Was sind irrationale Zahlen? Warum heißen sie so? Wo werden sie verwendet und was sind sie? Nur wenige können diese Fragen ohne Zögern beantworten. Aber tatsächlich sind die Antworten darauf ganz einfach, obwohl nicht jeder sie braucht und in sehr seltenen Situationen
Wesen und Bezeichnung
Irrationale Zahlen sind unendliche nicht periodische Dezimalbrüche. Die Notwendigkeit, dieses Konzept einzuführen, ergibt sich aus der Tatsache, dass die zuvor existierenden Konzepte reeller oder reeller, ganzzahliger, natürlicher und rationaler Zahlen nicht mehr ausreichten, um neu auftretende Probleme zu lösen. Um beispielsweise zu berechnen, was das Quadrat von 2 ist, müssen Sie nicht wiederkehrende unendliche Dezimalzahlen verwenden. Außerdem haben viele der einfachsten Gleichungen auch keine Lösung, ohne das Konzept einer irrationalen Zahl einzuführen.
Diese Menge wird als I bezeichnet. Und wie bereits klar ist, können diese Werte nicht als einfacher Bruch dargestellt werden, in dessen Zähler es eine ganze Zahl und in dessen Nenner eine natürliche Zahl geben wird.
Zum allerersten Malandernfalls stießen indische Mathematiker im 7. Jahrhundert v. Chr. auf dieses Phänomen, als entdeckt wurde, dass die Quadratwurzeln einiger Größen nicht explizit angegeben werden konnten. Und der erste Beweis für die Existenz solcher Zahlen wird dem Pythagoreer Hippasus zugeschrieben, der dies bei der Untersuchung eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks tat. Einen ernsthaften Beitrag zum Studium dieses Satzes leisteten einige andere Wissenschaftler, die vor unserer Zeitrechnung lebten. Die Einführung des Begriffs der irrationalen Zahlen brachte eine Überarbeitung des bestehenden mathematischen Systems mit sich, weshalb sie so wichtig sind.
Herkunft des Namens
Wenn ratio im Lateinischen "Bruch", "Verhältnis" bedeutet, dann gibt die Vorsilbe "ir"
diesem Wort die gegenteilige Bedeutung. Daher zeigt der Name der Menge dieser Zahlen an, dass sie nicht mit einer ganzen Zahl oder einem Bruch korreliert werden können, sie haben einen separaten Platz. Dies folgt aus ihrem Wesen.
Platz im Gesamtklassement
Irrationale Zahlen gehören zusammen mit rationalen Zahlen zur Gruppe der reellen oder reellen Zahlen, die wiederum zu den komplexen Zahlen gehören. Es gibt keine Teilmengen, jedoch algebraische und transzendente Varietäten, die weiter unten besprochen werden.
Eigenschaften
Da irrationale Zahlen Teil der Menge der reellen Zahlen sind, gelten für sie alle ihre Eigenschaften, die in der Arithmetik untersucht werden (man nennt sie auch algebraische Grundgesetze).
a + b=b + a (Kommutativität);
(a + b) + c=a + (b + c)(Assoziativität);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (die Existenz der Gegenzahl);
ab=ba (Verschiebungsgesetz);
(ab)c=a(bc) (Verteilung);
a(b+c)=ab + ac (Distributivgesetz);
a x 1=a
a x 1/a=1 (die Existenz einer inversen Zahl);
Abgleich erfolgt auch nach allgemeinen Gesetzen und Grundsätzen:
Wenn a > b und b > c, dann a > c (Transitivität des Verhältnisses) und. usw.
Natürlich lassen sich alle irrationalen Zahlen mit Grundrechenarten umrechnen. Dafür gibt es keine besonderen Regeln.
Außerdem gilt für irrationale Zahlen das Axiom von Archimedes. Es besagt, dass für zwei beliebige Größen a und b die Aussage wahr ist, dass man b übertreffen kann, wenn man a oft genug als Term nimmt.
Verwenden
Trotz der Tatsache, dass man sich im normalen Leben nicht oft mit ihnen auseinandersetzen muss, können irrationale Zahlen nicht gezählt werden. Es gibt viele von ihnen, aber sie sind fast unsichtbar. Wir sind überall von irrationalen Zahlen umgeben. Jedermann bekannte Beispiele sind die Zahl Pi, gleich 3, 1415926 …, oder e, das im Wesentlichen die Basis des natürlichen Logarithmus ist, 2, 718281828 … In Algebra, Trigonometrie und Geometrie müssen sie ständig verwendet werden. Übrigens ist auch der berühmte Wert des „Goldenen Schnitts“, also das Verhältnis des größeren Teils zum kleineren und umgekehrt, ebenfalls
gehört zu dieser Menge. Weniger bekanntes "Silber" - auch.
Sie liegen sehr dicht auf dem Zahlenstrahl, sodass zwischen zwei beliebigen Werten, die sich auf die Menge der rationalen beziehen, mit Sicherheit ein irrationaler auftritt.
Es gibt noch viele ungelöste Probleme mit diesem Set. Es gibt solche Kriterien wie das Maß der Irrationalität und die Normalität einer Zahl. Mathematiker untersuchen weiterhin die wichtigsten Beispiele auf ihre Zugehörigkeit zu der einen oder anderen Gruppe. Zum Beispiel wird angenommen, dass e eine normale Zahl ist, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedene Ziffern in ihrem Datensatz erscheinen, gleich ist. Was Pi anbelangt, so wird noch geforscht. Ein Maß für Irrationalität wird auch als Wert bezeichnet, der angibt, wie gut sich diese oder jene Zahl durch rationale Zahlen annähern lässt.
Algebraisch und transzendental
Wie bereits erwähnt, werden irrationale Zahlen bedingt in algebraische und transzendente unterteilt. Bedingt, da diese Klassifikation streng genommen dazu dient, die Menge C.
zu teilen
Diese Bezeichnung verbirgt komplexe Zahlen, die reelle oder reelle Zahlen enth alten.
Ein algebraischer Wert ist also ein Wert, der eine Wurzel eines Polynoms ist, das nicht identisch gleich Null ist. Zum Beispiel würde die Quadratwurzel von 2 in diese Kategorie fallen, weil sie die Lösung der Gleichung x2 - 2=0 ist.
Alle anderen reellen Zahlen, die diese Bedingung nicht erfüllen, heißen transzendent. Zu dieser Sortegehören die berühmtesten und bereits erwähnten Beispiele - die Zahl Pi und die Basis des natürlichen Logarithmus e.
Interessanterweise wurde weder das eine noch das zweite ursprünglich von Mathematikern in dieser Eigenschaft abgeleitet, ihre Irrationalität und Transzendenz wurden viele Jahre nach ihrer Entdeckung bewiesen. Für pi wurde der Beweis 1882 geführt und 1894 vereinfacht, womit die 2.500-jährige Kontroverse um das Problem der Quadratur des Kreises beendet wurde. Es ist immer noch nicht vollständig verstanden, also haben moderne Mathematiker etwas zu tun. Die erste hinreichend genaue Berechnung dieses Wertes wurde übrigens von Archimedes durchgeführt. Vor ihm waren alle Berechnungen zu ungefähr.
Für e (die Euler- oder Napier-Zahlen) wurde 1873 ein Beweis für seine Transzendenz gefunden. Es wird beim Lösen von logarithmischen Gleichungen verwendet.
Weitere Beispiele sind Sinus-, Cosinus- und Tangens-Werte für alle algebraischen Werte ungleich Null.
