In der Mathematik gibt es ziemlich oft eine Reihe von Schwierigkeiten und Fragen, und viele der Antworten sind nicht immer klar. Keine Ausnahme war ein solches Thema wie die Kardinalität von Mengen. Tatsächlich ist dies nichts anderes als ein numerischer Ausdruck für die Anzahl der Objekte. Allgemein ist eine Menge ein Axiom, sie hat keine Definition. Sie basiert auf beliebigen Objekten bzw. deren Menge, die leer, endlich oder unendlich sein kann. Außerdem enthält es ganze oder natürliche Zahlen, Matrizen, Folgen, Segmente und Geraden.
Über vorhandene Variablen
Eine Null- oder leere Menge ohne intrinsischen Wert wird als Kardinalelement betrachtet, da es sich um eine Teilmenge handelt. Die Sammlung aller Teilmengen einer nicht leeren Menge S ist eine Menge von Mengen. Daher wird die Potenzmenge einer gegebenen Menge als viele, denkbar, aber einzeln betrachtet. Diese Menge heißt Potenzmenge von S und wird mit P (S) bezeichnet. Wenn S N Elemente enthält, dann enthält P(S) 2^n Teilmengen, da eine Teilmenge von P(S) entweder ∅ ist oder eine Teilmenge mit r Elementen aus S, r=1, 2, 3, … Zusammengesetzt aus allem UnendlichenDie Menge M heißt Potenzgröße und wird symbolisch mit P (M) bezeichnet.
Elemente der Mengenlehre
Dieses Wissensgebiet wurde von George Cantor (1845-1918) entwickelt. Heute wird es in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet und dient als dessen grundlegender Bestandteil. In der Mengenlehre werden Elemente in Form einer Liste dargestellt und sind durch Typen (leere Menge, Singleton, endliche und unendliche Mengen, gleich und äquivalent, universell), Vereinigung, Schnittmenge, Differenz und Addition von Zahlen gegeben. Im Alltag sprechen wir oft von einer Ansammlung von Gegenständen wie einem Schlüsselbund, einem Vogelschwarm, einem Kartenspiel etc. Ab Matheklasse 5 gibt es natürliche, ganze, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.
Folgende Mengen kommen in Betracht:
- natürliche Zahlen;
- Buchstaben;
- primäre Quoten;
- Dreiecke mit unterschiedlichen Seiten.
Es ist ersichtlich, dass diese spezifizierten Beispiele gut definierte Mengen von Objekten sind. Betrachten Sie ein paar weitere Beispiele:
- fünf berühmteste Wissenschaftler der Welt;
- sieben schöne Mädchen in der Gesellschaft;
- die drei besten Chirurgen.
Diese Kardinalitätsbeispiele sind keine wohldefinierten Sammlungen von Objekten, da die Kriterien für "berühmteste", "schönste", "beste" von Person zu Person variieren.
Sets
Dieser Wert ist eine wohldefinierte Anzahl verschiedener Objekte. Angenommen, dass:
- wordset ist ein Synonym, Aggregat, Klasse und enthält Elemente;
- Objekte, Mitglieder sind gleichbedeutend;
- Mengen werden normalerweise mit den Großbuchstaben A, B, C bezeichnet;
- Mengenelemente werden durch Kleinbuchstaben a, b, c dargestellt.
Wenn "a" ein Element der Menge A ist, dann sagt man, dass "a" zu A gehört. Lassen Sie uns den Ausdruck "gehört" mit dem griechischen Zeichen "∈" (Epsilon) bezeichnen. Somit stellt sich heraus, dass a ∈ A. Wenn 'b' ein Element ist, das nicht zu A gehört, wird dies als b ∉ A dargestellt. Einige wichtige Mengen, die in Mathematik der 5. Klasse verwendet werden, werden mit den drei folgenden Methoden dargestellt:
- Anwendungen;
- Register oder Tabellen;
- Regel zum Erstellen einer Formation.
Bei näherer Betrachtung basiert das Antragsformular auf Folgendem. In diesem Fall wird eine klare Beschreibung der Elemente der Menge gegeben. Sie sind alle in geschweiften Klammern eingeschlossen. Zum Beispiel:
- Reihe von ungeraden Zahlen kleiner als 7 - geschrieben als {weniger als 7};
- eine Reihe von Zahlen größer als 30 und kleiner als 55;
- Anzahl der Schüler in einer Klasse, die mehr wiegen als der Lehrer.
