Pythagoras argumentierte, dass die Zahl zusammen mit den Grundelementen der Welt zugrunde liegt. Platon glaubte, dass die Zahl das Phänomen und das Noumenon verbindet und dabei hilft, Schlussfolgerungen zu erkennen, zu messen und zu ziehen. Arithmetik kommt vom Wort "arithmos" - eine Zahl, der Anfang aller Anfänge in der Mathematik. Es kann jedes Objekt beschreiben – von einem elementaren Apfel bis hin zu abstrakten Räumen.
Bedarf als Entwicklungsfaktor
In den frühen Stadien der Gesellschaftsbildung beschränkten sich die Bedürfnisse der Menschen auf die Notwendigkeit, Zählen zu müssen - ein Sack Getreide, zwei Säcke Getreide usw. Dafür reichten natürliche Zahlen, deren Menge ist eine unendliche positive Folge von ganzen Zahlen N.
Später, mit der Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft, wurde ein separates Feld für ganze Zahlen Z benötigt - es enthält negative Werte und Null. Sein Erscheinen auf Haush altsebene wurde durch die Tatsache provoziert, dass es in der Primärbuchh altung notwendig war, es irgendwie zu reparierenSchulden und Verluste. Auf wissenschaftlicher Ebene haben es negative Zahlen ermöglicht, die einfachsten linearen Gleichungen zu lösen. Unter anderem ist nun die Abbildung eines trivialen Koordinatensystems möglich geworden, seit ein Referenzpunkt aufgetaucht ist.
Der nächste Schritt war die Notwendigkeit, Bruchzahlen einzuführen, denn die Wissenschaft stand nicht still, immer mehr Entdeckungen erforderten eine theoretische Grundlage für neue Wachstumsimpulse. So erschien der Körper der rationalen Zahlen Q.
Endlich reichte die Rationalität nicht mehr aus, um Anfragen zu befriedigen, weil alle neuen Schlussfolgerungen einer Rechtfertigung bedurften. Es erschien das Feld der reellen Zahlen R, die Arbeiten von Euklid über die Inkommensurabilität bestimmter Größen aufgrund ihrer Irrationalität. Das heißt, antike griechische Mathematiker positionierten die Zahl nicht nur als Konstante, sondern auch als abstrakte Größe, die durch das Verhältnis inkommensurabler Größen gekennzeichnet ist. Aufgrund der Tatsache, dass reelle Zahlen auftauchten, "sahen Größen wie "pi" und "e" das Licht", ohne die moderne Mathematik nicht stattfinden könnte.
Die letzte Neuerung war die komplexe Zahl C. Sie beantwortete eine Reihe von Fragen und widerlegte die zuvor eingeführten Postulate. Aufgrund der schnellen Entwicklung der Algebra war das Ergebnis vorhersehbar - mit reellen Zahlen war es unmöglich, viele Probleme zu lösen. Dank komplexer Zahlen stach beispielsweise die Theorie der Strings und des Chaos hervor, und die Gleichungen der Hydrodynamik wurden erweitert.
Mengenlehre. Kantor
Das Konzept der Unendlichkeit zu allen Zeitenkontrovers diskutiert, da sie weder bewiesen noch widerlegt werden konnte. Im Kontext der Mathematik, die mit streng verifizierten Postulaten operierte, zeigte sich dies am deutlichsten, zumal der theologische Aspekt in der Wissenschaft noch Gewicht hatte.
Allerdings hat sich dank der Arbeit des Mathematikers Georg Kantor mit der Zeit alles ergeben. Er bewies, dass es unendlich viele unendliche Mengen gibt und dass der Körper R größer ist als der Körper N, auch wenn beide kein Ende haben. In der Mitte des 19. Jahrhunderts wurden seine Ideen lautstark als Unsinn und als Verbrechen gegen klassische, unerschütterliche Kanons bezeichnet, aber die Zeit stellte alles an seinen Platz.
Grundlegende Eigenschaften des Feldes R
Reelle Zahlen haben nicht nur dieselben Eigenschaften wie die in ihnen enth altenen Teilmengen, sondern werden aufgrund der Größenordnung ihrer Elemente durch andere ergänzt:
- Null existiert und gehört zum Körper R. c + 0=c für jedes c aus R.
- Null existiert und gehört zum Körper R. c x 0=0 für jedes c aus R.
- Die Beziehung c: d für d ≠ 0 existiert und gilt für jedes c, d aus R.
