Planimetrie ist ein Zweig der Geometrie, der die Eigenschaften ebener Figuren untersucht. Dazu gehören nicht nur die bekannten Dreiecke, Quadrate, Rechtecke, sondern auch Geraden und Winkel. In der Planimetrie gibt es auch Konzepte wie Winkel in einem Kreis: zentral und eingeschrieben. Aber was bedeuten sie?
Was ist der Zentriwinkel?
Um zu verstehen, was ein zentraler Winkel ist, musst du einen Kreis definieren. Ein Kreis ist eine Ansammlung aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt des Kreises) gleich weit entfernt sind.
Es ist sehr wichtig, es von einem Kreis zu unterscheiden. Es muss daran erinnert werden, dass ein Kreis eine geschlossene Linie ist und ein Kreis ein Teil einer von ihr begrenzten Ebene ist. In einen Kreis kann ein Vieleck oder ein Winkel einbeschrieben werden.
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem Kreismittelpunkt zusammenfällt und dessen Seiten den Kreis an zwei Punkten schneiden. Der Bogen, den der Winkel durch Schnittpunkte begrenzt, heißt der Bogen, auf dem der gegebene Winkel ruht.
Betrachte Beispiel 1.
Im Bild ist der Winkel AOB zentral, weil der Scheitelpunkt des Winkels und der Mittelpunkt des Kreises ein Punkt O sind. Er ruht auf dem Bogen AB, der den Punkt C nicht enthält.
Wie unterscheidet sich ein eingeschriebener Winkel von einem zentralen Winkel?
Aber neben den mittleren gibt es auch eingeschriebene Winkel. Was ist ihr Unterschied? Der einem Kreis einbeschriebene Winkel ruht ebenso wie der mittlere auf einem bestimmten Bogen. Aber sein Scheitel fällt nicht mit dem Kreismittelpunkt zusammen, sondern liegt auf ihm.
Nehmen wir folgendes Beispiel.
Winkel ACB heißt ein Winkel, der einem Kreis mit Mittelpunkt O einbeschrieben ist. Punkt C gehört zum Kreis, liegt also auf ihm. Der Winkel liegt auf dem Kreisbogen AB.
Was ist der Zentriwinkel
Um Probleme in der Geometrie erfolgreich zu bewältigen, reicht es nicht aus, zwischen einbeschriebenen und zentralen Winkeln unterscheiden zu können. Um sie zu lösen, müssen Sie in der Regel genau wissen, wie man den Mittelpunktswinkel in einem Kreis findet, und in der Lage sein, seinen Wert in Grad zu berechnen.
Der Mittelpunktswinkel ist also gleich dem Gradmaß des Bogens, auf dem er ruht.
Im Bild liegt der Winkel AOB auf dem Kreisbogen AB gleich 66°. Der Winkel AOB ist also auch gleich 66°.
Daher sind die Mittelpunktswinkel auf gleichen Bögen gleich.
In der Abbildung ist Bogen DC gleich Bogen AB. Winkel AOB ist also gleich Winkel DOC.
So finden Sie einen eingeschriebenen Winkel
Es scheint, dass der in den Kreis eingeschriebene Winkel gleich dem Mittelpunktswinkel ist,die auf dem gleichen Bogen beruht. Dies ist jedoch ein grober Fehler. Selbst wenn Sie sich nur die Zeichnung ansehen und diese Winkel miteinander vergleichen, können Sie sehen, dass ihre Gradmaße unterschiedliche Werte haben. Was ist also der Winkel, der in den Kreis eingeschrieben ist?
Das Gradmaß eines einbeschriebenen Winkels ist die Hälfte des Bogens, auf dem er ruht, oder die Hälfte des Mittelwinkels, wenn sie sich auf denselben Bogen stützen.
Betrachten wir ein Beispiel. Der Winkel ACB basiert auf einem Bogen von 66°.
