Sekunden, Tangenten - all das konnte man im Geometrieunterricht hunderte Male hören. Aber der Schulabschluss ist vorbei, die Jahre vergehen, und all das Wissen ist vergessen. Was sollte beachtet werden?
Essenz
Der Begriff „Tangente an einen Kreis“ist wohl jedem geläufig. Aber es ist unwahrscheinlich, dass jeder in der Lage sein wird, seine Definition schnell zu formulieren. Eine Tangente hingegen ist eine solche Gerade, die in derselben Ebene liegt wie ein Kreis, der sie nur in einem Punkt schneidet. Es mag eine große Vielf alt von ihnen geben, aber sie haben alle die gleichen Eigenschaften, auf die weiter unten eingegangen wird. Wie Sie sich vorstellen können, ist der Kontaktpunkt der Ort, an dem sich der Kreis und die Linie schneiden. In jedem Fall ist es eine, aber wenn es mehr sind, dann wird es eine Sekante.
Entdeckungs- und Studiengeschichte
Das Konzept einer Tangente tauchte in der Antike auf. Die Konstruktion dieser geraden Linien zunächst zu einem Kreis und dann zu Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit Hilfe von Lineal und Zirkel wurde bereits in den Anfängen der Entwicklung der Geometrie durchgeführt. Natürlich hat die Geschichte den Namen des Entdeckers nicht bewahrt, aberes ist offensichtlich, dass man sich schon damals der Eigenschaften der Tangente an den Kreis bewusst war.
In der Neuzeit flammte das Interesse an diesem Phänomen wieder auf - eine neue Runde des Studiums dieses Konzepts begann, verbunden mit der Entdeckung neuer Kurven. Also führte Galileo das Konzept einer Zykloide ein, und Fermat und Descartes bauten eine Tangente daran. Was die Kreise betrifft, scheint es, dass es in dieser Gegend keine Geheimnisse mehr für die Alten gibt.
Eigenschaften
Der zum Schnittpunkt gezeichnete Radius steht senkrecht auf der Linie. Das ist
die wichtigste, aber nicht die einzige Eigenschaft, die eine Tangente an einen Kreis hat. Ein weiteres wichtiges Merkmal sind bereits zwei Geraden. Durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt können also zwei Tangenten gezogen werden, deren Strecken gleich bleiben. Zu diesem Thema gibt es noch ein weiteres Theorem, das im Rahmen eines normalen Schulkurses jedoch selten behandelt wird, obwohl es für die Lösung einiger Probleme äußerst praktisch ist. Es klingt so. Von einem Punkt außerhalb des Kreises werden eine Tangente und eine Sekante an ihn gezogen. Die Segmente AB, AC und AD werden gebildet. A ist der Schnittpunkt der Linien, B ist der Kontaktpunkt, C und D sind die Schnittpunkte. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung: Die Länge der Tangente an den Kreis zum Quadrat ist gleich dem Produkt der Segmente AC und AD.
Aus dem Obigen ergibt sich eine wichtige Konsequenz. Für jeden Punkt des Kreises können Sie eine Tangente bilden, aber nur eine. Der Beweis dafür ist ganz einfach: Wenn wir theoretisch eine Senkrechte vom Radius darauf fallen lassen, finden wir heraus, dass die geformteDreieck kann nicht existieren. Und das bedeutet, dass die Tangente die einzige ist.
Gebäude
Unter anderen Problemen in der Geometrie gibt es in der Regel eine spezielle Kategorie, nicht
geliebt von Schülern und Studenten. Um Aufgaben aus dieser Kategorie zu lösen, benötigen Sie nur einen Zirkel und ein Lineal. Das sind Bauaufgaben. Es gibt auch Methoden zur Konstruktion einer Tangente.
So, ein Kreis und ein Punkt, der außerhalb seiner Grenzen liegt. Und es ist notwendig, eine Tangente durch sie zu ziehen. Wie es geht? Zuerst müssen Sie ein Segment zwischen dem Mittelpunkt des Kreises O und einem bestimmten Punkt zeichnen. Dann teilen Sie es mit einem Kompass in zwei Hälften. Dazu müssen Sie den Radius einstellen - etwas mehr als die Hälfte des Abstands zwischen dem Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises und dem angegebenen Punkt. Danach müssen Sie zwei sich kreuzende Bögen bauen. Darüber hinaus muss der Radius des Kompasses nicht geändert werden, und der Mittelpunkt jedes Teils des Kreises ist der Anfangspunkt bzw. O. Die Schnittpunkte der Bögen müssen verbunden werden, wodurch das Segment in zwei Hälften geteilt wird. Stellen Sie einen Radius auf dem Kompass ein, der dieser Entfernung entspricht. Zeichnen Sie als Nächstes mit der Mitte am Schnittpunkt einen weiteren Kreis. Darauf liegen sowohl der Anfangspunkt als auch O. In diesem Fall gibt es zwei weitere Schnittpunkte mit dem in der Aufgabe angegebenen Kreis. Sie werden die Berührungspunkte für den ursprünglich angegebenen Punkt sein.
Interessant
Es war die Konstruktion von Tangenten an den Kreis, die zur Geburt von
führte
Differentialrechnung. Die erste Arbeit zu diesem Thema warherausgegeben von dem berühmten deutschen Mathematiker Leibniz. Er sah die Möglichkeit vor, Maxima, Minima und Tangenten unabhängig von gebrochenen und irrationalen Werten zu finden. Nun, jetzt wird es auch für viele andere Berechnungen verwendet.
