In der Geometrie ist eine gerade Linie nach einem Punkt vielleicht das einfachste Element. Es wird bei der Konstruktion beliebiger komplexer Figuren in der Ebene und im dreidimensionalen Raum verwendet. In diesem Artikel werden wir die allgemeine Gleichung einer geraden Linie betrachten und einige Probleme damit lösen. Fangen wir an!
Gerade in Geometrie
Jeder weiß, dass Formen wie Rechteck, Dreieck, Prisma, Würfel und so weiter durch sich schneidende gerade Linien gebildet werden. Eine Gerade in der Geometrie ist ein eindimensionales Objekt, das man erhält, indem man einen bestimmten Punkt auf einen Vektor mit gleicher oder entgegengesetzter Richtung überträgt. Um diese Definition besser zu verstehen, stellen Sie sich vor, dass es einen Punkt P im Raum gibt. Nimm einen beliebigen Vektor u¯ in diesem Raum. Dann kann jeder Punkt Q der Geraden als Ergebnis der folgenden mathematischen Operationen erh alten werden:
Q=P + λu¯.
Hier ist λ eine beliebige Zahl, die positiv oder negativ sein kann. Wenn Gleichheitoben in Koordinaten schreiben, dann erh alten wir folgende Geradengleichung:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Diese Gleichheit nennt man Geradengleichung in Vektorform. Und der Vektor u¯ heißt Leitlinie.
Allgemeine Geradengleichung in einer Ebene
Jeder Schüler kann es problemlos aufschreiben. Aber meistens wird die Gleichung so geschrieben:
y=kx + b.
Wobei k und b willkürliche Zahlen sind. Die Zahl b heißt das freie Mitglied. Der Parameter k ist gleich dem Tangens des Winkels, der durch den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse gebildet wird.
Die obige Gleichung wird in Bezug auf die Variable y ausgedrückt. Stellt man es allgemeiner dar, so erhält man folgende Notation:
Ax + By + C=0.
Es ist leicht zu zeigen, dass diese Schreibweise der allgemeinen Gleichung einer Geraden auf einer Ebene leicht in die vorherige Form überführt werden kann. Dazu sind linker und rechter Teil durch den Faktor B zu dividieren und y auszudrücken.
Die obige Abbildung zeigt eine Gerade, die durch zwei Punkte verläuft.
Eine Linie im 3D-Raum
Lassen Sie uns unsere Studie fortsetzen. Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, wie die Geradengleichung in allgemeiner Form auf einer Ebene gegeben ist. Wenn wir die im vorigen Absatz des Artikels angegebene Notation für den räumlichen Fall anwenden, was erh alten wir? Alles ist einfach - keine gerade Linie mehr, sondern eine Ebene. Tatsächlich beschreibt der folgende Ausdruck eine Ebene, die parallel zur z-Achse ist:
Ax + By + C=0.
Wenn C=0, dann passiert ein solches Flugzeugdurch die z-Achse. Dies ist eine wichtige Funktion.
Wie verhält es sich dann mit der allgemeinen Gleichung einer Geraden im Raum? Um zu verstehen, wie man es fragt, müssen Sie sich an etwas erinnern. Zwei Ebenen schneiden sich entlang einer bestimmten Geraden. Was bedeutet das? Nur dass die allgemeine Gleichung das Ergebnis der Lösung eines Systems von zwei Gleichungen für Ebenen ist. Schreiben wir dieses System:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Dieses System ist die allgemeine Gleichung einer geraden Linie im Raum. Beachten Sie, dass die Ebenen nicht parallel zueinander sein dürfen, dh ihre Normalenvektoren müssen in einem bestimmten Winkel relativ zueinander geneigt sein. Andernfalls hat das System keine Lösungen.
Oben haben wir die Vektorform der Gleichung für eine gerade Linie angegeben. Es ist bequem zu verwenden, wenn Sie dieses System lösen. Dazu müssen Sie zuerst das Vektorprodukt der Normalen dieser Ebenen finden. Das Ergebnis dieser Operation ist ein Richtungsvektor einer geraden Linie. Dann sollte jeder Punkt, der zu der Linie gehört, berechnet werden. Dazu müssen Sie eine der Variablen auf einen bestimmten Wert setzen, die beiden verbleibenden Variablen können durch Lösen des reduzierten Systems gefunden werden.
