Was ist ein Logarithmus (lg)

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

In der Mathematik ist der Logarithmus die Umkehrung der Exponentialfunktion. Das bedeutet, dass der Logarithmus von lg die Potenz ist, mit der die Zahl b potenziert werden muss, um als Ergebnis x zu erh alten. Im einfachsten Fall berücksichtigt es die wiederholte Multiplikation des gleichen Wertes.

Betrachten Sie ein konkretes Beispiel:

1000=10 × 10 × 10=103

In diesem Fall ist es der Zehnerlogarithmus von lg. Es ist gleich drei.

lg_101000=3

Im Allgemeinen sieht der Ausdruck so aus:

lg_bx=a

Die Potenzierung erlaubt es, jede positive reelle Zahl auf einen beliebigen reellen Wert zu erhöhen. Das Ergebnis wird immer größer als Null sein. Daher ist der Logarithmus für zwei beliebige positive reelle Zahlen b und x, wobei b ungleich 1 ist, immer eine eindeutige reelle Zahl a. Außerdem definiert es die Beziehung zwischen Potenzierung und Logarithmus:

lg_bx=a wenn b^a=x.

Geschichte

Die Geschichte des Logarithmus (lg) hat ihren Ursprung in Europa im 17. Jahrhundert. Dies ist die Eröffnung einer neuen Funktionerweiterte den Umfang der Analyse über algebraische Methoden hinaus. Die Methode der Logarithmen wurde 1614 von John Napier in einem Buch mit dem Titel Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Beschreibung der bemerkenswerten Regeln der Logarithmen") öffentlich vorgeschlagen. Vor der Erfindung des Wissenschaftlers gab es andere Methoden in ähnlichen Bereichen, wie etwa die Verwendung von Progressionstafeln, die von Jost Bürggi um 1600 entwickelt wurden.

Der Dezimallogarithmus lg ist der Logarithmus zur Basis zehn. Zum ersten Mal wurden reelle Logarithmen mit Heuristiken verwendet, um Multiplikation in Addition umzuwandeln, was eine schnelle Berechnung ermöglicht. Einige dieser Methoden verwendeten Tabellen, die von trigonometrischen Identitäten abgeleitet wurden.

Die Entdeckung der Funktion, die heute als Logarithmus (lg) bekannt ist, wird Gregory de Saint Vincent zugeschrieben, einem in Prag lebenden Belgier, der versuchte, eine rechteckige Hyperbel zu quadrieren.

Verwenden

Logarithmen werden oft außerhalb der Mathematik verwendet. Einige dieser Fälle beziehen sich auf den Begriff der Skaleninvarianz. Beispielsweise ist jede Kammer der Meeresschnecke eine ungefähre Kopie der nächsten, verkleinert oder um eine bestimmte Anzahl von Malen vergrößert. Dies wird als logarithmische Spirale bezeichnet.

Abmessungen von selbstgefertigten Geometrien, die teilweise dem Endprodukt ähneln, basieren ebenfalls auf Logarithmen. Logarithmische Skalen sind nützlich, um relative Änderungen zu quantifizierenWerte. Da außerdem die Funktion log_{bx bei großen x sehr langsam wächst, werden logarithmische Skalen verwendet, um große wissenschaftliche Daten zu komprimieren. Logarithmen kommen auch in zahlreichen wissenschaftlichen Formeln wie der Fenske-Gleichung oder der Nernst-Gleichung vor.}

Berechnung

Einige Logarithmen lassen sich leicht berechnen, zum Beispiel log_{101000=3. Im Allgemeinen können sie mit Potenzreihen oder dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet oder daraus extrahiert werden ein vorberechneter Tabellenlogarithmus, der eine hohe Genauigkeit hat.}

Newtons iterative Methode zum Lösen von Gleichungen kann auch verwendet werden, um den Wert des Logarithmus zu finden. Da die Umkehrfunktion für den Logarithmus exponentiell ist, wird der Rechenvorgang stark vereinfacht.