- Der Körper R ist geordnet, das heißt, wenn c ≦ d, d ≦ c, dann ist c=d für jedes c, d aus R.
- Addition im Körper R ist kommutativ, d.h. c + d=d + c für jedes c, d aus R.
- Multiplikation im Körper R ist kommutativ, d.h. c x d=d x c für jedes c, d aus R.
- Addition im Körper R ist assoziativ, d.h. (c + d) + f=c + (d + f) für beliebiges c, d, f aus R.
- Multiplikation im Körper R ist assoziativ, d.h. (c x d) x f=c x (d x f) für beliebige c, d, f aus R.
- Für jede Zahl im Feld R gibt es ein Gegenteil, so dass c + (-c)=0, wobei c, -c aus R stammt.
- Für jede Zahl aus dem Körper R gibt es ihre Inverse, so dass c x c-1 =1, wobei c, c-1 von R.
- Die Einheit existiert und gehört zu R, also c x 1=c, für jedes c aus R.
- Es gilt das Verteilungsgesetz, also c x (d + f)=c x d + c x f, für jedes c, d, f aus R.
- Im Feld R ist Null ungleich Eins.
- Der Körper R ist transitiv: wenn c ≦ d, d ≦ f, dann ist c ≦ f für jedes c, d, f aus R.
- Im Feld R hängen Ordnung und Addition zusammen: wenn c ≦ d, dann gilt c + f ≦ d + f für jedes c, d, f aus R.
- Im Körper R hängen Ordnung und Multiplikation zusammen: wenn 0 ≦ c, 0 ≦ d, dann 0 ≦ c x d für jedes c, d aus R.
- Sowohl negative als auch positive reelle Zahlen sind stetig, d.h. zu jedem c, d aus R gibt es ein f aus R, so dass c ≦ f ≦ d.
Modul im Feld R
Reelle Zahlen enth alten Modul.
Bezeichnet als |f| für jedes f aus R. |f|=f falls 0 ≦ f und |f|=-f wenn 0 > f. Betrachten wir den Modul als geometrische Größe, dann ist es die zurückgelegte Strecke – egal, ob Sie von Null nach Minus oder nach Plus „gegangen“sind.
Komplexe und reelle Zahlen. Was sind die Gemeinsamkeiten und was die Unterschiede?
Im Großen und Ganzen sind komplexe und reelle Zahlen ein und dasselbe, außer dassimaginäre Einheit i, deren Quadrat -1 ist. Die Elemente der Felder R und C lassen sich wie folgt darstellen:
c=d + f x i, wobei d, f zum Körper R gehören und i die imaginäre Einheit ist
Um in diesem Fall c aus R zu bekommen, wird f einfach gleich Null gesetzt, dh es bleibt nur der Re alteil der Zahl übrig. Da der Körper der komplexen Zahlen die gleichen Eigenschaften hat wie der Körper der reellen Zahlen, ist f x i=0, wenn f=0.
Hinsichtlich praktischer Unterschiede wird beispielsweise im R-Feld die quadratische Gleichung nicht gelöst, wenn die Diskriminante negativ ist, während das C-Feld aufgrund der Einführung der imaginären Einheit i keine solche Einschränkung auferlegt.
Ergebnisse
Die "Bausteine" der Axiome und Postulate, auf denen die Mathematik basiert, ändern sich nicht. Aufgrund der Zunahme an Informationen und der Einführung neuer Theorien werden auf einige von ihnen die folgenden "Bausteine" gelegt, die in Zukunft die Grundlage für den nächsten Schritt werden können. Beispielsweise verlieren natürliche Zahlen trotz der Tatsache, dass sie eine Teilmenge des reellen Körpers R sind, nicht ihre Relevanz. Auf ihnen beruht alle elementare Arithmetik, mit der die menschliche Welterkenntnis beginnt.
Aus praktischer Sicht sehen reelle Zahlen wie eine gerade Linie aus. Darauf können Sie die Richtung wählen, den Ursprung und den Schritt bestimmen. Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten, von denen jeder einer einzigen reellen Zahl entspricht, unabhängig davon, ob sie rational ist oder nicht. Aus der Beschreibung geht klar hervor, dass es sich um ein Konzept handelt, auf dem sowohl die Mathematik im Allgemeinen als auch die mathematische Analyse im Allgemeinen aufgebaut sind.insbesondere.
