Komplexe Zahlen: Definition und grundlegende Konzepte

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Beim Studium der Eigenschaften einer quadratischen Gleichung wurde eine Einschränkung vorgenommen - für eine Diskriminante kleiner als Null gibt es keine Lösung. Es wurde sofort festgelegt, dass es sich um eine Menge reeller Zahlen handelt. Den neugierigen Verstand eines Mathematikers wird es interessieren - was ist das Geheimnis, das in der Klausel über reale Werte steckt?

Im Laufe der Zeit führten Mathematiker das Konzept der komplexen Zahlen ein, bei denen der bedingte Wert der zweiten Wurzel von minus eins als Einheit genommen wird.

Historischer Hintergrund

Mathematische Theorie entwickelt sich sequentiell, von einfach zu komplex. Lassen Sie uns herausfinden, wie das Konzept namens "komplexe Zahl" entstanden ist und warum es benötigt wird.

Die Grundlage der Mathematik war von jeher die übliche Rechnung. Die Forscher kannten nur den natürlichen Wertekanon. Addition und Subtraktion waren einfach. Als die wirtschaftlichen Beziehungen komplexer wurden, begann man mit der Multiplikation, anstatt dieselben Werte zu addieren. Es liegt eine umgekehrte Operation vorMultiplikation - Division.

Das Konzept der natürlichen Zahl schränkte die Verwendung arithmetischer Operationen ein. Es ist unmöglich, alle Divisionsprobleme auf der Menge ganzzahliger Werte zu lösen. Die Arbeit mit Brüchen führte zuerst zum Konzept der rationalen Werte und dann zu den irrationalen Werten. Wenn es für das Rationale möglich ist, die genaue Position des Punktes auf der Linie anzugeben, dann ist es für das Irrationale unmöglich, einen solchen Punkt anzugeben. Sie können das Intervall nur annähern. Die Vereinigung von rationalen und irrationalen Zahlen bildete eine reelle Menge, die als eine bestimmte Linie mit einer bestimmten Skala dargestellt werden kann. Jeder Schritt entlang der Linie ist eine natürliche Zahl, und dazwischen liegen rationale und irrationale Werte.

Die Ära der theoretischen Mathematik hat begonnen. Die Entwicklung der Astronomie, Mechanik, Physik erforderte die Lösung immer komplexerer Gleichungen. Im Allgemeinen wurden die Wurzeln der quadratischen Gleichung gefunden. Bei der Lösung eines komplexeren kubischen Polynoms stießen Wissenschaftler auf einen Widerspruch. Das Konzept einer Kubikwurzel aus einem Negativ ist sinnvoll, aber für eine Quadratwurzel erhält man Unsicherheit. Außerdem ist die quadratische Gleichung nur ein Sonderfall der kubischen.

1545 schlug der Italiener J. Cardano vor, das Konzept einer imaginären Zahl einzuführen.

Diese Zahl ist die zweite Wurzel von minus eins. Der Begriff der komplexen Zahl wurde schließlich erst dreihundert Jahre später in den Werken des berühmten Mathematikers Gauß geprägt. Er schlug vor, alle Gesetze der Algebra formell auf die imaginäre Zahl auszudehnen. Die reale Leitung wurde verlängertFlugzeuge. Die Welt ist größer.

Grundlegende Konzepte

Aufrufen einer Reihe von Funktionen, die Einschränkungen für die reale Menge haben:

• y=arcsin(x), definiert zwischen negativ und positiv 1.
• y=ln(x), dezimaler Logarithmus sinnvoll bei positiven Argumenten.
• Quadratwurzel y=√x, berechnet nur für x ≧ 0.

Wenn wir i=√(-1) bezeichnen, führen wir ein solches Konzept als imaginäre Zahl ein, wodurch alle Einschränkungen aus dem Definitionsbereich der obigen Funktionen entfernt werden. Ausdrücke wie y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) machen in einigen Bereichen komplexer Zahlen Sinn.

Die algebraische Form kann als Ausdruck z=x + i×y auf der Menge der reellen x- und y-Werte geschrieben werden, und i² =-1.

