Mathematik stammt aus der Antike. Dank ihr gaben Architektur, Bauwesen und Militärwissenschaft eine neue Entwicklungsrunde, die Errungenschaften, die mit Hilfe der Mathematik erzielt wurden, führten zur Bewegung des Fortschritts. Bis heute ist die Mathematik die Hauptwissenschaft, die in allen anderen Bereichen zu finden ist.
Um gebildet zu werden, fangen Kinder ab der ersten Klasse an, sich allmählich in diese Umgebung einzufügen. Es ist sehr wichtig, Mathematik zu verstehen, da sie jedem Menschen im Laufe seines Lebens bis zu einem gewissen Grad in den Sinn kommt. Dieser Artikel analysiert eines der Schlüsselelemente – das Finden und Anwenden von Derivaten. Nicht jeder kann sich vorstellen, wie weit dieses Konzept verwendet wird. Betrachten Sie mehr als 10 Anwendungen von Derivaten in bestimmten Bereichen oder Wissenschaften.
Anwendung der Ableitung zur Untersuchung einer Funktion
Die Ableitung ist eine solche Grenzedas Verhältnis des Inkrements einer Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn der Exponent des Arguments gegen Null tendiert. Die Ableitung ist eine unverzichtbare Sache beim Studium einer Funktion. Beispielsweise kann es verwendet werden, um die Zunahme und Abnahme der letzteren, Extrema, Konvexität und Konkavität zu bestimmen. Differentialrechnung gehört zum Pflichtlehrplan für Studierende des 1. und 2. Studienjahres an mathematischen Universitäten.
Bereich und Funktionsnullstellen
Die erste Stufe jeder Untersuchung des Graphen beginnt damit, den Definitionsbereich herauszufinden, in selteneren Fällen - den Wert. Der Definitionsbereich wird entlang der Abszissenachse festgelegt, mit anderen Worten, dies sind numerische Werte auf der OX-Achse. Oft ist der Bereich bereits festgelegt, aber wenn dies nicht der Fall ist, sollte der Wert des x-Arguments ausgewertet werden. Angenommen, wenn für einige Werte des Arguments die Funktion keinen Sinn ergibt, dann wird dieses Argument aus dem Gültigkeitsbereich ausgeschlossen.
Nullen der Funktion findet man auf einfache Weise: Die Funktion f(x) soll gleich Null gesetzt werden und die resultierende Gleichung soll nach einer Variablen x gelöst werden. Die erh altenen Nullstellen der Gleichung sind die Nullstellen der Funktion, d. h. in diesen x ist die Funktion 0.
Erhöhen und Verringern
Die Verwendung der Ableitung zur Untersuchung von Funktionen auf Monotonie kann von zwei Standpunkten aus betrachtet werden. Eine monotone Funktion ist eine Kategorie, die nur positive Werte der Ableitung oder nur negative Werte hat. Vereinfacht gesagt nimmt die Funktion über das gesamte untersuchte Intervall nur zu oder nur ab:
- Parameter erhöhen. Funktionf(x) wird größer, wenn die Ableitung von f`(x) größer als Null ist.
- Absteigender Parameter. Die Funktion f(x) nimmt ab, wenn die Ableitung von f`(x) kleiner als Null ist.
Tangente und Steigung
Die Anwendung der Ableitung zur Untersuchung einer Funktion wird auch durch die Tangente (gerade Linie, die in einem Winkel gerichtet ist) an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt bestimmt. Tangente an einem Punkt (x0) - eine Linie, die durch einen Punkt verläuft und zu der Funktion gehört, deren Koordinaten (x0, f(x 0 )) und mit Steigung f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - die Gleichung der Tangente an den gegebenen Punkt des Funktionsgraphen.
