Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige mentale Qualitäten zu entwickeln, das abstrakte Denken und die Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Kurs "Mathematik" besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist die Addition und Subtraktion von Brüchen. Vielen Studenten fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.
Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
Brüche sind die gleichen Zahlen, mit denen Sie verschiedene Aktionen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie beim Ausführen von Aktionen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als gleiche Zahl dargestellt werden. Es wird nicht schwierig sein, diese Aktion auszuführen, wenn Sie eine einfache Regel kennen:
Um die Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, muss der Zähler des subtrahierten Bruchs vom Zähler des gekürzten Bruchs subtrahiert werden. Daswir schreiben die Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k/m – b/m=(k-b)/m
Beispiele zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner
Mal sehen, wie es an einem Beispiel aussieht:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Vom Zähler des reduzierten Bruchs "7" subtrahieren Sie den Zähler des subtrahierten Bruchs "3", wir erh alten "4". Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und setzen in den Nenner die gleiche Zahl, die in den Nennern des ersten und zweiten Bruchs stand - „19“.
Das Bild unten zeigt einige weitere ähnliche Beispiele.
Betrachten wir ein komplizierteres Beispiel, bei dem Brüche mit demselben Nenner subtrahiert werden:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Vom Zähler des gekürzten Bruchs "29" durch Subtrahieren der Zähler aller nachfolgenden Brüche - "3", "8", "2", "7". Als Ergebnis erh alten wir das Ergebnis "9", das wir in den Zähler der Antwort schreiben, und in den Nenner schreiben wir die Zahl, die in den Nennern all dieser Brüche steht - "47".
Brüche mit gleichem Nenner addieren
Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche werden nach demselben Prinzip durchgeführt.
Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, musst du die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe, und der Nenner bleibt gleich: k/m + b/m=(k + b)/m
Mal sehen, wie es an einem Beispiel aussieht:
1/4 + 2/4=3/4.
Kder Zähler des ersten Begriffs des Bruchs - "1" - addieren Sie den Zähler des zweiten Begriffs des Bruchs - "2". Das Ergebnis - "3" - wird in den Zähler des Betrags geschrieben, und der Nenner ist derselbe wie in den Brüchen - "4".
Brüche mit verschiedenen Nennern und ihre Subtraktion
Das Vorgehen mit Brüchen, die den gleichen Nenner haben, haben wir bereits betrachtet. Wie Sie sehen können, ist das Lösen solcher Beispiele mit einfachen Regeln recht einfach. Aber was ist, wenn Sie eine Aktion mit Brüchen ausführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier, wenn Sie das Prinzip der Lösung kennen, werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwerfallen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.
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Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, musst du sie auf denselben kleinsten Nenner bringen.
Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern
Wir werden mehr darüber besprechen, wie das geht.
Eigenschaft eines Bruchs
Um mehrere Brüche auf denselben Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft des Bruchs in der Lösung verwenden: Nachdem Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert oder multipliziert haben, erh alten Sie einen Bruch gleich dem gegeben.
Zum Beispiel kann der Bruch 2/3 solche Nenner wie "6", "9", "12" usw. haben, das heißt, er kann wie eine beliebige Zahl aussehen, die ein Vielfaches von " 3". Nachdem wir Zähler und Nenner multipliziert haben"2", erh alten Sie den Bruch 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit "3" multipliziert haben, erh alten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Aktion mit der Zahl "4" ausführen, erh alten wir 8/12. In einer Gleichung kann dies wie folgt geschrieben werden:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Wie man mehrere Brüche auf denselben Nenner bringt
Lassen Sie uns überlegen, wie man mehrere Brüche auf denselben Nenner bringt. Nehmen Sie zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Um es einfacher zu machen, faktorisieren wir die verfügbaren Nenner.
Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner von 7/9 hat zwei Teiler 7/9=7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6=5/(2 x 3). Jetzt müssen Sie bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche die kleinsten sein werden. Da der erste Bruch die Zahl „2“im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss, im Bruch 7/9 gibt es zwei Tripel, was bedeutet, dass sie auch im Nenner vorhanden sein müssen. Angesichts des Obigen bestimmen wir, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und ist gleich 3 x 2 x 3=18.
Betrachten Sie den ersten Bruch - 1/2. Sein Nenner enthält "2", aber es gibt keine einzelne "3", sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripel, aber gemäß der Brucheigenschaft müssen wir den Zähler mit zwei Tripel multiplizieren:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
Ähnlich führen wir Aktionen mit dem Rest ausBrüche.
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2/3 – dem Nenner fehlt eins drei und eins zwei:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
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7/9 oder 7/(3 x 3) - dem Nenner fehlt ein Nenner:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
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5/6 oder 5/(2 x 3) - dem Nenner fehlt ein Tripel:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Insgesamt sieht es so aus:
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren und addieren
Wie oben erwähnt, müssen Brüche mit unterschiedlichen Nennern zum Addieren oder Subtrahieren auf denselben Nenner gebracht werden und dann die bereits beschriebenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.
Nehmen wir das als Beispiel: 18.04. – 15.03.
Finde Vielfache von 18 und 15:
- Die Zahl 18 ist 3 x 2 x 3.
- Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
- Das gemeinsame Vielfache besteht aus den folgenden Faktoren 5 x 3 x 3 x 2=90.
Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss der Multiplikator berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Dazu dividieren wir die gefundene Zahl (gemeinsames Vielfaches) durch den Nenner des Bruchs, für den weitere Faktoren bestimmt werden müssen.
- 90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl "6" ist ein Multiplikator für 3/15.
- 90 dividiert durch 18. Die resultierende Zahl "5" ist ein Multiplikator für 4/18.
Der nächste Schritt in unserer Entscheidung istbringt jeden Bruch auf den Nenner "90".
Wie es geht, haben wir schon gesagt. Überlegen Sie, wie dies im Beispiel geschrieben wird:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Bei Brüchen mit kleinen Zahlen können Sie den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten gezeigt.
In ähnlicher Weise wird die Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern durchgeführt.
Subtraktion und Addition von Brüchen mit ganzzahligen Teilen
Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich analysiert. Aber wie subtrahiert man, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns wieder ein paar Regeln verwenden:
- Übersetze alle Brüche mit einem ganzzahligen Teil in unechte Brüche. In einfachen Worten, entfernen Sie das gesamte Teil. Dazu wird die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs multipliziert, das resultierende Produkt zum Zähler addiert. Die Zahl, die nach diesen Aktionen erh alten wird, ist der Zähler eines unechten Bruchs. Der Nenner bleibt gleich.
- Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf denselben gekürzt werden.
- Addiere oder subtrahiere mit gleichen Nennern.
- Wenn Sie einen unechten Bruch erh alten, wählen Sie den ganzzahligen Teil aus.
Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzzahligen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzzahligen Teilen und getrennt mit Brüchen ausgeführt und die Ergebnisse zusammen aufgezeichnet.
Das obige Beispiel besteht aus Brüchen, die denselben Nenner haben. Falls die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen reduziert werden und dann die Schritte wie im Beispiel gezeigt ausführen.
Brüche von ganzen Zahlen subtrahieren
Eine andere Art von Operationen mit Brüchen ist der Fall, wenn ein Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick erscheint ein solches Beispiel schwer lösbar. Hier ist jedoch alles ganz einfach. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, und zwar mit einem solchen Nenner, der sich in dem zu subtrahierenden Bruch befindet. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit denselben Nennern durch. In einem Beispiel sieht das so aus:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Die in diesem Artikel vorgestellte Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in nachfolgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird später verwendet, um Funktionen, Ableitungen usw. zu lösen. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Operationen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.