In der Registrierungs-(Tabellen-)Form werden die Elemente einer Menge in einem Klammerpaar {} aufgeführt und durch Kommas getrennt. Zum Beispiel:
- N sei die Menge der ersten fünf natürlichen Zahlen. Daher ist N=→ Anmeldeformular
- Set aller Vokale des englischen Alphabets. Also V={a, e, i, o, u, y} → Registerform
- Die Menge aller ungeraden Zahlen ist kleiner als 9. Daher ist X={1, 3, 5, 7} → FormRegistrierung
- Alle Buchstaben des Wortes "Mathe". Daher Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registrierungsformular
- W ist die Menge der letzten vier Monate des Jahres. Daher W={September, Oktober, November, Dezember} → Registrierung.
Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der die Elemente aufgelistet werden, keine Rolle spielt, aber sie dürfen nicht wiederholt werden. Eine etablierte Konstruktionsform, im gegebenen Fall eine Regel, Formel oder ein Operator, wird in ein Klammerpaar geschrieben, damit die Menge richtig definiert ist. Im Set-Builder-Formular müssen alle Elemente dieselbe Eigenschaft haben, um Mitglied des betreffenden Werts zu werden.
Bei dieser Form der Mengendarstellung wird ein Element der Menge durch das Zeichen "x" oder eine beliebige andere Variable gefolgt von einem Doppelpunkt (":" oder "|" wird zur Kennzeichnung verwendet) beschrieben. Sei beispielsweise P die Menge der zählbaren Zahlen größer als 12. P in der Mengenerstellungsform wird geschrieben als - {zählbare Zahl und größer als 12}. Es wird auf eine bestimmte Weise gelesen. Das heißt, "P ist eine Menge von x Elementen, so dass x abzählbar und größer als 12 ist."
Gelöstes Beispiel mit drei Mengendarstellungsmethoden: Anzahl ganzer Zahlen zwischen -2 und 3. Unten sind Beispiele für verschiedene Typen von Mengen:
- Eine leere oder Nullmenge, die kein Element enthält und mit dem Symbol ∅ bezeichnet und als Phi gelesen wird. In Listenform wird ∅ {} geschrieben. Die endliche Menge ist leer, da die Anzahl der Elemente 0 ist. Beispielsweise ist die Menge der ganzzahligen Werte kleiner als 0.
- Offensichtlich sollte es nicht <0 geben. Deshalb das hierleerer Satz.
- Eine Menge, die nur eine Variable enthält, wird Singleton-Menge genannt. Ist weder einfach noch zusammengesetzt.
Endliche Menge
Eine Menge, die eine bestimmte Anzahl von Elementen enthält, heißt endliche oder unendliche Menge. Leer bezieht sich auf das erste. Zum Beispiel ein Satz aller Farben des Regenbogens.
Unendlich ist eine Menge. Die darin enth altenen Elemente können nicht aufgezählt werden. Das heißt, ähnliche Variablen zu enth alten, wird als unendliche Menge bezeichnet. Beispiele:
- Potenz der Menge aller Punkte in der Ebene;
- Menge aller Primzahlen.
Du solltest aber verstehen, dass nicht alle Kardinalitäten der Vereinigung einer Menge in Form einer Liste ausgedrückt werden können. Zum Beispiel reelle Zahlen, da ihre Elemente keinem bestimmten Muster entsprechen.
Die Kardinalzahl einer Menge ist die Anzahl verschiedener Elemente in einer gegebenen Menge A. Sie wird mit n (A) bezeichnet.
Zum Beispiel:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Daher ist n (A)=4.
- B=Buchstabenfolge im Wort ALGEBRA.
Äquivalente Sets für Set-Vergleich
Zwei Kardinalitäten einer Menge A und B sind solche, wenn ihre Kardinalzahl gleich ist. Das Symbol für den äquivalenten Satz ist "↔". Zum Beispiel: A ↔ B.
