Wahrscheinlich ist das Konzept eines Derivats jedem von uns seit der Schule vertraut. Normalerweise haben Schüler Schwierigkeiten, diese zweifellos sehr wichtige Sache zu verstehen. Es wird in verschiedenen Bereichen des Lebens der Menschen aktiv eingesetzt, und viele technische Entwicklungen basierten genau auf mathematischen Berechnungen, die mit der Ableitung erh alten wurden. Aber bevor wir mit der Analyse fortfahren, was Ableitungen von Zahlen sind, wie man sie berechnet und wo sie für uns nützlich sind, lassen Sie uns in die Geschichte eintauchen.
Geschichte
Das Konzept der Ableitung, das die Grundlage der mathematischen Analyse ist, wurde von Isaac Newton entdeckt (es wäre besser, „erfunden“zu sagen, weil es als solches in der Natur nicht existierte) von Isaac Newton, den wir alle kennen von der Entdeckung des Gesetzes der universellen Gravitation. Er war es, der dieses Konzept erstmals in der Physik anwendete, um die Natur der Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern zu verbinden. Und viele Wissenschaftler loben Newton immer noch für diese großartige Erfindung, denn tatsächlich erfand er die Grundlage der Differential- und Integralrechnung, tatsächlich die Grundlage eines ganzen Bereichs der Mathematik namens "Kalkül". Wäre damals der Nobelpreis gewesen, hätte Newton ihn mit hoher Wahrscheinlichkeit mehrfach erh alten.
Nicht ohne andere große Köpfe. Außer Newtonso bedeutende mathematische Genies wie Leonhard Euler, Louis Lagrange und Gottfried Leibniz arbeiteten an der Entwicklung der Ableitung und des Integrals. Ihnen ist es zu verdanken, dass wir die Theorie der Differentialrechnung in der Form erh alten haben, in der sie bis heute existiert. Übrigens war es Leibniz, der die geometrische Bedeutung der Ableitung entdeckte, die sich als nichts anderes herausstellte als die Tangente der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion.
Was sind Ableitungen von Zahlen? Lass uns ein bisschen wiederholen, was wir in der Schule durchgemacht haben.
Was ist ein Derivat?
Dieses Konzept kann auf verschiedene Arten definiert werden. Die einfachste Erklärung ist, dass die Ableitung die Änderungsrate der Funktion ist. Stellen Sie sich einen Graphen einer Funktion y von x vor. Wenn es nicht gerade ist, hat es einige Kurven in der Grafik, Perioden der Zunahme und Abnahme. Wenn wir ein unendlich kleines Intervall dieses Diagramms nehmen, wird es ein gerades Liniensegment sein. Das Verhältnis der Größe dieses unendlich kleinen Segments entlang der y-Koordinate zur Größe entlang der x-Koordinate ist also die Ableitung dieser Funktion an einem bestimmten Punkt. Betrachtet man die Funktion als Ganzes und nicht an einer bestimmten Stelle, so erhält man eine Ableitungsfunktion, also eine gewisse Abhängigkeit von y von x.
Außerdem gibt es neben der physikalischen Bedeutung der Ableitung als Änderungsrate einer Funktion auch eine geometrische Bedeutung. Wir werden jetzt über ihn sprechen.
Geometrischer Sinn
Die Ableitungen von Zahlen selbst stellen eine bestimmte Zahl dar, die ohne richtiges Verständnis nicht trägtkeinen Sinn. Es stellt sich heraus, dass die Ableitung nicht nur die Wachstums- oder Abnahmerate der Funktion zeigt, sondern auch die Tangente der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt. Keine ganz klare Definition. Analysieren wir es genauer. Nehmen wir an, wir haben einen Graphen einer Funktion (für Interesse nehmen wir eine Kurve). Es hat unendlich viele Punkte, aber es gibt Bereiche, in denen nur ein einziger Punkt ein Maximum oder Minimum hat. Durch jeden solchen Punkt ist es möglich, eine Linie zu ziehen, die senkrecht zum Graphen der Funktion an diesem Punkt wäre. Eine solche Gerade wird Tangente genannt. Nehmen wir an, wir haben es bis zum Schnittpunkt mit der OX-Achse verbracht. Der zwischen der Tangente und der OX-Achse erh altene Winkel wird also durch die Ableitung bestimmt. Genauer gesagt ist die Tangente dieses Winkels gleich.
Lassen Sie uns ein wenig über Sonderfälle sprechen und Ableitungen von Zahlen analysieren.
Sonderfälle
Wie wir bereits gesagt haben, sind Ableitungen von Zahlen die Werte der Ableitung an einem bestimmten Punkt. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion y=x2. Die Ableitung x ist eine Zahl und im allgemeinen eine Funktion gleich 2x. Wenn wir die Ableitung berechnen müssen, sagen wir am Punkt x0=1, dann erh alten wir y'(1)=21=2. Alles ist sehr einfach. Ein interessanter Fall ist die Ableitung einer komplexen Zahl. Wir werden nicht auf eine detaillierte Erklärung eingehen, was eine komplexe Zahl ist. Sagen wir einfach, dass dies eine Zahl ist, die die sogenannte imaginäre Einheit enthält – eine Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Die Berechnung eines solchen Derivats ist nur unter folgenden Bedingungen möglichBedingungen:
1) Es muss partielle Ableitungen erster Ordnung der Real- und Imaginärteile nach Y und X geben.
2) Die im ersten Absatz beschriebenen Cauchy-Riemann-Bedingungen für die Gleichheit partieller Ableitungen sind erfüllt.
Ein weiterer interessanter Fall, wenn auch nicht so kompliziert wie der vorherige, ist die Ableitung einer negativen Zahl. Tatsächlich kann jede negative Zahl als positive Zahl multipliziert mit -1 dargestellt werden. Nun, die Ableitung der Konstante und der Funktion ist gleich der Konstante multipliziert mit der Ableitung der Funktion.
Es wird interessant sein, etwas über die Rolle des Derivats im Alltag zu erfahren, und darüber werden wir jetzt sprechen.
Bewerbung
Wahrscheinlich ertappt sich jeder von uns mindestens einmal in seinem Leben dabei, dass er denkt, dass ihm Mathematik wahrscheinlich nicht nützen wird. Und so eine komplizierte Sache wie ein Derivat hat wahrscheinlich überhaupt keine Anwendung. Tatsächlich ist die Mathematik eine Grundlagenwissenschaft, und alle ihre Früchte werden hauptsächlich von Physik, Chemie, Astronomie und sogar Wirtschaftswissenschaften entwickelt. Die Ableitung war der Beginn der mathematischen Analyse, die uns die Möglichkeit gab, aus Funktionsgraphen Rückschlüsse zu ziehen, und dank ihr lernten wir, die Naturgesetze zu interpretieren und zu unserem Vorteil zu nutzen.
Schlussfolgerung
Natürlich braucht nicht jeder im wirklichen Leben ein Derivat. Aber Mathematik entwickelt Logik, die sicherlich gebraucht wird. Nicht umsonst wird die Mathematik als Königin der Wissenschaften bezeichnet: Sie bildet die Grundlage für das Verständnis anderer Wissensgebiete.