Geometrische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung der Funktion f(x) ist gleich der Steigung der gebildeten Tangente an den Graphen dieser Funktion an einem gegebenen Punkt x. Der Winkelkoeffizient wiederum ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an die OX-Achse (Abszisse) in positiver Richtung. Diese Folgerung ist grundlegend für die Anwendung der Ableitung auf den Graphen einer Funktion.
Extrempunkte
Die Anwendung eines Derivats auf eine Studie beinh altet das Auffinden von Hochs und Tiefs.
Um die minimale und maximale Punktzahl zu finden und zu bestimmen, müssen Sie:
- Finde die Ableitung der Funktion f(x).
- Setze die resultierende Gleichung auf Null.
- Finde die Wurzeln der Gleichung.
- Finde Hochs und Tiefs.
Extreme findenFunktionen:
- Finde die minimalen und maximalen Punkte mit der obigen Methode.
- Setze diese Punkte in die ursprüngliche Gleichung ein und berechne ymax und ymin
Der Maximalpunkt der Funktion ist der größte Wert der Funktion f(x) auf dem Intervall, also xmax.
Der Minimalpunkt der Funktion ist der kleinste Wert der Funktion f(x) auf dem Intervall, also xname
Extrempunkte sind die gleichen wie die maximalen und minimalen Punkte und das Extremum der Funktion (ymax. und yminimum) - Funktionswerte, die Extrempunkten entsprechen.
Konvexität und Konkavität
Sie können die Konvexität und Konkavität bestimmen, indem Sie auf die Verwendung der Ableitung zum Zeichnen zurückgreifen:
- Eine auf dem Intervall (a, b) untersuchte Funktion f(x) ist konkav, wenn die Funktion unterhalb aller ihrer Tangenten innerhalb dieses Intervalls liegt.
- Die auf dem Intervall (a, b) untersuchte Funktion f(x) ist konvex, wenn die Funktion über allen ihren Tangenten innerhalb dieses Intervalls liegt.
Der Punkt, der Konvexität und Konkavität trennt, wird Wendepunkt der Funktion genannt.
So finden Sie Wendepunkte:
- Finde kritische Punkte zweiter Art (zweite Ableitung).
- Wendepunkte sind jene kritischen Punkte, die zwei entgegengesetzte Zeichen trennen.
- Funktionswerte an Funktionswendepunkten berechnen.
Partielle Ableitungen
BewerbungEs gibt Ableitungen dieses Typs bei Problemen, bei denen mehr als eine unbekannte Variable verwendet wird. Am häufigsten begegnet man solchen Ableitungen beim Zeichnen eines Funktionsgraphen, genauer gesagt von Flächen im Raum, wo es statt zweier Achsen drei, also drei Größen gibt (zwei Variablen und eine Konstante).
Die Grundregel bei der Berechnung partieller Ableitungen ist, eine Variable auszuwählen und den Rest als Konstanten zu behandeln. Daher wird die Konstante bei der Berechnung der partiellen Ableitung wie ein numerischer Wert (in vielen Ableitungstabellen werden sie als C=const bezeichnet). Die Bedeutung einer solchen Ableitung ist die Änderungsrate der Funktion z=f(x, y) entlang der Achsen OX und OY, dh sie charakterisiert die Steilheit der Vertiefungen und Ausbuchtungen der konstruierten Oberfläche.
Ableitung in der Physik
Die Verwendung der Ableitung in der Physik ist weit verbreitet und wichtig. Physikalische Bedeutung: Die Ableitung der Bahn nach der Zeit ist die Geschwindigkeit, und die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Aus der physikalischen Bedeutung lassen sich viele Zweige zu verschiedenen Zweigen der Physik ziehen, wobei die Bedeutung der Ableitung vollständig erh alten bleibt.
Mit Hilfe der Ableitung werden folgende Werte gefunden:
- Geschwindigkeit in der Kinematik, wo die Ableitung der zurückgelegten Strecke berechnet wird. Wird die zweite Ableitung des Weges oder die erste Ableitung der Geschwindigkeit gefunden, so ist die Beschleunigung des Körpers gefunden. Außerdem ist es möglich, die momentane Geschwindigkeit eines materiellen Punktes zu finden, aber dazu ist es notwendig, die Schrittweite ∆t und ∆r zu kennen.