Das neue Konzept beseitigt alle Beschränkungen für die Verwendung jeglicher algebraischer Funktionen und ähnelt einem Graphen einer geraden Linie in Koordinaten von realen und imaginären Werten.

Komplexe Ebene

Die geometrische Form komplexer Zahlen ermöglicht es uns, viele ihrer Eigenschaften visuell darzustellen. Auf der Re(z)-Achse markieren wir die realen x-Werte, auf Im(z) - die imaginären Werte von y, dann zeigt der z-Punkt in der Ebene den erforderlichen komplexen Wert an.

Definitionen:

• Re(z) - reelle Achse.
• Im(z) - bedeutet die imaginäre Achse.
• z - Bedingungspunkt einer komplexen Zahl.
• Der Zahlenwert der Länge des Vektors von Null bis z wird aufgerufenModul.
• Reelle und imaginäre Achsen teilen die Ebene in Viertel. Bei einem positiven Wert der Koordinaten - I Viertel. Wenn das Argument der realen Achse kleiner als 0 ist und das Argument der imaginären Achse größer als 0 - II Viertel ist. Wenn die Koordinaten negativ sind - III Viertel. Das letzte, vierte Quartal enthält viele positive reale Werte und negative imaginäre Werte.

Auf einer Ebene mit x- und y-Koordinatenwerten kann man sich also immer einen Punkt einer komplexen Zahl vorstellen. Das Zeichen i wird eingeführt, um den Re alteil vom Imaginärteil zu trennen.

Eigenschaften

1. Wenn der Wert des imaginären Arguments Null ist, erh alten wir nur eine Zahl (z=x), die auf der reellen Achse liegt und zur reellen Menge gehört.
2. Sonderfall, wenn der Wert des reellen Arguments Null wird, entspricht der Ausdruck z=i×y der Position des Punktes auf der imaginären Achse.
3. Die allgemeine Form von z=x + i×y gilt für Nicht-Null-Werte der Argumente. Gibt die Position des die komplexe Zahl charakterisierenden Punktes in einem der Viertel an.

Trigonometrische Schreibweise

Erinnere dich an das Polarkoordinatensystem und die Definition der trigonometrischen Funktionen sin und cos. Es ist offensichtlich, dass es mit Hilfe dieser Funktionen möglich ist, die Lage eines beliebigen Punktes auf der Ebene zu beschreiben. Dazu genügt es, die Länge des Polarstrahls und den Neigungswinkel zur reellen Achse zu kennen.

Definition. Eine Eingabe der Form ∣z ∣ multipliziert mit der Summe der trigonometrischen Funktionen cos(ϴ) und dem Imaginärteil i ×sin(ϴ) wird als trigonometrische komplexe Zahl bezeichnet. Die Bezeichnung ist hier der Neigungswinkel zur reellen Achse

ϴ=arg(z) und r=∣z∣, Balkenlänge.

Aus der Definition und den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen folgt eine sehr wichtige Moivre-Formel:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Mit dieser Formel lassen sich viele Gleichungssysteme bequem lösen, die trigonometrische Funktionen enth alten. Vor allem, wenn das Problem der Machterhebung auftaucht.

Modul und Phase

Um die Beschreibung einer komplexen Menge zu vervollständigen, schlagen wir zwei wichtige Definitionen vor.

Mit Kenntnis des Satzes des Pythagoras lässt sich die Balkenlänge im Polarkoordinatensystem leicht berechnen.

r=∣z∣=√(x² + y²), eine solche Notation auf einem komplexen Raum heißt " Modul" und charakterisiert den Abstand von 0 zu einem Punkt in der Ebene.

Der Neigungswinkel des komplexen Strahls zur reellen Linie ϴ wird allgemein als Phase bezeichnet.

Die Definition zeigt, dass Real- und Imaginärteil durch zyklische Funktionen beschrieben werden. Nämlich:

• x=r × cos(ϴ);
• y=r × sin(ϴ);

Umgekehrt hängt die Phase mit algebraischen Werten über die Formel zusammen:

ϴ=arctan(x / y) + µ, Korrektur µ wird eingeführt, um die Periodizität geometrischer Funktionen zu berücksichtigen.

