Regelmäßige sechseckige Pyramide. Formeln für Volumen und Oberfläche. Lösung eines geometrischen Problems

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Stereometrie, als Zweig der Geometrie im Raum, untersucht die Eigenschaften von Prismen, Zylindern, Kegeln, Kugeln, Pyramiden und anderen dreidimensionalen Figuren. Dieser Artikel widmet sich einer detaillierten Überprüfung der Merkmale und Eigenschaften einer sechseckigen regelmäßigen Pyramide.

Welche Pyramide wird untersucht

Eine regelmäßige sechseckige Pyramide ist eine Figur im Raum, die von einem gleichseitigen und gleichwinkligen Sechseck und sechs identischen gleichschenkligen Dreiecken begrenzt wird. Diese Dreiecke können unter bestimmten Bedingungen auch gleichseitig sein. Diese Pyramide ist unten abgebildet.

Hier ist die gleiche Figur dargestellt, nur einmal ist sie mit der Seitenfläche zum Leser gedreht und im anderen - mit der Seitenkante.

Eine regelmäßige sechseckige Pyramide hat 7 Seiten, die oben erwähnt wurden. Es hat auch 7 Ecken und 12 Kanten. Im Gegensatz zu Prismen haben alle Pyramiden einen speziellen Scheitelpunkt, der durch den Schnittpunkt der Seitenflächen gebildet wirdDreiecke. Für eine regelmäßige Pyramide spielt es eine wichtige Rolle, da die von ihr zur Basis der Figur abgesenkte Senkrechte die Höhe ist. Außerdem wird die Höhe mit dem Buchstaben h bezeichnet.

Die gezeigte Pyramide wird aus zwei Gründen als korrekt bezeichnet:

• an seiner Basis befindet sich ein Sechseck mit gleichen Seitenlängen a und gleichen Winkeln von 120o;
• Die Höhe der Pyramide h schneidet das Sechseck genau in seinem Mittelpunkt (der Schnittpunkt liegt von allen Seiten und von allen Ecken des Sechsecks gleich weit entfernt).

Oberfläche

Eigenschaften einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide werden aus der Definition ihrer Fläche berücksichtigt. Dazu ist es zunächst sinnvoll, die Figur auf einer Ebene aufzuf alten. Eine schematische Darstellung davon ist unten gezeigt.

Es ist ersichtlich, dass die Fläche des Sweeps und damit die gesamte Fläche der betrachteten Figur gleich der Summe der Flächen von sechs identischen Dreiecken und einem Sechseck ist.

Um den Flächeninh alt eines Sechsecks S_{6 zu bestimmen, verwenden Sie die universelle Formel für ein regelmäßiges n-Eck:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Wobei a die Seitenlänge des Sechsecks ist.

Den Flächeninh alt eines Dreiecks S₃ der Seitenfläche findet man, wenn man den Wert seiner Höhe h_{b kennt:}

S₃=1/2h_ba.

Weil alle sechsDreiecke einander gleich sind, dann erh alten wir einen Arbeitsausdruck zur Bestimmung der Fläche einer sechseckigen Pyramide mit richtiger Grundfläche:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Pyramidenvolumen

Genau wie die Fläche ist das Volumen einer sechseckigen regelmäßigen Pyramide ihre wichtige Eigenschaft. Dieses Volumen wird nach der allgemeinen Formel für alle Pyramiden und Kegel berechnet. Schreiben wir es auf:

V=1/3S_oh.

Hier ist das Symbol S_o die Fläche der Sechseckbasis, also S_o=S _6.

Indem wir den obigen Ausdruck für S_{6 in die Formel für V einsetzen, erh alten wir die endgültige Gleichung zur Bestimmung des Volumens einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide:}

V=√3/2a2h.

Ein Beispiel für ein geometrisches Problem

Bei einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist die Seitenkante doppelt so lang wie die Grundseite. Da letzteres 7 cm beträgt, ist es notwendig, die Oberfläche und das Volumen dieser Figur zu berechnen.

Wie Sie sich vorstellen können, beinh altet die Lösung dieses Problems die Verwendung der oben erh altenen Ausdrücke für S und V. Trotzdem wird es nicht möglich sein, sie sofort zu verwenden, da wir das Apothem und das nicht kennen Höhe einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Lass sie uns berechnen.

Der Apothem h_b kann bestimmt werden, indem man ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet, das auf den Seiten b, a/2 und h_{b aufgebaut ist. Hier ist b die Länge der Seitenkante. Unter Verwendung der Bedingung des Problems erh alten wir:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13,555 cm.}

Die Höhe h der Pyramide lässt sich genauso bestimmen wie ein Apothem, aber nun soll ein Dreieck mit den Seiten h, b und a betrachtet werden, das sich innerhalb der Pyramide befindet. Die Höhe beträgt:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Es ist ersichtlich, dass der berechnete Höhenwert kleiner ist als der für das Apothem, was für jede Pyramide gilt.

Jetzt können Sie Ausdrücke für Volumen und Fläche verwenden:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Um irgendein Merkmal einer regulären sechseckigen Pyramide eindeutig zu bestimmen, müssen Sie also zwei ihrer linearen Parameter kennen.