Extreme einer Funktion - vereinfacht gesagt über komplex

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Um zu verstehen, was die Extrempunkte einer Funktion sind, ist es überhaupt nicht notwendig, das Vorhandensein der ersten und zweiten Ableitung zu kennen und ihre physikalische Bedeutung zu verstehen. Zuerst müssen Sie Folgendes verstehen:

• Funktionsextrema maximieren oder umgekehrt den Wert der Funktion in einer beliebig kleinen Umgebung minimieren;
• Am Extremumpunkt darf kein Funktionsbruch auftreten.

Und jetzt das gleiche, nur im Klartext. Sehen Sie sich die Spitze eines Kugelschreibers an. Wenn der Stift vertikal mit der Schrift nach oben platziert wird, ist die Mitte der Kugel der äußerste Punkt – der höchste Punkt. In diesem Fall sprechen wir vom Maximum. Dreht man nun den Stift mit der Schreibspitze nach unten, so ist in der Mitte der Kugel bereits ein Minimum der Funktion vorhanden. Mit Hilfe der hier angegebenen Abbildung können Sie sich die aufgeführten Manipulationen für einen Schreibwarenstift vorstellen. Die Extrema einer Funktion sind also immer kritische Punkte: ihre Maxima oder Minima. Der angrenzende Abschnitt des Diagramms kann beliebig scharf oder glatt sein, muss aber auf beiden Seiten vorhanden sein, nur in diesem Fall ist der Punkt ein Extremum. Wenn das Diagramm nur auf einer Seite vorhanden ist, wird dieser Punkt kein Extremum sein, selbst wenn auf einer SeiteExtrembedingungen erfüllt sind. Lassen Sie uns nun die Extrema der Funktion aus wissenschaftlicher Sicht untersuchen. Damit ein Punkt als Extremum betrachtet wird, ist es notwendig und ausreichend, dass:

• die erste Ableitung war gleich Null oder existierte an der Stelle nicht;
• die erste Ableitung änderte an dieser Stelle ihr Vorzeichen.

Die Bedingung wird aus Sicht der Ableitungen höherer Ordnung etwas anders interpretiert: Für eine an einem Punkt differenzierbare Funktion genügt es, dass es eine Ableitung ungerader Ordnung gibt, die ungleich Null ist, während alle Ableitungen niedrigerer Ordnung müssen existieren und gleich Null sein. Dies ist die einfachste Interpretation von Sätzen aus Lehrbüchern der höheren Mathematik. Aber für die meisten gewöhnlichen Menschen lohnt es sich, diesen Punkt anhand eines Beispiels zu erläutern. Die Basis ist eine gewöhnliche Parabel. Reservieren Sie sofort, am Nullpunkt hat es ein Minimum. Nur ein bisschen Mathe:

• erste Ableitung (X²)^|=2X, für Nullpunkt 2X=0;
• zweite Ableitung (2X)^|=2, für Nullpunkt 2=2.

Dies ist eine einfache Veranschaulichung der Bedingungen, die die Extrema der Funktion sowohl für Ableitungen erster Ordnung als auch für Ableitungen höherer Ordnung bestimmen. Wir können dem hinzufügen, dass die zweite Ableitung genau die gleiche Ableitung ungerader Ordnung ungleich Null ist, die etwas weiter oben besprochen wurde. Wenn es um Extrema einer Funktion zweier Variablen geht, müssen die Bedingungen für beide Argumente erfüllt sein. WannVerallgemeinerung erfolgt, dann werden partielle Ableitungen verwendet. Das heißt, für das Vorhandensein eines Extremums an einem Punkt ist es erforderlich, dass beide Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind oder mindestens eine davon nicht existiert. Für das Hinreichen des Vorhandenseins eines Extremums wird ein Ausdruck untersucht, der die Differenz zwischen dem Produkt der Ableitungen zweiter Ordnung und dem Quadrat der gemischten Ableitung zweiter Ordnung der Funktion ist. Wenn dieser Ausdruck größer als Null ist, dann gibt es ein Extremum, und wenn es Null gibt, dann bleibt die Frage offen und weitere Forschung ist erforderlich.