Euler-Formel

Mathematiker verwenden oft die Exponentialform. Komplexe Ebenenzahlen werden als Ausdrücke geschrieben

z=r × e^i×ϴ , was aus der Euler-Formel folgt.

Dieser Datensatz wird häufig für die praktische Berechnung physikalischer Größen verwendet. Darstellungsform im FormularExponential komplexe Zahlen sind besonders praktisch für technische Berechnungen, bei denen es notwendig wird, Sch altungen mit sinusförmigen Strömen zu berechnen und den Wert von Integralen von Funktionen mit einer bestimmten Periode zu kennen. Die Berechnungen selbst dienen als Werkzeug bei der Konstruktion verschiedener Maschinen und Mechanismen.

Operationen definieren

Wie bereits erwähnt, gelten alle algebraischen Gesetze der Arbeit mit mathematischen Grundfunktionen auch für komplexe Zahlen.

Summenoperation

Bei der Addition komplexer Werte werden auch deren Real- und Imaginärteil addiert.

z=z₁ + z₂ wobei z₁ und z2 _{- allgemeine komplexe Zahlen. Wenn wir den Ausdruck umwandeln, die Klammern öffnen und die Notation vereinfachen, erh alten wir das reelle Argument x=(x}1 _{+ x}2_{), das imaginäre Argument y=(y 1} + y₂).

Auf dem Graphen sieht es wie die Addition zweier Vektoren aus, gemäß der bekannten Parallelogrammregel.

Subtraktionsoperation

Betrachtet als Sonderfall der Addition, wenn eine Zahl positiv ist, ist die andere negativ, dh im Spiegelviertel gelegen. Algebraische Notation sieht aus wie der Unterschied zwischen Real- und Imaginärteil.

z=z₁ - z₂, oder unter Berücksichtigung der Werte der Argumente analog zur Addition Operation erh alten wir für die reellen Werte x=(x₁ - x₂) und imaginäre y=(y₁- y₂).

Multiplikation auf der komplexen Ebene

Mit den Regeln für das Arbeiten mit Polynomen leiten wir die Formel herum komplexe Zahlen zu lösen.

Beschreiben Sie nach den allgemeinen algebraischen Regeln z=z₁×z₂ jedes Argument und listen Sie ähnliche auf. Real- und Imaginärteil können so geschrieben werden:

• x=x1 _{× x}2 _{- y}1 _{× y}2,
• y=x1 _{× y}2 _{+ x}2 _{× y} 1.

Es sieht schöner aus, wenn wir exponentielle komplexe Zahlen verwenden.

Der Ausdruck sieht so aus: z=z₁ × z₂ =r₁ × e^iϴ1 × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ1+ϴ2).

Ganz einfach werden die Module multipliziert und die Phasen addiert.

Abteilung

Wenn wir die Operation der Division als Umkehrung der Multiplikation betrachten, erh alten wir einen einfachen Ausdruck in Exponentialschreibweise. Die Division des Werts z₁ durch z₂ ist das Ergebnis der Division ihrer Module und der Phasendifferenz. Formal sieht das bei Verwendung der Exponentialform komplexer Zahlen so aus:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ^iϴ1 / r₂ × e^{i ϴ2}=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

In Form der algebraischen Notation wird die Operation der Division der Zahlen der komplexen Ebene etwas komplizierter geschrieben:

z=z₁ / z_2.

Durch das Beschreiben von Argumenten und das Durchführen von Polynomtransformationen ist es einfach, Werte zu erh altenx=x1 _{× x}2 _{+ y}1 _{× y}2_{bzw. y=x}2 _{× y}1 _{- x}1 _{× y}2 _{, innerhalb des beschriebenen Raumes macht dieser Ausdruck jedoch Sinn, wenn z}2 _{≠ 0.}

Extrahiere die Wurzel

Alles Obige kann angewendet werden, wenn komplexere algebraische Funktionen definiert werden - potenzieren und invers dazu - Wurzel ziehen.

Wenn wir das allgemeine Konzept des Potenzierens mit n verwenden, erh alten wir die Definition:

zⁿ =(r × e^iϴ).

Unter Verwendung gemeinsamer Eigenschaften umschreiben als:

zⁿ =rⁿ × e^iϴ.

