Es ist unmöglich zu behaupten, dass Sie sich mit Mathematik auskennen, wenn Sie nicht wissen, wie man Diagramme zeichnet, Ungleichungen auf einer Koordinatenlinie zeichnet und mit Koordinatenachsen arbeitet. Die visuelle Komponente in der Wissenschaft ist von entscheidender Bedeutung, denn ohne visuelle Beispiele in Formeln und Berechnungen kann man manchmal sehr verwirrt werden. In diesem Artikel werden wir sehen, wie man mit Koordinatenachsen arbeitet und wie man einfache Funktionsgraphen erstellt.
Bewerbung
Die Koordinatenlinie ist die Grundlage der einfachsten Arten von Diagrammen, denen ein Schüler auf seinem Bildungsweg begegnet. Es wird in fast allen mathematischen Themen verwendet: bei der Berechnung von Geschwindigkeit und Zeit, bei der Projektion der Größe von Objekten und der Berechnung ihrer Fläche, in der Trigonometrie bei der Arbeit mit Sinus und Cosinus.
Der Hauptwert einer solchen direkten Verbindung ist die Sichtbarkeit. Da Mathematik eine Wissenschaft ist, die ein hohes Maß an abstraktem Denken erfordert, helfen Graphen bei der Darstellung eines Objekts in der realen Welt. Wie verhält er sich? An welchem Punkt im Raum wird dieein paar sekunden, minuten, stunden? Was lässt sich darüber im Vergleich zu anderen Objekten sagen? Wie groß ist seine Geschwindigkeit zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt? Wie kann man seine Bewegung charakterisieren?
Und wir sprechen aus gutem Grund über Geschwindigkeit - sie wird oft durch Funktionsgraphen dargestellt. Und sie können auch Änderungen der Temperatur oder des Drucks im Inneren des Objekts, seiner Größe und Ausrichtung relativ zum Horizont anzeigen. Daher wird auch in der Physik oft der Aufbau einer Koordinatenlinie gefordert.
Eindimensionaler Graph
Es gibt ein Konzept der Mehrdimensionalität. Im eindimensionalen Raum genügt eine einzige Zahl, um die Lage eines Punktes zu bestimmen. Genau das ist bei der Verwendung der Koordinatenlinie der Fall. Wenn der Raum zweidimensional ist, werden zwei Zahlen benötigt. Diagramme dieser Art werden viel häufiger verwendet, und wir werden sie definitiv etwas später in diesem Artikel berücksichtigen.
Was kann man mit Hilfe von Punkten auf der Achse sehen, wenn es nur eine Achse gibt? Sie können die Größe des Objekts sehen, seine Position im Raum relativ zu einer "Null", d.h. dem als Bezugspunkt gewählten Punkt.
Änderungen der Parameter im Laufe der Zeit sind nicht sichtbar, da alle Messwerte für einen bestimmten Moment angezeigt werden. Irgendwo muss man aber anfangen! Fangen wir also an.
Wie man eine Koordinatenachse baut
Zunächst musst du eine horizontale Linie zeichnen - das ist unsere Achse. Auf der rechten Seite „schärfen“Sie es so, dass es wie ein Pfeil aussieht. Daher geben wir die Richtung an, in die die Zahlen gehen werdenZunahme. In Richtung nach unten wird der Pfeil normalerweise nicht platziert. Traditionell zeigt die Achse nach rechts, also folgen wir einfach dieser Regel.
Setzen wir eine Nullmarke, die den Ursprung der Koordinaten anzeigt. Dies ist genau der Ort, an dem der Countdown gemessen wird, sei es Größe, Gewicht, Geschwindigkeit oder irgendetwas anderes. Neben Null müssen wir unbedingt den sogenannten Teilungspreis bezeichnen, d.h. einen Einheitsstandard einführen, nach dem wir bestimmte Mengen auf der Achse auftragen werden. Dies ist notwendig, um die Länge des Segments auf der Koordinatenlinie finden zu können.
Setzen Sie in gleichem Abstand voneinander Punkte oder "Kerben" auf die Linie und schreiben Sie darunter jeweils 1, 2, 3 und so weiter. Und jetzt ist alles bereit. Aber mit dem daraus resultierenden Zeitplan müssen Sie noch lernen, wie man arbeitet.