Der Winkel DIA=66°: 2=33°
Betrachten wir einige Konsequenzen dieses Theorems.
- Einbeschriebene Winkel sind gleich, wenn sie auf demselben Bogen, derselben Sehne oder gleichen Bögen basieren.
- Wenn den einbeschriebenen Winkeln dieselbe Sehne zugrunde liegt, aber ihre Scheitelpunkte auf gegenüberliegenden Seiten davon liegen, ist die Summe der Gradmaße solcher Winkel 180°, da in diesem Fall beide Winkel auf Bögen beruhen, das Gesamtgradmaß davon ist 360 ° (ganzer Kreis), 360 °: 2=180 °
- Wenn der einbeschriebene Winkel auf dem Durchmesser des gegebenen Kreises basiert, ist sein Gradmaß 90°, da der Durchmesser einen Bogen von 180° überspannt, 180°: 2=90°
- Wenn bei einem Kreis Mittel- und Innenwinkel auf demselben Bogen oder derselben Sehne beruhen, dann ist der Innenwinkel gleich der Hälfte des Mittelwinkels.
Wo sind Probleme zu diesem Thema zu finden? Ihre Typen und Lösungen
Da der Kreis und seine Eigenschaften eines der wichtigsten Teilgebiete der Geometrie, insbesondere der Planimetrie, sind, sind die In- und Zentriwinkel im Kreis ein breit und ausführlich behandeltes Themaim Schulunterricht studiert. Ihren Eigenschaften gewidmete Aufgaben finden sich im Großen Staatsexamen (OGE) und im Einheitlichen Staatsexamen (USE). Um diese Probleme zu lösen, sollten Sie in der Regel die Winkel auf dem Kreis in Grad finden.
Winkel basierend auf demselben Bogen
Diese Art von Problem ist vielleicht eines der einfachsten, denn um es zu lösen, müssen Sie nur zwei einfache Eigenschaften kennen: Wenn beide Winkel einbeschrieben sind und sich auf denselben Akkord stützen, sind sie gleich, wenn einer von ihnen ist zentral, dann ist der entsprechende einbeschriebene Winkel gleich der Hälfte davon. Bei der Lösung muss man jedoch äußerst vorsichtig sein: Manchmal ist es schwierig, diese Eigenschaft zu bemerken, und die Schüler geraten beim Lösen solch einfacher Probleme in eine Sackgasse. Betrachten Sie ein Beispiel.
Problem 1
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt O. Der Winkel AOB beträgt 54°. Finde das Gradmaß des Winkels DIA.
Diese Aufgabe wird in einem Schritt gelöst. Das einzige, was Sie brauchen, um die Antwort darauf schnell zu finden, ist zu bemerken, dass der Bogen, auf dem beide Ecken ruhen, ein gemeinsamer ist. Wenn Sie dies sehen, können Sie die bereits bekannte Eigenschaft anwenden. Der Winkel ACB ist die Hälfte des Winkels AOB. Also
1) AOB=54°: 2=27°.
Antwort: 54°.
Winkel basierend auf verschiedenen Bögen desselben Kreises
Manchmal ist die Größe des Bogens, auf dem der erforderliche Winkel ruht, nicht direkt in den Bedingungen des Problems angegeben. Um ihn zu berechnen, müssen Sie die Größe dieser Winkel analysieren und sie mit den bekannten Eigenschaften des Kreises vergleichen.
Problem 2
In einem Kreis, der bei O zentriert ist, Winkel AOCbeträgt 120° und der Winkel AOB beträgt 30°. Finden Sie die Ecke SIE.
Zunächst sei gesagt, dass es möglich ist, dieses Problem mit den Eigenschaften gleichschenkliger Dreiecke zu lösen, aber dazu sind mehr mathematische Operationen erforderlich. Daher analysieren wir hier die Lösung anhand der Eigenschaften von Mittel- und Innenwinkeln in einem Kreis.