Wir haben eine einfache Formel, um eine komplexe Zahl zu potenzieren.

Aus der Definition des Grades ergibt sich eine sehr wichtige Konsequenz. Eine gerade Potenz der imaginären Einheit ist immer 1. Jede ungerade Potenz der imaginären Einheit ist immer -1.

Lassen Sie uns nun die Umkehrfunktion studieren - das Ziehen der Wurzel.

Nehmen wir zur Vereinfachung der Notation n=2. Die Quadratwurzel w des komplexen Werts z auf der komplexen Ebene C wird als Ausdruck z=± angesehen, gültig für jedes reelle Argument größer oder gleich Null. Für w ≦ 0 gibt es keine Lösung.

Schauen wir uns die einfachste quadratische Gleichung z² =1 an. Schreibe r² × e ^{mit Formeln für komplexe Zahlen umi2ϴ} =r² × e^i2ϴ=ei0^{. Aus der Aufzeichnung ist ersichtlich, dass r}2 ^{=1 und ϴ=0, daher haben wir eine eindeutige Lösung gleich 1. Dies widerspricht aber der Vorstellung, dass z=-1 auch zur Definition einer Quadratwurzel passt.}

Lassen Sie uns herausfinden, was wir nicht berücksichtigen. Wenn wir uns an die trigonometrische Notation erinnern, stellen wir die Aussage wieder her - bei einer periodischen Änderung der Phase ϴ ändert sich die komplexe Zahl nicht. Sei p der Wert der Periode, dann haben wir r² × e^i2ϴ =ei(0+^p), womit 2ϴ=0 + p, oder ϴ=p / 2. Also eⁱ⁰ =1 und eⁱp/2 ^{=-1. Wir haben die zweite Lösung erh alten, die dem allgemeinen Verständnis der Quadratwurzel entspricht.}

Um also eine beliebige Wurzel einer komplexen Zahl zu finden, folgen wir dem Verfahren.

• Schreibe die Exponentialform w=∣w∣ × e^i(arg (w^{) + pk), k ist eine beliebige ganze Zahl.}
• Die gesuchte Zahl wird auch in der Euler-Form z=r × e dargestellt^iϴ.
• Verwenden Sie die allgemeine Definition der Wurzelziehfunktion r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg^{( w) + pk).}
• Aus den allgemeinen Eigenschaften der Gleichheit von Modulen und Argumenten schreiben wir rⁿ =∣w∣ und nϴ=arg (w) + p×k.
• Die endgültige Aufzeichnung der Wurzel einer komplexen Zahl wird durch die Formel z=√∣w∣ × e^{i ( arg} (w) + pk ^{) /} .
• Hinweis. Der Wert von ∣w∣ ist per Definitionist eine positive reelle Zahl, also macht die Wurzel jedes Grades Sinn.

Feld und Konjugation

Abschließend geben wir noch zwei wichtige Definitionen an, die für die Lösung angewandter Probleme mit komplexen Zahlen von geringer Bedeutung, für die Weiterentwicklung der mathematischen Theorie aber unabdingbar sind.

Die Ausdrücke für Addition und Multiplikation bilden einen Körper, wenn sie die Axiome für beliebige Elemente der komplexen Ebene z erfüllen:

1. Die komplexe Summe ändert sich nicht, wenn sich die Stelle komplexer Terme ändert.
2. Die Aussage ist wahr - in einem komplexen Ausdruck kann jede Summe zweier Zahlen durch ihren Wert ersetzt werden.
3. Es gibt einen neutralen Wert 0, für den z + 0=0 + z=z gilt.
4. Für jedes z gibt es ein Gegenteil - z, dessen Addition Null ergibt.
5. Beim Platzwechsel komplexer Faktoren ändert sich das komplexe Produkt nicht.
6. Die Multiplikation zweier beliebiger Zahlen kann durch ihren Wert ersetzt werden.
7. Es gibt einen neutralen Wert 1, dessen Multiplikation die komplexe Zahl nicht ändert.
8. Für jedes z ≠ 0 gibt es eine Umkehrung von z^-1, die mit 1 multipliziert wird.
9. Die Summe zweier Zahlen mit einem Drittel zu multiplizieren entspricht der Operation, jede von ihnen mit dieser Zahl zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren.
10. 0 ≠ 1.