Arten von Punkten auf der Koordinatenlinie
Schon beim ersten Blick auf die in den Lehrbüchern vorgeschlagenen Zeichnungen wird klar: Die Punkte auf der Achse können gefüllt oder nicht gefüllt sein. Glaubst du, es ist ein Zufall? Gar nicht! Ein "durchgehender" Punkt wird für eine nicht strenge Ungleichung verwendet - eine, die als "größer als oder gleich" gelesen wird. Wenn wir das Intervall streng begrenzen müssen (z. B. kann "x" Werte von null bis eins annehmen, schließt es aber nicht ein), verwenden wir einen "hohlen" Punkt, dh tatsächlich einen kleinen Kreis auf der Achse. Es sei darauf hingewiesen, dass Studenten strikte Ungleichheiten nicht wirklich mögen, da sie schwieriger zu handhaben sind.
Je nachdem, welche Punkte Sieauf dem Chart verwenden, werden auch die gebauten Intervalle aufgerufen. Wenn die Ungleichheit auf beiden Seiten nicht streng ist, erh alten wir ein Segment. Wenn es sich einerseits als „offen“herausstellt, wird es als Halbintervall bezeichnet. Schließlich wird ein Teil einer Linie, der auf beiden Seiten durch Hohlpunkte begrenzt ist, als Intervall bezeichnet.
Flugzeug
Bei der Konstruktion zweier Geraden auf der Koordinatenebene können wir bereits Funktionsgraphen betrachten. Nehmen wir an, die horizontale Linie ist die Zeitachse und die vertikale Linie die Entfernung. Und jetzt können wir bestimmen, welche Distanz das Objekt in einer Minute oder einer Stunde Reise überwinden wird. Das Arbeiten mit einer Ebene ermöglicht es also, die Zustandsänderung eines Objekts zu überwachen. Das ist viel interessanter, als einen statischen Zustand zu untersuchen.
Der einfachste Graph auf einer solchen Ebene ist eine Gerade, sie spiegelt die Funktion Y(X)=aX + b wider. Knickt die Linie? Das bedeutet, dass das Objekt während der Untersuchung seine Eigenschaften ändert.
Stell dir vor, du stehst auf dem Dach eines Gebäudes und hältst einen Stein in deiner ausgestreckten Hand. Wenn Sie es loslassen, fliegt es nach unten und beginnt seine Bewegung bei Nullgeschwindigkeit. Aber in einer Sekunde wird er 36 Kilometer pro Stunde überwinden. Der Stein wird weiter beschleunigen, und um seine Bewegung auf dem Diagramm zu zeichnen, müssen Sie seine Geschwindigkeit zu mehreren Zeitpunkten messen, indem Sie an den entsprechenden Stellen Punkte auf der Achse setzen.
Markierungen auf der horizontalen Koordinatenlinie heißen standardmäßig X1, X2, X3 und auf der Vertikalen - Y1, Y2, Y3. projizierensie in die Ebene und beim Finden von Schnittpunkten finden wir Fragmente des resultierenden Musters. Wenn wir sie mit einer Linie verbinden, erh alten wir einen Graphen der Funktion. Im Fall eines fallenden Steins sieht die quadratische Funktion so aus: Y(X)=aXX + bX + c.
Skala
Natürlich ist es nicht notwendig, ganzzahlige Werte neben Divisionen durch eine Gerade zu setzen. Wenn Sie die Bewegung einer Schnecke betrachten, die mit einer Geschwindigkeit von 0,03 Metern pro Minute kriecht, legen Sie als Werte den Koordinatenbruch fest. Stellen Sie in diesem Fall das Skalenintervall auf 0,01 Meter ein.
Besonders praktisch ist es, solche Zeichnungen in einem Notizbuch in einem Käfig anzufertigen – hier sieht man sofort, ob auf dem Blatt noch genug Platz für das Diagramm ist, wenn man über die Ränder hinausgeht. Es ist nicht schwierig, Ihre Stärke zu berechnen, da die Breite der Zelle in einem solchen Notizbuch 0,5 Zentimeter beträgt. Es dauerte - reduzierte das Bild. Änderungen im Maßstab des Diagramms führen nicht dazu, dass es seine Eigenschaften verliert oder ändert.
Punkt- und Streckenkoordinaten
Wenn im Unterricht eine mathematische Aufgabe gestellt wird, kann diese die Parameter verschiedener geometrischer Formen enth alten, sowohl in Form von Seitenlängen, Umfang, Fläche als auch in Form von Koordinaten. In diesem Fall müssen Sie möglicherweise sowohl eine Form erstellen als auch einige damit verknüpfte Daten abrufen. Es stellt sich die Frage: Wie finde ich die erforderlichen Informationen auf der Koordinatenlinie? Und wie baut man eine Form?
