Ein Kegel ist eine der räumlichen Rotationsfiguren, deren Eigenschaften und Eigenschaften durch Stereometrie untersucht werden. In diesem Artikel definieren wir diese Figur und betrachten die Grundformeln, die die linearen Parameter eines Kegels mit seiner Oberfläche und seinem Volumen verbinden.
Was ist ein Kegel?
Aus geometrischer Sicht handelt es sich um eine räumliche Figur, die aus einer Reihe gerader Segmente besteht, die einen bestimmten Punkt im Raum mit allen Punkten einer glatten flachen Kurve verbinden. Diese Kurve kann ein Kreis oder eine Ellipse sein. Die folgende Abbildung zeigt einen Kegel.
Die dargestellte Figur hat kein Volumen, da die Wände ihrer Oberfläche eine verschwindend kleine Dicke haben. Wenn es jedoch mit einer Substanz gefüllt und von oben nicht durch eine Kurve, sondern durch eine flache Figur, beispielsweise einen Kreis, begrenzt wird, erh alten wir einen festen volumetrischen Körper, der allgemein auch als Kegel bezeichnet wird.
Die Form eines Kegels findet man oft im Leben. So hat es eine Eiswaffel oder schwarz-orange gestreifte Leitkegel, die auf die Fahrbahn gestellt werden, um die Aufmerksamkeit der Verkehrsteilnehmer auf sich zu ziehen.
Elemente eines Kegels und seine Typen
Da der Kegel kein Polyeder ist, ist die Anzahl der ihn bildenden Elemente nicht so groß wie bei Polyedern. In der Geometrie besteht ein allgemeiner Kegel aus den folgenden Elementen:
- Basis, deren Begrenzungskurve Leitlinie oder Erzeugende genannt wird;
- der Seitenfläche, die die Sammlung aller Punkte von geraden Liniensegmenten (Erzeugende) ist, die den Scheitelpunkt und die Punkte der Leitkurve verbinden;
- Scheitelpunkt, der Schnittpunkt der Erzeugenden.
Beachte, dass die Spitze nicht in der Ebene der Basis liegen darf, da der Kegel in diesem Fall zu einer flachen Figur degeneriert.
Wenn wir ein senkrechtes Segment von oben nach unten zeichnen, erh alten wir die Höhe der Figur. Wenn die letzte Basis den geometrischen Mittelpunkt schneidet, dann ist es ein gerader Kegel. Wenn die Senkrechte nicht mit dem geometrischen Mittelpunkt der Basis zusammenfällt, wird die Figur geneigt.
Gerade und schräge Kegel sind in der Abbildung dargestellt. Hier werden die Höhe und der Radius der Basis des Kegels mit h bzw. r bezeichnet. Die Linie, die die Oberseite der Figur und den geometrischen Mittelpunkt der Basis verbindet, ist die Achse des Kegels. Aus der Figur ist ersichtlich, dass bei einer geraden Figur die Höhe auf dieser Achse liegt und bei einer geneigten Figur die Höhe mit der Achse einen Winkel bildet. Die Achse des Kegels wird durch den Buchstaben a angegeben.
Gerader Kegel mit runder Basis
Vielleicht ist dieser Kegel der häufigste der betrachteten Figurenklasse. Es besteht aus einem Kreis und einer SeiteOberflächen. Es ist nicht schwierig, es durch geometrische Methoden zu erh alten. Nehmen Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck und drehen Sie es um eine Achse, die mit einem der Beine zusammenfällt. Offensichtlich wird dieses Bein zur Höhe der Figur, und die Länge des zweiten Beins des Dreiecks bildet den Radius der Basis des Kegels. Das folgende Diagramm demonstriert das beschriebene Schema zur Ermittlung der betreffenden Drehzahl.
Das dargestellte Dreieck kann um ein anderes Bein gedreht werden, wodurch ein Kegel mit größerem Grundradius und geringerer Höhe als der erste entsteht.
Um alle Parameter eines runden geraden Kegels eindeutig zu bestimmen, sollte man zwei beliebige seiner linearen Eigenschaften kennen. Darunter werden der Radius r, die Höhe h oder die Länge der Erzeugenden g unterschieden. Alle diese Größen sind die Längen der Seiten des betrachteten rechtwinkligen Dreiecks, daher gilt für ihre Verbindung der Satz des Pythagoras:
g2=r2+ h2.
Oberfläche
Wenn Sie die Oberfläche einer dreidimensionalen Figur untersuchen, ist es praktisch, ihre Entwicklung auf einer Ebene zu verwenden. Der Kegel ist keine Ausnahme. Für einen runden Kegel ist die Entwicklung unten dargestellt.
Wir sehen, dass die Entf altung der Figur aus zwei Teilen besteht:
- Der Kreis, der die Basis des Kegels bildet.
- Der Kreissektor, der die Kegelfläche der Figur darstellt.
Die Fläche eines Kreises ist leicht zu finden, und die zugehörige Formel ist jedem Schüler bekannt. Apropos Kreissektor, wir stellen fest, dass esist Teil eines Kreises mit Radius g (der Länge der Erzeugenden des Kegels). Die Länge des Bogens dieses Sektors ist gleich dem Umfang der Basis. Diese Parameter ermöglichen es, seine Fläche eindeutig zu bestimmen. Die entsprechende Formel lautet:
S=pir2+ pirg.
Der erste und der zweite Term im Ausdruck sind der Kegel der Grundfläche bzw. die Seitenfläche der Fläche.
Wenn die Länge des Generators g unbekannt ist, aber die Höhe h der Figur gegeben ist, dann kann die Formel umgeschrieben werden als:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Das Volumen der Figur
Wenn wir eine gerade Pyramide nehmen und die Anzahl der Seiten ihrer Basis auf unendlich erhöhen, dann wird die Form der Basis zu einem Kreis tendieren und die Seitenfläche der Pyramide nähert sich der Kegelfläche. Diese Überlegungen ermöglichen es uns, die Formel für das Volumen einer Pyramide zu verwenden, wenn wir einen ähnlichen Wert für einen Kegel berechnen. Das Volumen eines Kegels kann mit der Formel ermittelt werden:
V=1/3hSo.
Diese Formel ist immer wahr, unabhängig von der Grundfläche des Kegels mit der Fläche So. Außerdem gilt die Formel auch für den schiefen Kegel.
Da wir die Eigenschaften einer geraden Figur mit runder Grundfläche untersuchen, können wir den folgenden Ausdruck verwenden, um ihr Volumen zu bestimmen:
V=1/3hpir2.
Die Formel ist offensichtlich.
Das Problem, Oberfläche und Volumen zu finden
Gegeben sei ein Kegel mit einem Radius von 10 cm und einer Länge der Erzeugenden von 20siehe Notwendigkeit, Volumen und Oberfläche für diese Form zu bestimmen.
Um die Fläche S zu berechnen, kannst du sofort die oben geschriebene Formel verwenden. Wir haben:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Um das Volumen zu bestimmen, müssen Sie die Höhe h der Figur kennen. Wir berechnen es anhand der Beziehung zwischen den linearen Parametern des Kegels. Wir erh alten:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Nun kannst du die Formel für V verwenden:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Beachte, dass das Volumen eines runden Kegels ein Drittel des Zylinders ist, in den er eingeschrieben ist.