Die Zahlen z1 _{=x + i×y und z}2 _{=x - i×y heißen konjugiert.}

Satz. Für die Konjugation gilt die Aussage:

• Die Konjugation der Summe ist gleich der Summe der konjugierten Elemente.
• Das Konjugat des Produkts istProdukt von Konjugationen.
• Die Konjugation der Konjugation ist gleich der Zahl selbst.

In der allgemeinen Algebra nennt man solche Eigenschaften Körperautomorphismen.

Beispiele

Wenn Sie den gegebenen Regeln und Formeln komplexer Zahlen folgen, können Sie leicht mit ihnen operieren.

Betrachten wir die einfachsten Beispiele.

Aufgabe 1. Bestimme mit der Gleichung 3y +5 x i=15 - 7i x und y.

Entscheidung. Erinnern Sie sich an die Definition komplexer Gleichungen, dann ist 3y=15, 5x=-7. Daher ist x=-7 / 5, y=5.

Aufgabe 2. Berechne die Werte 2 + i²⁸ und 1 + i¹³⁵.

Entscheidung. Offensichtlich ist 28 eine gerade Zahl, aus der Konsequenz der Definition einer komplexen Zahl in der Potenz haben wir i²⁸ =1, was bedeutet, dass der Ausdruck 2 + i ^{ist 28} =3. Der zweite Wert, i¹³⁵ =-1, dann 1 + i¹³⁵ =0.

Aufgabe 3. Berechne das Produkt der Werte 2 + 5i und 4 + 3i.

Entscheidung. Aus den allgemeinen Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen erh alten wir (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Der neue Wert ist -7 + 26i.

Aufgabe 4. Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung z³ =-i.

Entscheidung. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine komplexe Zahl zu finden. Betrachten wir eine der möglichen. Per Definition ist ∣ - i∣=1, die Phase für -i ist -p / 4. Die ursprüngliche Gleichung kann umgeschrieben werden als r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, von wo z=e}-p / 12 + pk/3^{, für jede ganze Zahl k.}

Die Lösungsmenge hat die Form (e^-ip/12,e^ip/4, e^{i2 p/3}).

Warum brauchen wir komplexe Zahlen

Die Geschichte kennt viele Beispiele, wenn Wissenschaftler bei der Arbeit an einer Theorie nicht einmal an die praktische Anwendung ihrer Ergebnisse denken. Mathematik ist zuallererst ein Gedankenspiel, ein striktes Festh alten an Ursache-Wirkungs-Beziehungen. Fast alle mathematischen Konstruktionen werden auf das Lösen von Integral- und Differentialgleichungen reduziert, und diese wiederum werden mit einer gewissen Annäherung durch das Finden der Wurzeln von Polynomen gelöst. Hier begegnen wir erstmals dem Paradox der imaginären Zahlen.

Wissenschaftler Naturforscher, die ganz praktische Probleme lösen, auf Lösungen verschiedener Gleichungen zurückgreifen, mathematische Paradoxien entdecken. Die Interpretation dieser Paradoxien führt zu absolut erstaunlichen Entdeckungen. Die duale Natur elektromagnetischer Wellen ist ein solches Beispiel. Komplexe Zahlen spielen eine entscheidende Rolle beim Verständnis ihrer Eigenschaften.

Dies wiederum hat praktische Anwendung in der Optik, Funkelektronik, Energie und vielen anderen technologischen Bereichen gefunden. Ein weiteres Beispiel, viel schwieriger zu verstehende physikalische Phänomene. Antimaterie wurde an der Spitze eines Stiftes vorhergesagt. Und erst viele Jahre später beginnen Versuche, es physikalisch zu synthetisieren.

Glaube nicht, dass es solche Situationen nur in der Physik gibt. Nicht weniger interessante Entdeckungen werden in der Tierwelt, bei der Synthese von Makromolekülen und beim Studium der künstlichen Intelligenz gemacht. Und das alles dankErweiterung unseres Bewusstseins, weg vom einfachen Addieren und Subtrahieren natürlicher Werte.