Gleiche Mengen: zwei Kardinalitäten der Mengen A und B, wenn sie die gleichen Elemente enth alten. Jeder Koeffizient von A ist eine Variable von B, und jeder von B ist der angegebene Wert von A. Daher ist A=B. Die verschiedenen Arten von Kardinalitätsvereinigungen und ihre Definitionen werden anhand der bereitgestellten Beispiele erklärt.
Essenz der Endlichkeit und Unendlichkeit
Was sind die Unterschiede zwischen der Kardinalität einer endlichen Menge und einer unendlichen Menge?
Der erste Wert hat den folgenden Namen, wenn er entweder leer ist oder eine endliche Anzahl von Elementen hat. In einer endlichen Menge kann eine Variable angegeben werden, wenn sie eine begrenzte Anzahl hat. Zum Beispiel unter Verwendung der natürlichen Zahlen 1, 2, 3. Und der Auflistungsprozess endet bei einigen N. Die Anzahl der verschiedenen Elemente, die in der endlichen Menge S gezählt werden, wird mit n (S) bezeichnet. Es wird auch Ordnung oder Kardinal genannt. Symbolisch nach dem Standardprinzip bezeichnet. Wenn also die Menge S das russische Alphabet ist, dann enthält sie 33 Elemente. Es ist auch wichtig daran zu denken, dass ein Element nicht mehr als einmal in einer Menge vorkommt.
Unendlich in der Menge
Eine Menge heißt unendlich, wenn die Elemente nicht aufgezählt werden können. Wenn es eine unbeschränkte (d. h. nicht abzählbare) natürliche Zahl 1, 2, 3, 4 für jedes n hat. Eine Menge, die nicht endlich ist, heißt unendlich. Wir können nun Beispiele für die betrachteten Zahlenwerte diskutieren. Endwertoptionen:
- Setze Q={natürliche Zahlen kleiner als 25}. Dann ist Q eine endliche Menge und n (P)=24.
- Sei R={Ganzzahlen zwischen 5 und 45}. Dann ist R eine endliche Menge und n (R)=38.
- Sei S={Zahlen modulo 9}. Dann S={-9, 9} ist eine endliche Menge und n (S)=2.
- Set aller Personen.
- Anzahl aller Vögel.
Unendliche Beispiele:
- Anzahl vorhandener Punkte auf der Ebene;
- Anzahl aller Punkte im Liniensegment;
- die Menge der durch 3 teilbaren positiven ganzen Zahlen ist unendlich;
- alle ganzen und natürlichen Zahlen.
Daher ist aus der obigen Argumentation klar, wie man zwischen endlichen und unendlichen Mengen unterscheidet.
Macht der Kontinuumsmenge
Wenn wir die Menge mit anderen vorhandenen Werten vergleichen, dann wird der Menge ein Zusatz hinzugefügt. Wenn ξ universell ist und A eine Teilmenge von ξ ist, dann ist das Komplement von A die Anzahl aller Elemente von ξ, die keine Elemente von A sind. Symbolisch ist das Komplement von A in Bezug auf ξ A'. Zum Beispiel sind 2, 4, 5, 6 die einzigen Elemente von ξ, die nicht zu A gehören. Daher ist A'={2, 4, 5, 6}
Eine Menge mit Kardinalitätskontinuum hat folgende Eigenschaften:
- Komplement der universellen Größe ist der betreffende leere Wert;
- diese Nullmengenvariable ist universell;
- Betrag und sein Komplement sind disjunkt.
Zum Beispiel:
- Die Anzahl der natürlichen Zahlen sei eine universelle Menge und A sei gerade. Dann ist A '{x: x ist eine ungerade Menge mit denselben Ziffern}.
- Lassen ξ=Buchstaben im Alphabet. A=Satz von Konsonanten. Dann ist A '=Anzahl der Vokale.
- Die Ergänzung zum Universalset ist die Leermenge. Kann mit ξ bezeichnet werden. Dann ist ξ '=Die Menge jener Elemente, die nicht in ξ enth alten sind. Die leere Menge φ wird geschrieben und bezeichnet. Also ξ=φ. Damit ist das Komplement zur Universalmenge leer.
