Mit der Aufteilung der Mathematik in Algebra und Geometrie wird der Unterrichtsstoff schwieriger. Neue Figuren und ihre Sonderfälle erscheinen. Um das Material gut zu verstehen, ist es notwendig, die Konzepte, Eigenschaften von Objekten und verwandte Theoreme zu studieren.
Allgemeine Konzepte
Ein Viereck bedeutet eine geometrische Figur. Es besteht aus 4 Punkten. Darüber hinaus befinden sich 3 von ihnen nicht auf derselben geraden Linie. Es gibt Segmente, die die angegebenen Punkte in Reihe verbinden.
Alle Vierecke, die im Geometriekurs der Schule gelernt wurden, sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Schlussfolgerung: Jedes Objekt aus der vorgestellten Figur hat die Eigenschaften der vorherigen Figur.
Ein Viereck kann folgende Typen haben:
- Parallelogramm. Die Parallelität seiner gegenüberliegenden Seiten wird durch die entsprechenden Sätze bewiesen.
- Trapez. Ein Viereck mit parallelen Basen. Die anderen beiden Parteien sind es nicht.
- Rechteck. Eine Figur, die alle 4 Ecken hat=90º.
- Raute. Eine Figur, bei der alle Seiten gleich sind.
- Quadrat. Kombiniert die Eigenschaften der letzten beiden Figuren. Alle Seiten sind gleich und alle Winkel sind richtig.
Die Hauptdefinition dieses Themas ist ein Viereck, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Es besteht im Folgenden. Dies ist eine Figur, um die ein Kreis beschrieben wird. Es muss durch alle Scheitelpunkte gehen. Die Innenwinkel eines einem Kreis einbeschriebenen Vierecks ergeben zusammen 360º.
Nicht jedes Viereck kann eingeschrieben werden. Dies liegt daran, dass sich die Mittelsenkrechten der 4 Seiten nicht in einem Punkt schneiden dürfen. Dadurch wird es unmöglich, den Mittelpunkt eines Kreises zu finden, der ein 4-Eck umschreibt.
Sonderfälle
Zu jeder Regel gibt es Ausnahmen. In diesem Thema gibt es also auch Sonderfälle:
- Ein Parallelogramm als solches kann nicht in einen Kreis einbeschrieben werden. Nur sein Spezialfall. Es ist ein Rechteck.
- Wenn alle Ecken einer Raute auf der Begrenzungslinie liegen, dann ist es ein Quadrat.
- Alle Eckpunkte des Trapezes liegen auf dem Rand des Kreises. Man spricht in diesem Fall von einer gleichschenkligen Figur.
Eigenschaften eines einbeschriebenen Vierecks im Kreis
Bevor Sie einfache und komplexe Probleme zu einem bestimmten Thema lösen, müssen Sie Ihr Wissen überprüfen. Ohne das Unterrichtsmaterial zu studieren, ist es unmöglich, ein einziges Beispiel zu lösen.
Satz 1
Die Summe der gegenüberliegenden Winkel eines einem Kreis einbeschriebenen Vierecks beträgt 180º.
Beweis
Gegeben: Das Viereck ABCD ist einem Kreis einbeschrieben. Sein Mittelpunkt ist Punkt O. Wir müssen beweisen, dass <A + <C=180º und < B + <D=180º.
Die präsentierten Zahlen müssen berücksichtigt werden.
- <A ist in einen Kreis mit Mittelpunkt O eingeschrieben. Es wird durch ½ BCD (halber Bogen) gemessen.
- <C ist in denselben Kreis eingeschrieben. Es wird durch ½ BAD (Halbbogen) gemessen.
- BAD und BCD bilden einen ganzen Kreis, d.h. ihre Magnitude beträgt 360º.
- <A + <C sind gleich der Hälfte der Summe der dargestellten Halbbögen.
- Daher <A + <C=360º / 2=180º.
In ähnlicher Weise der Beweis für <B und <D. Es gibt jedoch noch eine zweite Lösung für das Problem.
- Es ist bekannt, dass die Summe der Innenwinkel eines Vierecks 360º beträgt.
- Weil <A + <C=180º. Dementsprechend ist <B + <D=360º – 180º=180º.
Satz 2
(Es wird oft als umgekehrt bezeichnet) Wenn in einem Viereck <A + <C=180º und <B + <D=180º (wenn sie entgegengesetzt sind), dann lässt sich um eine solche Figur ein Kreis beschreiben.
Beweis
Die Summe der gegenüberliegenden Winkel des Vierecks ABCD gleich 180º ist gegeben. <A + <C=180º, <B +<D=180º. Wir müssen beweisen, dass um ABCD ein Kreis umschrieben werden kann.
Aus dem Geometriekurs ist bekannt, dass man einen Kreis durch 3 Punkte eines Vierecks ziehen kann. Sie können beispielsweise die Punkte A, B, C verwenden. Wo befindet sich Punkt D? Es gibt 3 Vermutungen:
- Sie landet im Kreis. In diesem Fall berührt D die Linie nicht.
- Außerhalb des Kreises. Sie tritt weit über die umrissene Linie hinaus.
