Eines der häufigsten Probleme in der Stereometrie sind die Aufgaben, gerade Linien und Ebenen zu kreuzen und die Winkel zwischen ihnen zu berechnen. Betrachten wir in diesem Artikel die sogenannte Koordinatenmethode und die Winkel zwischen der Linie und der Ebene genauer.
Gerade und Ebene in der Geometrie
Bevor Sie sich mit der Koordinatenmethode und dem Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene befassen, sollten Sie sich mit den genannten geometrischen Objekten vertraut machen.
Eine Linie ist eine solche Ansammlung von Punkten im Raum oder auf einer Ebene, von denen jeder durch lineares Übertragen des vorherigen auf einen bestimmten Vektor erh alten werden kann. Im Folgenden bezeichnen wir diesen Vektor mit dem Symbol u¯. Multipliziert man diesen Vektor mit einer beliebigen Zahl ungleich Null, so erhält man einen Vektor parallel zu u¯. Eine Linie ist ein lineares unendliches Objekt.
Eine Ebene ist auch eine Ansammlung von Punkten, die so angeordnet sind, dass, wenn man aus ihnen beliebige Vektoren bildet, alle senkrecht zu einem Vektor n¯ stehen. Letzteres wird als normal oder einfach normal bezeichnet. Eine Ebene ist im Gegensatz zu einer geraden Linie ein zweidimensionales unendliches Objekt.
Koordinatenmethode zur Lösung von Geometrieproblemen
Aus dem Namen der Methode selbst können wir schließen, dass es sich um eine Methode zur Lösung von Problemen handelt, die auf der Durchführung analytischer sequentieller Berechnungen basiert. Mit anderen Worten, die Koordinatenmethode ermöglicht es Ihnen, geometrische Probleme mit universellen Algebra-Werkzeugen zu lösen, deren Hauptsache Gleichungen sind.
Es sei darauf hingewiesen, dass die betrachtete Methode zu Beginn der modernen Geometrie und Algebra auftauchte. Einen großen Beitrag zu seiner Entwicklung leisteten Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton und Leibniz im 17.-18. Jahrhundert.
Das Wesen der Methode besteht darin, die Entfernungen, Winkel, Flächen und Volumen geometrischer Elemente auf der Grundlage der Koordinaten bekannter Punkte zu berechnen. Beachten Sie, dass die Form der erh altenen endgültigen Gleichungen vom Koordinatensystem abhängt. Am häufigsten wird bei Problemen das rechteckige kartesische System verwendet, da es am bequemsten ist, damit zu arbeiten.
Liniengleichung
Betrachten wir die Koordinatenmethode und die Winkel zwischen der Linie und der Ebene, beginnen wir mit der Aufstellung der Liniengleichung. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Linien in algebraischer Form darzustellen. Wir betrachten hier nur die Vektorgleichung, da sie sich daraus leicht in jeder anderen Form ergibt und einfach zu handhaben ist.
Angenommen, es gibt zwei Punkte: P und Q. Es ist bekannt, dass eine Linie durch sie gezogen werden kann, und eswird der einzige sein. Die entsprechende mathematische Darstellung des Elements sieht so aus:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
wobei PQ¯ ein Vektor ist, dessen Koordinaten wie folgt ermittelt werden:
PQ¯=Q - P.
Das Symbol λ bezeichnet einen Parameter, der absolut jede Zahl annehmen kann.
Im geschriebenen Ausdruck können Sie die Richtung des Vektors ändern und auch den Punkt P durch die Koordinaten Q ersetzen. Alle diese Transformationen führen nicht zu einer Änderung der geometrischen Position der Linie.
Beachten Sie, dass es beim Lösen von Problemen manchmal erforderlich ist, die geschriebene Vektorgleichung in einer expliziten (parametrischen) Form darzustellen.
Ein Flugzeug in den Raum setzen
Außer für eine Gerade gibt es auch für eine Ebene mehrere Formen mathematischer Gleichungen. Unter ihnen notieren wir den Vektor, die Gleichung in Segmenten und die allgemeine Form. In diesem Artikel widmen wir der letzten Form besondere Aufmerksamkeit.
Eine allgemeine Gleichung für eine beliebige Ebene kann wie folgt geschrieben werden:
Ax + By + Cz + D=0.
Lateinische Großbuchstaben sind bestimmte Zahlen, die eine Ebene definieren.
Die Bequemlichkeit dieser Notation besteht darin, dass sie explizit einen Vektor enthält, der senkrecht zur Ebene steht. Es ist gleich:
n¯=(A, B, C).
