Bei der Lösung geometrischer Probleme im Raum gibt es oft solche, bei denen es notwendig ist, die Winkel zwischen verschiedenen räumlichen Objekten zu berechnen. In diesem Artikel werden wir uns mit dem Problem befassen, Winkel zwischen Ebenen und zwischen ihnen und einer geraden Linie zu finden.
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Es ist bekannt, dass absolut jede Gerade in der Ebene durch folgende Gleichheit definiert werden kann:
y=ax + b
Hier sind a und b Zahlen. Stellen wir mit demselben Ausdruck eine Gerade im Raum dar, so erh alten wir eine Ebene parallel zur z-Achse. Für die mathematische Definition der Raumlinie wird ein anderes Lösungsverfahren verwendet als im zweidimensionalen Fall. Es besteht darin, das Konzept des "Richtungsvektors" zu verwenden.
Der Richtungsvektor einer Geraden zeigt ihre Orientierung im Raum. Dieser Parameter gehört zur Zeile. Da es unendlich viele parallele Vektoren im Raum gibt, müssen zur eindeutigen Bestimmung des betrachteten geometrischen Objekts auch die Koordinaten des zugehörigen Punktes bekannt sein.
Angenommen, es gibt siePunkt P(x0; y0; z0) und Richtungsvektor v¯(a; b; c), dann kann die Geradengleichung wie folgt angegeben werden:
(x; y; z)=P + αv¯ oder
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Dieser Ausdruck wird parametrische Vektorgleichung einer Geraden genannt. Der Koeffizient α ist ein Parameter, der absolut beliebige reale Werte annehmen kann. Die Koordinaten einer Geraden lassen sich explizit darstellen, indem man diese Gleichheit erweitert:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Gleichung der Ebene
Es gibt mehrere Formen, eine Gleichung für eine Ebene im Raum zu schreiben. Hier betrachten wir eine davon, die am häufigsten bei der Berechnung der Winkel zwischen zwei Ebenen oder zwischen einer von ihnen und einer geraden Linie verwendet wird.
Wenn ein Vektor n¯(A; B; C) bekannt ist, der senkrecht auf der gewünschten Ebene steht, und der Punkt P(x0; y 0; z0), was dazu gehört, dann lautet die allgemeine Gleichung für letzteres:
Ax + By + Cz + D=0 wobei D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Wir haben die Herleitung dieses Ausdrucks weggelassen, was ganz einfach ist. Hier bemerken wir nur, dass man, wenn man die Koeffizienten der Variablen in der Gleichung der Ebene kennt, leicht alle Vektoren finden kann, die senkrecht zu ihr stehen. Letztere werden als Normalen bezeichnet und zur Berechnung der Winkel zwischen der geneigten und der Ebene und dazwischen verwendetbeliebige Analoga.
Die Lage der Ebenen und die Formel für den Winkel zwischen ihnen
Nehmen wir an, es gibt zwei Flugzeuge. Welche Optionen gibt es für ihre relative Position im Raum? Da die Ebene zwei unendliche Dimensionen und eine Null hat, sind nur zwei Optionen für ihre gegenseitige Orientierung möglich:
- sie werden parallel zueinander sein;
- sie dürfen sich überschneiden.
Der Winkel zwischen Ebenen ist der Index zwischen ihren Richtungsvektoren, also zwischen ihren Normalen n1¯ und n2¯.
Wenn sie parallel zur Ebene sind, dann ist der Schnittwinkel zwischen ihnen offensichtlich null. Wenn sie sich schneiden, dann ist es ungleich Null, aber immer scharf. Ein Sonderfall der Überschneidung ist der Winkel 90o, wenn die Ebenen senkrecht aufeinander stehen.
Der Winkel α zwischen n1¯ und n2¯ lässt sich leicht aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren bestimmen. Das heißt, die Formel findet statt:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Nehmen Sie an, dass die Koordinaten dieser Vektoren sind: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Dann kann der obige Ausdruck unter Verwendung der Formeln zur Berechnung des Skalarprodukts und der Module von Vektoren durch ihre Koordinaten umgeschrieben werden als:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Der Modul im Zähler erscheint, weil die Werte stumpfer Winkel ausgeschlossen werden sollen.
Beispiele zur Lösung von Aufgaben zur Bestimmung des Schnittwinkels von Ebenen
Wenn wir wissen, wie man den Winkel zwischen den Ebenen findet, werden wir das folgende Problem lösen. Gegeben sind zwei Ebenen, deren Gleichungen lauten:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Wie groß ist der Winkel zwischen den Ebenen?