Zum Beispiel sprechen wir über einen Punkt. Dann erscheint ein Großbuchstabe in der Bedingung des Problems und mehrere Zahlen in Klammern, meistens zwei (das heißt, wir zählen im zweidimensionalen Raum). Stehen drei Zahlen in Klammern, getrennt durch ein Semikolon oder ein Komma, dann handelt es sich um einen dreidimensionalen Raum. Jeder der Werte ist eine Koordinate auf der entsprechenden Achse: zuerst entlang der Horizontalen (X), dann entlang der Vertikalen (Y).
Erinnerst du dich, wie man ein Segment zeichnet? Sie haben es in Geometrie weitergegeben. Wenn es zwei Punkte gibt, kann eine Linie zwischen ihnen gezogen werden. Ihre Koordinaten sind in Klammern angegeben, wenn ein Segment in der Aufgabe vorkommt. Zum Beispiel: A(15, 13) - B(1, 4). Um eine solche Linie zu erstellen, müssen Sie Punkte auf der Koordinatenebene finden und markieren und sie dann verbinden. Das ist es!
Und beliebige Polygone können, wie Sie wissen, mit Segmenten gezeichnet werden. Problem gelöst.
Berechnungen
Nehmen wir an, es gibt ein Objekt, dessen Position entlang der X-Achse durch zwei Zahlen gekennzeichnet ist: Es beginnt am Punkt mit der Koordinate (-3) und endet bei (+2). Wenn wir die Länge dieses Objekts wissen wollen, müssen wir die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Beachten Sie, dass eine negative Zahl das Vorzeichen der Subtraktion absorbiert, denn „ein Minus mal ein Minus ergibt ein Plus“. Also addieren wir (2+3) und erh alten 5. Dies ist das gewünschte Ergebnis.
Noch ein Beispiel: Wir bekommen den Endpunkt und die Länge des Objekts, aber nicht den Startpunkt (und wir müssen ihn finden). Die Position des bekannten Punktes sei (6) und die Größe des untersuchten Objekts sei (4). Indem wir die Länge von der Endkoordinate subtrahieren, erh alten wir die Antwort. Summe: (6 - 4)=2.
Negative Zahlen
In der Praxis ist es oft erforderlich, mit negativen Werten zu arbeiten. In diesem Fall werden wirBewegen Sie sich entlang der Koordinatenachse nach links. Zum Beispiel schwimmt ein 3 cm hoher Gegenstand im Wasser. Ein Drittel davon ist in Flüssigkeit getaucht, zwei Drittel in Luft. Wenn wir dann die Wasseroberfläche als Achse wählen, erh alten wir mit einfachsten arithmetischen Berechnungen zwei Zahlen: Der obere Punkt des Objekts hat die Koordinate (+2) und der untere - (-1) Zentimeter.
Es ist leicht zu sehen, dass wir im Fall einer Ebene vier Viertel der Koordinatenlinie haben. Jeder von ihnen hat eine eigene Nummer. Im ersten (oberen rechten) Teil befinden sich Punkte mit zwei positiven Koordinaten, im zweiten - oben links - sind die Werte der X-Achse negativ und entlang der Y-Achse positiv. Die dritte und vierte werden weiter gegen den Uhrzeigersinn gezählt.
Wichtiges Eigentum
Du weißt, dass eine Linie durch unendlich viele Punkte dargestellt werden kann. Wir können beliebig viele Werte in jeder Richtung der Achse genau betrachten, aber wir werden nicht auf sich wiederholende treffen. Es scheint naiv und verständlich, aber diese Aussage beruht auf einer wichtigen Tatsache: Jede Zahl entspricht genau einem Punkt auf der Koordinatenlinie.
Schlussfolgerung
Denken Sie daran, dass alle Äxte, Figuren und, wenn möglich, Grafiken auf einem Lineal aufgebaut werden müssen. Maßeinheiten wurden nicht zufällig von Menschen erfunden - macht man beim Zeichnen einen Fehler, läuft man Gefahr, ein anderes Bild zu sehen, als es hätte sein sollen.
Seien Sie beim Plotten und Rechnen vorsichtig und genau. Wie jede Wissenschaft, die in der Schule studiert wird, liebt Mathematik Genauigkeit. Etwas Mühe geben und gutAuswertungen lassen nicht lange auf sich warten.
