptographie. Es berührt elliptische Kurven.
- Das Problem der Existenz und Glattheit von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen.
Jetzt kennst du die Riemann-Hypothese. In einfachen Worten haben wir einige der anderen Millennium-Herausforderungen formuliert. Dass sie gelöst werden oder bewiesen wird, dass sie keine Lösung haben, ist eine Frage der Zeit. Darüber hinaus ist es unwahrscheinlich, dass dies zu lange warten muss, da die Mathematik zunehmend die Rechenkapazitäten von Computern nutzt. Allerdings unterliegt nicht alles der Technik, und um naturwissenschaftliche Probleme zu lösen, sind vor allem Intuition und Kreativität gefragt.