Um die Frage des Problems zu beantworten, erinnern wir uns daran, dass die Koeffizienten der Variablen in der allgemeinen Gleichung der Ebene die Koordinaten des Führungsvektors sind. Für die angegebenen Ebenen haben wir die folgenden Koordinaten ihrer Normalen:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Nun finden wir das Skalarprodukt dieser Vektoren und ihrer Module, wir haben:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Nun kannst du die gefundenen Zahlen in die im vorigen Absatz angegebene Formel einsetzen. Wir erh alten:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Der resultierende Wert entspricht einem spitzen Schnittwinkel der in der Bedingung angegebenen EbenenAufgaben.
Nun betrachten wir ein weiteres Beispiel. Gegeben zwei Ebenen:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Schneiden sie sich? Schreiben wir die Werte der Koordinaten ihrer Richtungsvektoren aus, berechnen wir ihr Skalarprodukt und ihre Module:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Dann ist der Schnittwinkel:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Dieser Winkel zeigt an, dass sich die Ebenen nicht schneiden, sondern parallel sind. Dass sie nicht zueinander passen, lässt sich leicht überprüfen. Nehmen wir dazu einen beliebigen Punkt, der zum ersten gehört, zB P(0; 3; 2). Setze seine Koordinaten in die zweite Gleichung ein, wir erh alten:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Das heißt, der Punkt P gehört nur zur ersten Ebene.
Also sind zwei Ebenen parallel, wenn ihre Normalen parallel sind.
Ebene und Gerade
Bei der Betrachtung der relativen Position zwischen einer Ebene und einer Geraden gibt es wesentlich mehr Möglichkeiten als bei zwei Ebenen. Diese Tatsache hängt damit zusammen, dass die Gerade ein eindimensionales Objekt ist. Linie und Ebene können sein:
- parallel zueinander, in diesem Fall schneidet die Ebene die Gerade nicht;
- das letztere kann zur Ebene gehören, während es auch parallel dazu sein wird;
- beide Objekte könnenin einem Winkel schneiden.
Betrachten wir zuerst den letzten Fall, da er die Einführung des Konzepts des Schnittwinkels erfordert.
Gerade und Ebene, der Winkel zwischen ihnen
Schneidet eine Gerade eine Ebene, so heißt sie ihr gegenüber geneigt. Der Schnittpunkt wird als Basis der Steigung bezeichnet. Um den Winkel zwischen diesen geometrischen Objekten zu bestimmen, muss von jedem Punkt aus eine gerade Senkrechte zur Ebene abgesenkt werden. Dann bilden der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Ebene und der Schnittpunkt der schiefen Linie mit ihr eine Gerade. Letzteres wird als Projektion der ursprünglichen Linie auf die betrachtete Ebene bezeichnet. Der spitze Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion ist der erforderliche.
Eine etwas verwirrende Definition des Winkels zwischen einer Ebene und einer Schräge wird die folgende Abbildung verdeutlichen.
Hier ist der Winkel ABO der Winkel zwischen der Geraden AB und der Ebene a.
Um die Formel dafür aufzuschreiben, betrachte ein Beispiel. Es seien eine Gerade und eine Ebene gegeben, die durch die Gleichungen beschrieben werden:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Es ist einfach, den gewünschten Winkel für diese Objekte zu berechnen, wenn Sie das Skalarprodukt zwischen den Richtungsvektoren der Linie und der Ebene finden. Den resultierenden spitzen Winkel subtrahiert man von 90o, dann erhält man ihn zwischen einer Geraden und einer Ebene.
Die obige Abbildung zeigt den beschriebenen Algorithmus zum Findenbetrachteter Winkel. Dabei ist β der Winkel zwischen der Normalen und der Geraden und α der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene. Es ist ersichtlich, dass ihre Summe 90o. ist
Oben wurde eine Formel vorgestellt, die die Frage beantwortet, wie man einen Winkel zwischen Ebenen findet. Nun geben wir den entsprechenden Ausdruck für den Fall einer Geraden und einer Ebene an:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2 )))
Der Modul in der Formel erlaubt nur die Berechnung spitzer Winkel. Die Arkussinusfunktion erschien anstelle des Arkuskosinus aufgrund der Verwendung der entsprechenden Reduktionsformel zwischen trigonometrischen Funktionen (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problem: Eine Ebene schneidet eine Gerade
Nun wollen wir zeigen, wie man mit der obigen Formel arbeitet. Lösen wir das Problem: Es ist notwendig, den Winkel zwischen der y-Achse und der Ebene zu berechnen, der durch die folgende Gleichung gegeben ist:
y - z + 12=0
Dieses Flugzeug ist im Bild zu sehen.