Außerdem hängt die Tangente an den Kreis mit der geometrischen Bedeutung der Tangente zusammen. Daher kommt sein Name. Aus dem Lateinischen übersetzt bedeutet tangens „Tangente“. Somit ist dieser Begriff nicht nur mit Geometrie und Differentialrechnung verbunden, sondern auch mit Trigonometrie.
Zwei Kreise
Nicht immer betrifft eine Tangente nur eine Form. Wenn zu einem Kreis sehr viele Geraden gezogen werden können, warum dann nicht auch umgekehrt? Dürfen. Aber die Aufgabe in diesem Fall ist ernsthaft kompliziert, da die Tangente an zwei Kreise möglicherweise durch keine Punkte verläuft und die relative Position all dieser Figuren sehr sein kann
anders.
Arten und Sorten
Wenn es sich um zwei Kreise und eine oder mehrere Geraden handelt, ist, auch wenn bekannt ist, dass es sich um Tangenten handelt, nicht sofort klar, wie all diese Figuren zueinander stehen. Basierend darauf gibt es mehrere Sorten. Kreise können also einen oder zwei gemeinsame Punkte haben oder gar keine. Im ersten Fall kreuzen sie sich und im zweiten berühren sie sich. Und hier gibt es zwei Sorten. Wenn ein Kreis sozusagen in den zweiten eingebettet ist, wird die Berührung als intern bezeichnet, wenn nicht, dann als extern. gegenseitig verstehenDie Position der Figuren ist nicht nur anhand der Zeichnung möglich, sondern auch mit Informationen über die Summe ihrer Radien und den Abstand zwischen ihren Mittelpunkten. Wenn diese beiden Größen gleich sind, berühren sich die Kreise. Wenn der erste größer ist, schneiden sie sich, und wenn er kleiner ist, haben sie keine gemeinsamen Punkte.
Dasselbe gilt für gerade Linien. Für zwei beliebige Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben, können Sie
konstruiere vier Tangenten. Zwei von ihnen werden sich zwischen den Figuren schneiden, sie werden als intern bezeichnet. Ein paar andere sind extern.
Wenn wir über Kreise sprechen, die einen gemeinsamen Punkt haben, dann ist die Aufgabe stark vereinfacht. Tatsache ist, dass sie für jede gegenseitige Vereinbarung in diesem Fall nur eine Tangente haben. Und es wird durch den Punkt ihres Schnittpunkts gehen. So wird der Bau der Schwierigkeit nicht verursachen.
Haben die Figuren zwei Schnittpunkte, so kann man für sie eine Gerade konstruieren, die den Kreis tangiert, sowohl den einen als auch den zweiten, aber nur den äußeren. Die Lösung für dieses Problem ähnelt der unten beschriebenen.
Problemlösung
Sowohl innere als auch äußere Tangenten an zwei Kreise sind nicht so einfach zu konstruieren, obwohl dieses Problem gelöst werden kann. Tatsache ist, dass dafür eine Hilfsfigur verwendet wird, also denken Sie sich diese Methode selbst aus
ziemlich problematisch. Gegeben sind also zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien und Mittelpunkten O1 und O2. Dafür musst du zwei Tangentenpaare bilden.
Zuerst in der Nähe der Mitte des größerenKreise müssen Hilfs gebaut werden. In diesem Fall muss die Differenz zwischen den Radien der beiden Anfangsfiguren auf dem Kompass ermittelt werden. Tangenten an den Hilfskreis werden vom Mittelpunkt des kleineren Kreises aus gebildet. Danach werden von O1 und O2 Senkrechte zu diesen Linien gezogen, bis sie sich mit den ursprünglichen Figuren schneiden. Wie aus der Haupteigenschaft der Tangente hervorgeht, werden die gewünschten Punkte auf beiden Kreisen gefunden. Problem gelöst, zumindest der erste Teil davon.
Um innere Tangenten zu konstruieren, musst du praktisch lösen
eine ähnliche Aufgabe. Wieder wird eine Hilfsfigur benötigt, aber diesmal ist ihr Radius gleich der Summe der ursprünglichen. Dazu werden Tangenten vom Mittelpunkt eines der gegebenen Kreise konstruiert. Der weitere Verlauf der Lösung lässt sich aus dem vorigen Beispiel nachvollziehen.
Tangent zu einem Kreis oder sogar zwei oder mehr ist keine so schwierige Aufgabe. Natürlich lösen Mathematiker solche Probleme schon lange nicht mehr manuell und vertrauen die Berechnungen speziellen Programmen an. Aber denken Sie nicht, dass es jetzt nicht notwendig ist, es selbst zu können, denn um eine Aufgabe für einen Computer richtig zu formulieren, müssen Sie viel tun und verstehen. Leider wird befürchtet, dass nach dem endgültigen Übergang zur Testform der Wissenskontrolle Bauaufgaben den Schülern immer mehr Schwierigkeiten bereiten werden.
Das Finden gemeinsamer Tangenten für mehrere Kreise ist nicht immer möglich, selbst wenn sie in derselben Ebene liegen. Aber in manchen Fällen findet man so eine gerade Linie.
Lebensbeispiele
Eine gemeinsame Tangente zweier Kreise kommt in der Praxis oft vor, ist aber nicht immer auffällig. Transportbänder, Blocksysteme, Riemenscheibenantriebsriemen, Fadenspannung in einer Nähmaschine und sogar nur eine Fahrradkette - all dies sind Beispiele aus dem Leben. Denken Sie also nicht, dass geometrische Probleme nur Theorie bleiben: In Ingenieurwissenschaften, Physik, Konstruktion und vielen anderen Bereichen finden sie praktische Anwendungen.