Die Kenntnis dieses Vektors ermöglicht es, sich durch einen kurzen Blick auf die Ebenengleichung dessen Lage im Koordinatensystem vorzustellen.
Gegenseitige Vereinbarung inZwischenraum von Linie und Ebene
Im nächsten Absatz des Artikels werden wir uns mit der Betrachtung der Koordinatenmethode und dem Winkel zwischen der Linie und der Ebene befassen. Hier beantworten wir die Frage, wie die betrachteten geometrischen Elemente im Raum lokalisiert werden können. Es gibt drei Möglichkeiten:
- Die Gerade schneidet die Ebene. Mit der Koordinatenmethode können Sie berechnen, in welchem Punkt sich die Gerade und die Ebene schneiden.
- Die Ebene einer Geraden ist parallel. In diesem Fall hat das Gleichungssystem geometrischer Elemente keine Lösung. Zum Beweis der Parallelität wird üblicherweise die Eigenschaft des Skalarprodukts des Richtungsvektors der Geraden und der Normalen der Ebene verwendet.
- Die Ebene enthält eine Linie. Wenn wir in diesem Fall das Gleichungssystem lösen, kommen wir zu dem Schluss, dass für jeden Wert des Parameters λ die richtige Gleichheit erh alten wird.
Im zweiten und dritten Fall ist der Winkel zwischen den angegebenen geometrischen Objekten gleich Null. Im ersten Fall liegt er zwischen 0 und 90o.
Berechnung von Winkeln zwischen Geraden und Ebenen
Jetzt gehen wir direkt zum Thema des Artikels. Jeder Schnittpunkt einer Linie und einer Ebene erfolgt in einem bestimmten Winkel. Dieser Winkel wird durch die Gerade selbst und ihre Projektion auf die Ebene gebildet. Eine Projektion kann erh alten werden, wenn von einem beliebigen Punkt einer geraden Linie eine Senkrechte auf die Ebene abgesenkt wird und dann durch den erh altenen Schnittpunkt der Ebene und der Senkrechten und den Schnittpunkt der Ebene und der ursprünglichen Linie a gezeichnet wird gerade Linie, die eine Projektion sein wird.
Die Berechnung der Winkel zwischen Linien und Ebenen ist keine schwierige Aufgabe. Um es zu lösen, reicht es aus, die Gleichungen der entsprechenden geometrischen Objekte zu kennen. Nehmen wir an, diese Gleichungen sehen so aus:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Der gewünschte Winkel lässt sich leicht mit der Eigenschaft des Produkts der Skalarvektoren u¯ und n¯ finden. Die endgültige Formel sieht so aus:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Diese Formel besagt, dass der Sinus des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene gleich dem Verhältnis des Betrags des Skalarprodukts der markierten Vektoren zum Produkt ihrer Längen ist. Um zu verstehen, warum Sinus anstelle von Cosinus erscheint, wenden wir uns der folgenden Abbildung zu.
Es ist ersichtlich, dass wir bei Anwendung der Kosinusfunktion den Winkel zwischen den Vektoren u¯ und n¯ erh alten. Den gewünschten Winkel θ (α in der Abbildung) erhält man wie folgt:
θ=90o- β.
Der Sinus ergibt sich aus der Anwendung der Reduktionsformeln.
Beispielaufgabe
Kommen wir zur praktischen Anwendung des erworbenen Wissens. Lassen Sie uns ein typisches Problem zum Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene lösen. Die folgenden Koordinaten von vier Punkten sind gegeben:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Es ist bekannt, dass durch Punkte PQMeine Ebene geht durch sie hindurch, und eine gerade Linie geht durch MN. Mit der Koordinatenmethode muss der Winkel zwischen der Ebene und der Linie berechnet werden.
Schreiben wir zuerst die Gleichungen der Geraden und der Ebene auf. Für eine gerade Linie ist es einfach, sie zusammenzusetzen:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Um die Gleichung der Ebene aufzustellen, finden wir zuerst die Normale dazu. Seine Koordinaten sind gleich dem Vektorprodukt zweier Vektoren, die in der gegebenen Ebene liegen. Wir haben:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Nun setzen wir die Koordinaten jedes darin liegenden Punktes in die Gleichung der allgemeinen Ebene ein, um den Wert des freien Terms D zu erh alten:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Die Ebenengleichung lautet:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Es bleibt die Formel für den Winkel anzuwenden, der am Schnittpunkt einer geraden Linie mit einer Ebene gebildet wird, um die Lösung des Problems zu erh alten. Wir haben:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Am Beispiel dieser Aufgabe haben wir gezeigt, wie man geometrische Probleme mit der Koordinatenmethode löst.