Sie können sehen, dass es die y- und die z-Achse an den Punkten (0; -12; 0) bzw. (0; 0; 12) schneidet und parallel zur x-Achse verläuft.
Der Richtungsvektor der Linie y hat Koordinaten (0; 1; 0). Ein Vektor senkrecht zu einer gegebenen Ebene wird durch die Koordinaten (0; 1; -1) gekennzeichnet. Wenden wir die Formel für den Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene an, erh alten wir:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problem: Gerade parallel zur Ebene
Lass uns jetzt entscheidenähnlich dem vorigen Problem, dessen Fragestellung anders gestellt ist. Die Gleichungen der Ebene und der Geraden sind bekannt:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Es ist notwendig herauszufinden, ob diese geometrischen Objekte parallel zueinander sind.
Wir haben zwei Vektoren: Die Richtung der Geraden ist (0; 2; 2) und die Richtung der Ebene ist (1; 1; -1). Finden Sie ihr Skalarprodukt:
01 + 12 - 12=0
Die resultierende Null zeigt an, dass der Winkel zwischen diesen Vektoren 90° beträgto, was beweist, dass die Linie und die Ebene parallel sind.
Überprüfen wir nun, ob diese Gerade nur parallel ist oder auch in der Ebene liegt. Wählen Sie dazu einen beliebigen Punkt auf der Linie aus und prüfen Sie, ob er zur Ebene gehört. Nehmen wir zum Beispiel λ=0, dann gehört der Punkt P(1; 0; 0) zur Geraden. Setze in die Gleichung der Ebene P ein:
1 - 3=-2 ≠ 0
Der Punkt P gehört nicht zur Ebene, also liegt auch nicht die gesamte Gerade darin.
Wo ist es wichtig, die Winkel zwischen den betrachteten geometrischen Objekten zu kennen?
Die obigen Formeln und Beispiele zur Problemlösung sind nicht nur von theoretischem Interesse. Sie werden häufig verwendet, um wichtige physikalische Größen realer dreidimensionaler Figuren wie Prismen oder Pyramiden zu bestimmen. Bei der Berechnung der Volumen von Figuren und der Flächeninh alte ist es wichtig, den Winkel zwischen den Ebenen bestimmen zu können. Darüber hinaus ist es im Fall eines geraden Prismas möglich, diese Formeln nicht zur Bestimmung zu verwendenangegebenen Werte, dann ist ihre Verwendung für jede Art von Pyramide unvermeidlich.
Betrachten Sie unten ein Beispiel für die Verwendung der obigen Theorie zur Bestimmung der Winkel einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
Pyramide und ihre Ecken
Die folgende Abbildung zeigt eine Pyramide, an deren Basis ein Quadrat mit der Seite a liegt. Die Höhe der Figur ist h. Zwei Ecken müssen gefunden werden:
- zwischen Seitenfläche und Boden;
- zwischen Seitenrippe und Boden.
Um das Problem zu lösen, müssen Sie zunächst das Koordinatensystem eingeben und die Parameter der entsprechenden Eckpunkte bestimmen. Die Abbildung zeigt, dass der Koordinatenursprung mit dem Punkt in der Mitte der quadratischen Grundfläche zusammenfällt. In diesem Fall wird die Basisebene durch die Gleichung beschrieben:
z=0
Das heißt, für jedes x und y ist der Wert der dritten Koordinate immer Null. Die laterale Ebene ABC schneidet die z-Achse im Punkt B(0; 0; h) und die y-Achse im Punkt mit den Koordinaten (0; a/2; 0). Es schneidet die x-Achse nicht. Das bedeutet, dass die Gleichung der ABC-Ebene geschrieben werden kann als:
y / (a / 2) + z / h=1 oder
2hy + az - ah=0
Vektor AB¯ ist eine Seitenkante. Seine Start- und Endkoordinaten sind: A(a/2; a/2; 0) und B(0; 0; h). Dann die Koordinaten des Vektors selbst:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Wir haben alle notwendigen Gleichungen und Vektoren gefunden. Nun müssen die betrachteten Formeln verwendet werden.
Zunächst berechnen wir in der Pyramide den Winkel zwischen den Ebenen der Grundflächeund Seite. Die entsprechenden Normalenvektoren sind: n1¯(0; 0; 1) und n2¯(0; 2h; a). Dann ist der Winkel:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Der Winkel zwischen Ebene und Kante AB ist:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Es bleibt übrig, die spezifischen Werte der Seite der Basis a und der Höhe h zu ersetzen, um die erforderlichen Winkel zu erh alten.