Der Winkel AOC liegt also auf dem Bogen AC und ist zentral, was bedeutet, dass der Bogen AC gleich dem Winkel AOC ist.
AC=120°
In gleicher Weise liegt der Winkel AOB auf dem Kreisbogen AB.
AB=30°.
Wenn Sie dies und das Gradmaß des gesamten Kreises (360°) kennen, können Sie leicht die Größe des Bogens BC finden.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Der Scheitelpunkt des Winkels CAB, Punkt A, liegt auf dem Kreis. Daher ist der Winkel CAB einbeschrieben und gleich der Hälfte des Bogens CB.
CAB-Winkel=210°: 2=110°
Antwort: 110°
Probleme basierend auf Bogenverhältnissen
Einige Probleme enth alten überhaupt keine Daten zu Winkeln, daher müssen sie nur auf der Grundlage bekannter Theoreme und Eigenschaften eines Kreises gesucht werden.
Problem 1
Finde den Winkel, der einem Kreis einbeschrieben ist, der von einer Sehne getragen wird, die gleich dem Radius des gegebenen Kreises ist.
Wenn du gedanklich Linien zeichnest, die die Enden des Segments mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden, erhältst du ein Dreieck. Nachdem Sie es untersucht haben, können Sie sehen, dass diese Linien die Radien des Kreises sind, was bedeutet, dass alle Seiten des Dreiecks gleich sind. Wir wissen, dass alle Winkel eines gleichseitigen Dreiecksgleich 60° sind. Daher ist der Bogen AB, der die Spitze des Dreiecks enthält, gleich 60°. Von hier aus finden wir den Bogen AB, auf dem der gewünschte Winkel basiert.
AB=360° - 60°=300°
Winkel ABC=300°: 2=150°
Antwort: 150°
Problem 2
In einem Kreis mit Mittelpunkt O stehen die Bögen im Verhältnis 3:7. Finde den kleineren eingeschriebenen Winkel.
Für die Lösung bezeichnen wir einen Teil als X, dann ist ein Bogen gleich 3X und der zweite jeweils 7X. Da wir wissen, dass das Gradmaß eines Kreises 360° beträgt, können wir eine Gleichung schreiben.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Je nach Bedingung müssen Sie einen kleineren Winkel finden. Wenn der Wert des Winkels direkt proportional zu dem Bogen ist, auf dem er ruht, dann entspricht der erforderliche (kleinere) Winkel offensichtlich einem Bogen gleich 3X.
Der kleinere Winkel ist also (36°3): 2=108°: 2=54°
Antwort: 54°
Problem 3
In einem Kreis mit Mittelpunkt O beträgt der Winkel AOB 60° und die Länge des kleineren Bogens 50. Berechne die Länge des größeren Bogens.
Um die Länge eines größeren Bogens zu berechnen, müssen Sie eine Proportion machen - wie sich der kleinere Bogen zum größeren verhält. Dazu berechnen wir die Magnitude beider Bögen in Grad. Der kleinere Bogen ist gleich dem Winkel, der darauf aufliegt. Sein Gradmaß beträgt 60°. Der größere Bogen ist gleich der Differenz zwischen dem Gradmaß des Kreises (es ist unabhängig von anderen Daten gleich 360°) und dem kleineren Bogen.
Der große Bogen ist 360° - 60°=300°.
Da 300°: 60°=5 ist, ist der größere Bogen 5 mal so groß wie der kleinere.
Großer Bogen=505=250
Antwort: 250
Natürlich gibt es noch andereAnsätze zur Lösung ähnlicher Probleme, aber alle basieren irgendwie auf den Eigenschaften von Mittel- und Innenwinkeln, Dreiecken und Kreisen. Um sie erfolgreich zu lösen, müssen Sie die Zeichnung sorgfältig studieren und mit den Daten des Problems vergleichen sowie Ihr theoretisches Wissen in der Praxis anwenden können.