- Es ergibt sich ein Kreis.
Es sollte angenommen werden, dass D innerhalb des Kreises liegt. Die Stelle der angegebenen Ecke wird von D´ besetzt. Es ergibt sich ein Viereck ABCD´.
Das Ergebnis ist:<B + <D´=2d.
Wenn wir AD´ bis zum Schnittpunkt mit dem existierenden Kreis fortsetzen, dessen Mittelpunkt der Punkt E ist, und E und C verbinden, erh alten wir ein einbeschriebenes Viereck ABCE. Aus dem ersten Satz folgt die Gleichheit:
Nach den Gesetzen der Geometrie ist der Ausdruck nicht gültig, weil <D´ die äußere Ecke des Dreiecks CD´E ist. Dementsprechend sollte es mehr als <E sein. Daraus können wir schließen, dass D entweder auf oder außerhalb des Kreises liegen muss.
In ähnlicher Weise kann sich die dritte Annahme als falsch erweisen, wenn D´´ die Grenze der beschriebenen Figur überschreitet.
Aus zwei Hypothesen folgt die einzig richtige. Scheitelpunkt D liegt auf der Kreislinie. Mit anderen Worten, D fällt mit E zusammen. Daraus folgt, dass alle Punkte des Vierecks auf der beschriebenen Geraden liegen.
Von diesenzwei Theoreme, die Folgerungen folgen:
Jedes Rechteck kann in einen Kreis eingeschrieben werden. Es gibt noch eine weitere Konsequenz. Jedes Rechteck kann umkreist werden
Trapeze mit gleichen Hüften können in einen Kreis eingeschrieben werden. Mit anderen Worten, es hört sich so an: Um ein Trapez mit gleichen Kanten lässt sich ein Kreis beschreiben
Mehrere Beispiele
Aufgabe 1. Das Viereck ABCD ist einem Kreis eingeschrieben. <ABC=105º, <CAD=35º. Muss <ABD finden. Die Antwort muss in Grad geschrieben werden.
Entscheidung. Am Anfang mag es schwierig erscheinen, die Antwort zu finden.
1. Sie müssen sich die Eigenschaften aus diesem Thema merken. Nämlich: die Summe der gegenüberliegenden Winkel=180º.
<ADC=180º – <ABC=180º – 105º=75º
In der Geometrie hält man sich besser an das Prinzip: Finde alles, was du kannst. Später nützlich.
2. Nächster Schritt: Verwenden Sie den Dreieckssummensatz.
- 75º=70º
<ABD und <ACD sind beschriftet. Aufgrund der Bedingung verlassen sie sich auf einen Bogen. Dementsprechend haben sie gleiche Werte:
<ABD=<ACD=70º
Antwort: <ABD=70º.
Aufgabe 2. BCDE ist ein einbeschriebenes Viereck in einem Kreis. <B=69º, <C=84º. Der Mittelpunkt des Kreises ist Punkt E. Find - <E.
Entscheidung.
- müssen <E nach Satz 1 finden.
<E=180º – <C=180º – 84º=96º
Antwort: < E=96º.
Aufgabe 3. Gegeben sei ein Viereck, das einem Kreis einbeschrieben ist. Die Daten sind in der Abbildung dargestellt. Es ist notwendig, unbekannte Werte x, y, z zu finden.
Lösung:
z=180º – 93º=87º (nach Theorem 1)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º – 82º=98º (nach Theorem 1)
Antwort: z=87º, x=82º, y=98º.
Aufgabe 4. In einen Kreis ist ein Viereck eingeschrieben. Die Werte sind in der Abbildung dargestellt. Finde x, y.
Lösung:
x=180º – 80º=100º
y=180º – 71º=109º
Antwort: x=100º, y=109º.
Probleme zur selbständigen Lösung
Beispiel 1. Gegeben sei ein Kreis. Sein Mittelpunkt ist Punkt O. AC und BD sind Durchmesser. <ACB=38º. Muss <AOD finden. Die Antwort muss in Grad angegeben werden.
Beispiel 2. Gegeben sei ein Viereck ABCD und ein umschriebener Kreis. <ABC=110º, <ABD=70º. Finden Sie <CAD. Schreiben Sie Ihre Antwort in Grad.
Beispiel 3. Gegeben seien ein Kreis und ein einbeschriebenes Viereck ABCD. Seine zwei Winkel sind 82º und58º. Du musst den größten der verbleibenden Winkel finden und das Ergebnis in Grad aufschreiben.
Beispiel 4. Gegeben ist das Viereck ABCD. Die Winkel A, B, C sind im Verhältnis 1:2:3 angegeben. Es ist notwendig, den Winkel D zu finden, wenn das angegebene Viereck in einen Kreis einbeschrieben werden kann. Die Antwort muss in Grad angegeben werden.
Beispiel 5. Gegeben ist das Viereck ABCD. Seine Seiten bilden Bögen des umschriebenen Kreises. Gradwerte AB, BC, CD bzw. AD sind: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Sie sollten <Aus dem gegebenen Viereck finden und das Ergebnis in Grad notieren.
