In der Mathematik und Verarbeitung ist das Konzept eines analytischen Signals (kurz - C, AC) eine komplexe Funktion, die keine negativen Frequenzkomponenten hat. Die Real- und Imaginärteile dieses Phänomens sind reelle Funktionen, die durch die Hilbert-Transformation miteinander in Beziehung stehen. Ein analytisches Signal ist ein ziemlich häufiges Phänomen in der Chemie, dessen Wesen der mathematischen Definition dieses Konzepts ähnlich ist.
Auftritte
Die analytische Darstellung einer reellen Funktion ist ein analytisches Signal, das die ursprüngliche Funktion und ihre Hilbert-Transformation enthält. Diese Darstellung erleichtert viele mathematische Manipulationen. Die Hauptidee ist, dass die negativen Frequenzkomponenten der Fourier-Transformation (oder des Spektrums) einer reellen Funktion aufgrund der hermiteschen Symmetrie eines solchen Spektrums redundant sind. Diese negativen Frequenzkomponenten können ohne weiteres verworfen werdenInformationsverlust, sofern Sie sich stattdessen mit einer komplexen Funktion befassen möchten. Dies macht bestimmte Feature-Attribute zugänglicher und erleichtert die Ableitung von Modulations- und Demodulationstechniken wie SSB.
Negative Komponenten
Solange die zu manipulierende Funktion keine negativen Frequenzkomponenten hat (dh sie ist immer noch analytisch), ist die Umwandlung von komplex zurück in reell einfach eine Frage des Verwerfens des Imaginärteils. Die analytische Darstellung ist eine Verallgemeinerung des Konzepts eines Vektors: Während ein Vektor auf eine zeitinvariante Amplitude, Phase und Frequenz beschränkt ist, ermöglicht eine qualitative Analyse eines analytischen Signals zeitvariable Parameter.
Momentane Amplitude, momentane Phase und Frequenz werden in einigen Anwendungen verwendet, um lokale Merkmale von C zu messen und zu erkennen. Eine weitere Anwendung der analytischen Darstellung bezieht sich auf die Demodulation modulierter Signale. Polarkoordinaten trennen bequem die Effekte von AM- und Phasen- (oder Frequenz-) Modulation und demodulieren effektiv bestimmte Arten.
Dann kann ein einfacher Tiefpassfilter mit echten Koeffizienten den interessierenden Teil abschneiden. Ein weiteres Motiv besteht darin, die maximale Frequenz zu verringern, was die minimale Frequenz für das Nicht-Alias-Sampling verringert. Die Frequenzverschiebung beeinträchtigt nicht die mathematische Nützlichkeit der Darstellung. Daher ist in diesem Sinne abwärts konvertiert immer noch analytisch. Allerdings ist die Wiederherstellung der realen DarstellungEs geht nicht mehr nur darum, das reale Bauteil einfach zu extrahieren. Eine Aufwärtskonvertierung kann erforderlich sein, und wenn das Signal abgetastet wird (diskrete Zeit), kann auch eine Interpolation (Upsampling) erforderlich sein, um Aliasing zu vermeiden.
Variablen
Das Konzept ist gut definiert für Phänomene mit einzelnen Variablen, die normalerweise vorübergehend sind. Diese Zeitlichkeit verwirrt viele angehende Mathematiker. Für zwei oder mehr Variablen kann analytisches C auf unterschiedliche Weise definiert werden, und im Folgenden werden zwei Ansätze vorgestellt.
Die Real- und Imaginärteile dieses Phänomens entsprechen zwei Elementen eines vektorwertigen monogenen Signals, wie es für ähnliche Phänomene mit einer Variablen definiert ist. Monogen kann jedoch auf einfache Weise auf eine beliebige Anzahl von Variablen erweitert werden, wodurch eine (n + 1)-dimensionale Vektorfunktion für den Fall von n-variablen Signalen erzeugt wird.
Signalwandlung
Sie können ein reelles Signal in ein analytisches umwandeln, indem Sie eine imaginäre (Q) Komponente hinzufügen, die die Hilbert-Transformation der reellen Komponente ist.
Übrigens ist das nichts Neues für seine digitale Verarbeitung. Eine der traditionellen Methoden zur Erzeugung von Single Sideband (SSB) AM, die Phasenmethode, beinh altet die Erzeugung von Signalen durch die Erzeugung einer Hilbert-Transformation eines Audiosignals in einem analogen Widerstands-Kondensator-Netzwerk. Da es nur positive Frequenzen hat, lässt es sich leicht in ein moduliertes HF-Signal mit nur einem Seitenband umwandeln.
Definitionsformeln
Analytischer Signalausdruck ist eine holomorphe komplexe Funktion, die auf der Grenze der oberen komplexen Halbebene definiert ist. Die Grenze der oberen Halbebene fällt mit der zufälligen zusammen, also ist C durch die Abbildung fa gegeben: R → C. Seit Mitte des letzten Jahrhunderts, als Denis Gabor 1946 vorschlug, dieses Phänomen zu verwenden, um konstante Amplitude und Phase zu untersuchen hat das Signal viele Anwendungen gefunden. Die Besonderheit dieses Phänomens wurde betont [Vak96], wo gezeigt wurde, dass nur eine qualitative Analyse des analytischen Signals den physikalischen Bedingungen für Amplitude, Phase und Frequenz entspricht.
