Direktes dreieckiges Prisma. Formeln für Volumen und Oberfläche. Lösung eines geometrischen Problems

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

In der High School, nachdem sie die Eigenschaften von Figuren in der Ebene studiert haben, gehen sie weiter zur Betrachtung räumlicher geometrischer Objekte wie Prismen, Kugeln, Pyramiden, Zylinder und Kegel. In diesem Artikel geben wir die vollständigste Beschreibung eines geraden dreieckigen Prismas.

Was ist ein Dreiecksprisma?

Beginnen wir den Artikel mit der Definition der Figur, auf die noch weiter eingegangen wird. Aus geometrischer Sicht ist ein Prisma eine Figur im Raum, die aus zwei identischen n-Ecken besteht, die sich in parallelen Ebenen befinden und deren gleiche Winkel durch gerade Liniensegmente verbunden sind. Diese Segmente werden Seitenrippen genannt. Zusammen mit den Seiten der Basis bilden sie eine Seitenfläche, die allgemein durch Parallelogramme dargestellt wird.

Zwei n-Ecke sind die Basen der Figur. Stehen die Seitenkanten senkrecht dazu, spricht man von einem geraden Prisma. Wenn also die Seitenzahl n des Polygons an den Basen drei ist, dann heißt eine solche Figur Dreiecksprisma.

Das dreieckige gerade Prisma ist oben in der Abbildung dargestellt. Diese Figur wird auch regelmäßig genannt, da ihre Grundflächen gleichseitige Dreiecke sind. Die Länge der Seitenkante der Figur, die in der Figur durch den Buchstaben h gekennzeichnet ist, wird als Höhe bezeichnet.

Die Abbildung zeigt, dass ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche aus fünf Flächen besteht, von denen zwei gleichseitige Dreiecke und drei identische Rechtecke sind. Zusätzlich zu den Flächen hat das Prisma sechs Ecken an den Basen und neun Kanten. Die Anzahl der betrachteten Elemente wird durch den Satz von Euler zueinander in Beziehung gesetzt:

Anzahl Kanten=Anzahl Ecken + Anzahl Seiten - 2.

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecksprismas

Wir haben oben herausgefunden, dass die fragliche Figur aus fünf Gesichtern zweier Typen besteht (zwei Dreiecke, drei Rechtecke). Alle diese Flächen bilden die volle Oberfläche des Prismas. Ihre Gesamtfläche ist die Fläche der Figur. Unten ist eine dreieckige Prismenentf altung, die erh alten werden kann, indem zuerst zwei Basen von der Figur abgeschnitten werden und dann entlang einer Kante geschnitten und die Seitenfläche entf altet wird.

Geben wir Formeln zur Bestimmung der Oberfläche dieses Sweeps an. Beginnen wir mit den Basen eines rechtwinkligen Dreiecksprismas. Da sie Dreiecke darstellen, kann die Fläche S_{3 von jedem wie folgt gefunden werden:}

S₃=1/2ah_a.

Hier ist a die Seite des Dreiecks, h_{a ist die Höhe, die von der Spitze des Dreiecks zu dieser Seite abgesenkt wird.}

Ist das Dreieck gleichseitig (regulär), dann hängt die Formel für S_{3 nur von einem Parameter a ab. Es sieht so aus:}

S₃=√3/4a^2.

Diesen Ausdruck erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet, das aus den Segmenten a, a/2, h gebildet wird_a.

Die Fläche der Basen S_o ist für eine regelmäßige Figur doppelt so groß wie S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Die seitliche Oberfläche S_{b ist nicht schwer zu berechnen. Dazu reicht es aus, die Fläche des durch die Seiten a und h gebildeten Rechtecks mit drei zu multiplizieren. Die entsprechende Formel lautet:}

S_b=3ah.

Der Flächeninh alt eines regelmäßigen Prismas mit dreieckiger Grundfläche ergibt sich also aus folgender Formel:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Wenn das Prisma gerade, aber unregelmäßig ist, sollten Sie zur Berechnung seiner Fläche die Flächen von Rechtecken, die einander nicht gleich sind, separat addieren.

Bestimmung der Lautstärke einer Figur

Unter dem Volumen eines Prismas versteht man den durch seine Seiten (Flächen) begrenzten Raum. Die Berechnung des Volumens eines rechtwinkligen Dreiecksprismas ist viel einfacher als die Berechnung seiner Oberfläche. Dazu reicht es aus, die Fläche der Basis und die Höhe der Figur zu kennen. Da die Höhe h einer geraden Figur die Länge ihrer Seitenkante ist, und wie man die Grundfläche berechnet, haben wir oben angegebenPunkt, dann müssen diese beiden Werte noch miteinander multipliziert werden, um die gewünschte Lautstärke zu erh alten. Die Formel dafür lautet:

V=S_3h.

Beachten Sie, dass das Produkt aus der Fläche einer Basis und der Höhe nicht nur das Volumen eines geraden Prismas, sondern auch einer schiefen Figur und sogar eines Zylinders ergibt.

Problemlösung

Dreikantprismen aus Glas werden in der Optik verwendet, um das Spektrum elektromagnetischer Strahlung aufgrund des Dispersionsphänomens zu untersuchen. Es ist bekannt, dass ein normales Glasprisma eine Grundseitenlänge von 10 cm und eine Kantenlänge von 15 cm hat. Welchen Flächeninh alt haben seine Glasflächen und welches Volumen enthält es?

Um die Fläche zu bestimmen, verwenden wir die im Artikel geschriebene Formel. Wir haben:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Zur Bestimmung des Volumens V verwenden wir ebenfalls die obige Formel:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Trotz der Tatsache, dass die Kanten des Prismas 10 cm und 15 cm lang sind, beträgt das Volumen der Figur nur 0,65 Liter (ein Würfel mit einer Seitenlänge von 10 cm hat ein Volumen von 1 Liter).