In der Mathematik wird "Kontinuum" manchmal verwendet, um eine reelle Linie darzustellen. Und allgemeiner, um ähnliche Objekte zu beschreiben:
- Kontinuum (in der Mengenlehre) - reelle Gerade oder entsprechende Kardinalzahl;
- linear - jede geordnete Menge, die bestimmte Eigenschaften einer reellen Linie teilt;
- Kontinuum (in Topologie) - nicht leerer kompakter zusammenhängender metrischer Raum (manchmal Hausdorff);
- die Hypothese, dass keine unendlichen Mengen größer als ganze Zahlen, aber kleiner als reelle Zahlen sind;
- die Potenz des Kontinuums ist eine Kardinalzahl, die die Größe der Menge der reellen Zahlen darstellt.
Im Wesentlichen ein Kontinuum (Messung), Theorien oder Modelle, die allmähliche Übergänge von einem Zustand in einen anderen ohne abrupte Änderungen erklären.
Probleme der Vereinigung und Schnittmenge
Es ist bekannt, dass der Schnittpunkt von zwei oder mehr Mengen die Zahl ist, die alle Elemente enthält, die diesen Werten gemeinsam sind. Wortaufgaben zu Mengen werden gelöst, um grundlegende Ideen zur Verwendung der Vereinigungs- und Schnittmengeneigenschaften von Mengen zu erh alten. Löst die Hauptprobleme von Wörtern aufSets sehen so aus:
A und B seien zwei endliche Mengen. Sie sind so, dass n (A)=20, n (B)=28 und n (A ∪ B)=36, finde n (A ∩ B)
Beziehung in Mengen mit Venn-Diagramm:
- Die Vereinigung zweier Mengen kann durch einen schattierten Bereich dargestellt werden, der A ∪ B darstellt. A ∪ B, wenn A und B disjunkte Mengen sind.
- Der Schnittpunkt zweier Mengen kann durch ein Venn-Diagramm dargestellt werden. Mit schattiertem Bereich, der A ∩ B darstellt.
- Der Unterschied zwischen den beiden Sätzen kann durch Venn-Diagramme dargestellt werden. Mit einem schattierten Bereich, der A - B darstellt.
- Beziehung zwischen drei Mengen unter Verwendung eines Venn-Diagramms. Wenn ξ eine universelle Größe darstellt, dann sind A, B, C drei Teilmengen. Hier überlappen sich alle drei Sets.
Set-Informationen zusammenfassen
Die Kardinalität einer Menge ist definiert als die Gesamtzahl der einzelnen Elemente in der Menge. Und der letzte angegebene Wert wird als Anzahl aller Teilmengen beschrieben. Bei der Untersuchung solcher Probleme sind Methoden, Methoden und Lösungen erforderlich. Für die Kardinalität einer Menge können also die folgenden Beispiele dienen als:
Sei A={0, 1, 2, 3}| |=4, wobei | Ein | repräsentiert die Kardinalität von Menge A.
Jetzt kannst du dein Netzteil finden. Es ist auch ziemlich einfach. Wie bereits gesagt, wird die Potenzmenge aus allen Teilmengen einer gegebenen Zahl gesetzt. Man sollte also grundsätzlich alle Variablen, Elemente und sonstigen Werte von A definieren,das sind {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nun macht aus P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} mit 16 Elementen. Somit ist die Kardinalität der Menge A=16. Offensichtlich ist dies eine langwierige und umständliche Methode zur Lösung dieses Problems. Es gibt jedoch eine einfache Formel, mit der Sie die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge einer bestimmten Zahl direkt ermitteln können. | P |=2 ^ N, wobei N die Anzahl der Elemente in irgendeinem A ist. Diese Formel kann durch einfache Kombinatorik erh alten werden. Die Frage lautet also 2^11, da die Anzahl der Elemente in Menge A 11 ist.
Also ist eine Menge jede numerisch ausgedrückte Größe, die jedes mögliche Objekt sein kann. Zum Beispiel Autos, Menschen, Zahlen. Im mathematischen Sinne ist dieses Konzept breiter und allgemeiner. Wenn in der Anfangsphase die Zahlen und Optionen für ihre Lösung aussortiert sind, werden in der mittleren und höheren Phase die Bedingungen und Aufgaben kompliziert. Tatsächlich wird die Kardinalität der Vereinigung einer Menge durch die Zugehörigkeit des Objekts zu irgendeiner Gruppe bestimmt. Das heißt, ein Element gehört zu einer Klasse, hat aber eine oder mehrere Variablen.