Neueste Erfolge
Während der letzten Jahrzehnte gab es ein Interesse an der Untersuchung von Signalen in vielen Dimensionen, motiviert durch Probleme, die in Bereichen von der Bild- / Videoverarbeitung bis hin zu mehrdimensionalen Schwingungsprozessen in der Physik wie seismischen, elektromagnetischen und Gravitationswellen. Es wurde allgemein akzeptiert, dass man sich, um analytisches C (qualitative Analyse) korrekt auf den Fall mehrerer Dimensionen zu verallgemeinern, auf eine algebraische Konstruktion verlassen muss, die die gewöhnlichen komplexen Zahlen auf bequeme Weise erweitert. Solche Konstruktionen nennt man üblicherweise hyperkomplexe Zahlen [SKE].
Schließlich sollte es möglich sein, ein hyperkomplexes analytisches Signal fh: Rd → S zu konstruieren, in dem ein allgemeines hyperkomplexes algebraisches System dargestellt ist, das natürlich alle erforderlichen Eigenschaften erweitert, um eine momentane Amplitude zu erh alten undPhase.
Studie
Eine Reihe von Artikeln widmet sich verschiedenen Fragen im Zusammenhang mit der richtigen Wahl des hyperkomplexen Zahlensystems, der Definition der hyperkomplexen Fourier-Transformation und der fraktionalen Hilbert-Transformation zur Untersuchung der momentanen Amplitude und Phase. Der größte Teil dieser Arbeit basierte auf Eigenschaften verschiedener Räume wie Cd, Quaternionen, Clearon-Algebren und Cayley-Dixon-Konstruktionen.
Als nächstes werden wir nur einige der Arbeiten auflisten, die sich mit dem Studium des Signals in vielen Dimensionen befassen. Die ersten Arbeiten zur multivariaten Methode liegen unseres Wissens nach Anfang der 1990er Jahre vor. Dazu gehören Ells Arbeit [Ell92] über hyperkomplexe Transformationen; Bülows Arbeiten zur Verallgemeinerung der Methode der analytischen Reaktion (analytisches Signal) auf viele Messungen [BS01] und die Arbeiten von Felsberg und Sommer zu monogenen Signalen.
Weitere Interessenten
Es wird erwartet, dass das hyperkomplexe Signal alle nützlichen Eigenschaften erweitert, die wir im 1D-Fall haben. Zunächst müssen wir in der Lage sein, die momentane Amplitude und Phase auf die Messungen zu extrahieren und zu verallgemeinern. Zweitens wird das Fourier-Spektrum eines komplexen analytischen Signals nur bei positiven Frequenzen aufrechterh alten, sodass wir erwarten, dass die hyperkomplexe Fourier-Transformation ihr eigenes überbewertetes Spektrum hat, das nur in einem positiven Quadranten des hyperkomplexen Raums aufrechterh alten wird. Weil es sehr wichtig ist.
Drittens konjugieren Sie Teile eines komplexen Konzeptsdes analytischen Signals beziehen sich auf die Hilbert-Transformation, und wir können erwarten, dass die konjugierten Komponenten im hyperkomplexen Raum ebenfalls mit einer Kombination der Hilbert-Transformationen zusammenhängen müssen. Und schließlich muss ein hyperkomplexes Signal tatsächlich als Erweiterung einer hyperkomplexen holomorphen Funktion mehrerer hyperkomplexer Variablen definiert werden, die an der Grenze irgendeiner Form in einem hyperkomplexen Raum definiert sind.
Wir behandeln diese Probleme der Reihe nach. Zunächst betrachten wir zunächst die Fourier-Integralformel und zeigen, dass die Hilbert-Transformation zu 1-D mit der modifizierten Fourier-Integralformel verwandt ist. Diese Tatsache erlaubt es uns, die momentane Amplitude, Phase und Frequenz ohne jeden Bezug zu hyperkomplexen Zahlensystemen und holomorphen Funktionen zu definieren.
Modifikation von Integralen
Wir fahren fort, indem wir die modifizierte Fourier-Integralformel auf mehrere Dimensionen erweitern und alle notwendigen phasenverschobenen Komponenten bestimmen, die wir in momentaner Amplitude und Phase sammeln können. Zweitens wenden wir uns der Frage nach der Existenz holomorpher Funktionen mehrerer hyperkomplexer Variablen zu. Nach [Sch93] stellt sich heraus, dass die kommutative und assoziative hyperkomplexe Algebra, die von einem Satz elliptischer (e2i=−1) Generatoren erzeugt wird, ein geeigneter Raum für ein hyperkomplexes analytisches Signal zum Leben ist, wir nennen eine solche hyperkomplexe Algebra den Schaefers-Raum und bezeichnen sie esSd.
Daher ist der Hyperkomplex der analytischen Signale als holomorphe Funktion an der Grenze der Polydisk / oberen Hälfte der Ebene in einem hyperkomplexen Raum definiert, den wir den allgemeinen Schaefers-Raum nennen, und wird mit Sd bezeichnet. Wir beobachten dann die Gültigkeit der Cauchy-Integralformel für die Funktionen Sd → Sd, die über einer Hyperfläche innerhalb einer Polydisk in Sd berechnet werden, und leiten die entsprechenden fraktionalen Hilbert-Transformationen ab, die die hyperkomplexen konjugierten Komponenten in Beziehung setzen. Schließlich stellt sich heraus, dass die Fourier-Transformation mit Werten im Schaeferschen Raum nur bei nicht negativen Frequenzen unterstützt wird. Dank dieses Artikels haben Sie gelernt, was ein analytisches Signal ist.