- In der Elektrodynamik:Berechnung der Momentanstärke des Wechselstroms sowie der EMF der elektromagnetischen Induktion. Durch Berechnung der Ableitung können Sie die maximale Leistung finden. Die Ableitung der elektrischen Ladungsmenge ist die Stromstärke im Leiter.
Derivate in Chemie und Biologie
Chemie: Das Derivat wird verwendet, um die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion zu bestimmen. Die chemische Bedeutung der Ableitung: Funktion p=p(t), in diesem Fall ist p die Menge eines Stoffes, die in der Zeit t eine chemische Reaktion eingeht. ∆t - Zeitinkrement, ∆p - Stoffmengeninkrement. Die Grenze des Verhältnisses von ∆p zu ∆t, bei der ∆t gegen Null geht, nennt man Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion. Der Mittelwert einer chemischen Reaktion ist das Verhältnis ∆p/∆t. Bei der Bestimmung der Geschwindigkeit ist es notwendig, alle notwendigen Parameter, Bedingungen, den Aggregatzustand des Stoffes und des Strömungsmediums genau zu kennen. Dies ist ein ziemlich großer Aspekt in der Chemie, der in verschiedenen Industrien und menschlichen Aktivitäten weit verbreitet ist.
Biologie: Das Konzept eines Derivats wird verwendet, um die durchschnittliche Reproduktionsrate zu berechnen. Biologische Bedeutung: Wir haben eine Funktion y=x(t). ∆t - Zeitinkrement. Dann erh alten wir mit Hilfe einiger Transformationen die Funktion y`=P(t)=x`(t) - die Lebensaktivität der Bevölkerung zum Zeitpunkt t (durchschnittliche Reproduktionsrate). Diese Verwendung des Derivats ermöglicht es Ihnen, Statistiken zu führen, die Reproduktionsrate zu verfolgen und so weiter.
Derivate in Geographie und Wirtschaftswissenschaften
Die Ableitung erlaubt Geographen zu entscheidenAufgaben wie das Finden der Bevölkerung, das Berechnen von Werten in der Seismographie, das Berechnen der Radioaktivität von kerngeophysikalischen Indikatoren, das Berechnen der Interpolation.
In den Wirtschaftswissenschaften ist die Differenzialrechnung und die Berechnung der Ableitung ein wichtiger Teil des Rechnens. Damit lassen sich zunächst die Grenzen der notwendigen wirtschaftlichen Werte ermitteln. Zum Beispiel die höchste und niedrigste Arbeitsproduktivität, Kosten, Gewinne. Grundsätzlich werden diese Werte aus Funktionsgraphen berechnet, wo sie Extrema finden, die Monotonie der Funktion im gewünschten Bereich bestimmen.
Schlussfolgerung
Die Rolle dieser Differentialrechnung ist, wie im Artikel erwähnt, in verschiedenen wissenschaftlichen Strukturen involviert. Die Verwendung von Ableitungsfunktionen ist ein wichtiges Element im praktischen Teil von Wissenschaft und Produktion. Nicht umsonst wurde uns in der High School und Universität beigebracht, komplexe Graphen zu bauen, Funktionen zu erforschen und daran zu arbeiten. Wie Sie sehen, wäre es ohne Ableitungen und Differentialrechnungen unmöglich, wichtige Kennzahlen und Größen zu berechnen. Die Menschheit hat gelernt, verschiedene Prozesse zu modellieren und zu erforschen, um komplexe mathematische Probleme zu lösen. Tatsächlich ist die Mathematik die Königin aller Wissenschaften, denn diese Wissenschaft liegt allen anderen naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen zugrunde.