Wie übersetzt man eine Vektorgleichung in eine allgemeine? Nuancen
Dies ist ein echtes Problem, das auftreten kann, wenn Sie die allgemeine Gleichung einer geraden Linie unter Verwendung der bekannten Koordinaten zweier Punkte schreiben müssen. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie dieses Problem gelöst wird. Seien die Koordinaten zweier Punkte bekannt:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Gleichung in Vektorform ist ganz einfach zu erstellen. Die Koordinaten des Richtungsvektors lauten:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Beachten Sie, dass es keinen Unterschied gibt, wenn wir die Q-Koordinaten von den Koordinaten des Punktes P subtrahieren, der Vektor ändert nur seine Richtung in die entgegengesetzte Richtung. Jetzt sollten Sie einen beliebigen Punkt nehmen und die Vektorgleichung aufschreiben:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Um die allgemeine Geradengleichung zu schreiben, muss der Parameter λ in beiden Fällen ausgedrückt werden. Und dann die Ergebnisse vergleichen. Wir haben:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Es bleibt nur übrig, die Klammern zu öffnen und alle Terme der Gleichung auf eine Seite der Gleichung zu übertragen, um einen allgemeinen Ausdruck für eine Gerade zu erh alten, die durch zwei bekannte Punkte geht.
Bei einem dreidimensionalen Problem bleibt der Lösungsalgorithmus erh alten, nur sein Ergebnis ist ein System aus zwei Gleichungen für Ebenen.
Aufgabe
Es ist notwendig, eine allgemeine Gleichung aufzustelleneine gerade Linie, die die x-Achse bei (-3, 0) schneidet und parallel zur y-Achse verläuft.
Beginnen wir mit der Lösung des Problems, indem wir die Gleichung in Vektorform schreiben. Da die Linie parallel zur y-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor dafür folgender:
u¯=(0, 1).
Dann wird die gewünschte Zeile wie folgt geschrieben:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Nun übersetzen wir diesen Ausdruck in eine allgemeine Form, dafür drücken wir den Parameter λ aus:
- x=-3;
- y=λ.
Daher gehört zu der Zeile jeder beliebige Wert der Variablen y, ihm aber nur der einzelne Wert der Variablen x. Daher nimmt die allgemeine Gleichung die Form an:
x + 3=0.
Problem mit einer geraden Linie im Raum
Es ist bekannt, dass zwei sich schneidende Ebenen durch die folgenden Gleichungen gegeben sind:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Es ist notwendig, die Vektorgleichung der geraden Linie zu finden, entlang der sich diese Ebenen schneiden. Fangen wir an.
Wie gesagt, die allgemeine Geradengleichung im dreidimensionalen Raum ist bereits in Form eines Zweiersystems mit drei Unbekannten gegeben. Zunächst bestimmen wir den Richtungsvektor, entlang dem sich die Ebenen schneiden. Durch Multiplikation der Vektorkoordinaten der Normalen zu den Ebenen erh alten wir:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Da die Multiplikation eines Vektors mit einer negativen Zahl seine Richtung umkehrt, können wir schreiben:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
AnUm einen Vektorausdruck für eine Gerade zu finden, sollte man zusätzlich zum Richtungsvektor einen Punkt dieser Geraden kennen. Find Da seine Koordinaten das Gleichungssystem in der Bedingung des Problems erfüllen müssen, werden wir sie finden. Setzen wir zum Beispiel x=0, dann erh alten wir:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Der zur gesuchten Geraden gehörende Punkt hat also die Koordinaten:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Dann erh alten wir die Antwort auf dieses Problem, die Vektorgleichung der gewünschten Linie sieht folgendermaßen aus:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Die Richtigkeit der Lösung lässt sich leicht überprüfen. Dazu müssen Sie einen beliebigen Wert des Parameters λ wählen und die erh altenen Koordinaten des Punktes der geraden Linie in beide Gleichungen für die Ebenen einsetzen, Sie erh alten in beiden Fällen eine Identität.
