Wenn Sie den Abstand eines Punktes zu einer Ebene oder zu einer Geraden kennen, können Sie das Volumen und die Oberfläche von Figuren im Raum berechnen. Die Berechnung dieser Distanz in der Geometrie erfolgt mit den entsprechenden Gleichungen für die angegebenen geometrischen Objekte. Im Artikel zeigen wir, mit welchen Formeln man sie bestimmen kann.
Geraden- und Ebenengleichungen
Bevor wir Formeln zur Bestimmung der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene und zu einer Linie angeben, wollen wir zeigen, welche Gleichungen diese Objekte beschreiben.
Um einen Punkt zu definieren, wird ein Satz von Koordinaten im gegebenen System von Koordinatenachsen verwendet. Hier betrachten wir nur das kartesische Rechtecksystem, bei dem die Achsen gleiche Einheitsvektoren haben und senkrecht zueinander stehen. In einer Ebene wird ein beliebiger Punkt durch zwei Koordinaten beschrieben, im Raum durch drei.
Verschiedene Arten von Gleichungen werden verwendet, um eine gerade Linie zu definieren. In Übereinstimmung mit dem Thema des Artikels präsentieren wirnur zwei davon, die im zweidimensionalen Raum zur Definition von Linien verwendet werden.
Vektorgleichung. Es hat die folgende Notation:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Der erste Term repräsentiert hier die Koordinaten eines bekannten Punktes, der auf der Linie liegt. Der zweite Term sind die Koordinaten des Richtungsvektors multipliziert mit einer beliebigen Zahl λ.
Allgemeine Gleichung. Seine Notation ist wie folgt:
Ax + By + C=0;
wobei A, B, C Koeffizienten sind.
Die allgemeine Gleichung wird häufiger verwendet, um Linien auf einer Ebene zu bestimmen, aber um den Abstand von einem Punkt zu einer Linie auf einer Ebene zu ermitteln, ist es bequemer, mit einem Vektorausdruck zu arbeiten.
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann auch auf mehrere mathematische Arten geschrieben werden. Trotzdem gibt es bei Problemen meistens eine allgemeine Gleichung, die wie folgt geschrieben wird:
Ax + By + Cz + D=0.
Der Vorteil dieser Notation gegenüber den anderen ist, dass sie explizit die Koordinaten eines Vektors senkrecht zur Ebene enthält. Dieser Vektor wird als Leitfaden dafür bezeichnet, er fällt mit der Richtung der Normalen zusammen und seine Koordinaten sind gleich (A; B; C).
Beachten Sie, dass der obige Ausdruck mit der Form übereinstimmt, eine allgemeine Gleichung für eine gerade Linie im zweidimensionalen Raum zu schreiben, also sollten Sie beim Lösen von Problemen darauf achten, diese geometrischen Objekte nicht zu verwechseln.
Abstand zwischen Punkt und Linie
Lassen Sie uns zeigen, wie man den Abstand zwischen einer geraden Linie und berechnetPunkt im zweidimensionalen Raum.
Es gebe einen Punkt Q(x1; y1) und eine Linie gegeben durch:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Unter dem Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt versteht man die Länge einer Strecke senkrecht zu dieser Geraden, die vom Punkt Q auf sie herabgelassen wird.
Bevor Sie diese Distanz berechnen, sollten Sie die Q-Koordinaten in diese Gleichung einsetzen. Wenn sie es erfüllen, dann gehört Q zu der gegebenen Linie, und der entsprechende Abstand ist gleich Null. Wenn die Koordinaten des Punktes nicht zur Gleichheit führen, ist der Abstand zwischen geometrischen Objekten ungleich Null. Es kann mit der Formel berechnet werden:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Hier ist P ein beliebiger Punkt der Geraden, der der Anfang des Vektors PQ¯ ist. Der Vektor u¯ ist eine Führungsstrecke für eine Gerade, d. h. seine Koordinaten sind (a; b).
Die Verwendung dieser Formel erfordert die Fähigkeit, das Kreuzprodukt im Zähler zu berechnen.
Problem mit einem Punkt und einer Geraden
Nehmen wir an, Sie müssen den Abstand zwischen Q(-3; 1) und einer geraden Linie finden, die die folgende Gleichung erfüllt:
y=5x -2.
Indem wir die Koordinaten von Q in den Ausdruck einsetzen, können wir sicherstellen, dass Q nicht auf der Geraden liegt. Sie können die im obigen Absatz angegebene Formel für d anwenden, wenn Sie diese Gleichung in Vektorform darstellen. Machen wir es so:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Nehmen wir nun einen beliebigen Punkt auf dieser Linie, zum Beispiel (0; -2), und bauen einen Vektor, der dort beginnt und bei Q endet:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Nun wende die Formel an, um die Entfernung zu bestimmen, wir erh alten:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Abstand von Punkt zu Ebene
Wie bei einer Geraden versteht man unter dem Abstand einer Ebene von einem Punkt im Raum die Länge der Strecke, die von einem gegebenen Punkt aus senkrecht auf die Ebene abgesenkt ist und diese schneidet.
Im Weltraum ist ein Punkt durch drei Koordinaten gegeben. Wenn sie gleich (x1; y1; z1) sind, dann ist der Abstand zwischen den Ebene und dieser Punkt kann mit der Formel berechnet werden:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Beachte, dass du mit der Formel nur den Abstand von der Ebene zur Linie ermitteln kannst. Um die Koordinaten des Punktes zu finden, an dem ein senkrechtes Segment eine Ebene schneidet, ist es notwendig, eine Gleichung für die Linie zu schreiben, zu der dieses Segment gehört, und dann einen gemeinsamen Punkt für diese Linie und eine gegebene Ebene zu finden.
Problem mit einem Flugzeug und einem Punkt
Bestimme die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene, wenn bekannt ist, dass der Punkt Koordinaten (3; -1; 2) hat und die Ebene gegeben ist durch:
-y + 3z=0.
Um die entsprechende Formel zu verwenden, schreiben wir zunächst die Koeffizienten für ausFlugzeug gegeben. Da die Variable x und der freie Term fehlen, sind die Koeffizienten A und D gleich Null. Wir haben:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Man kann leicht zeigen, dass diese Ebene durch den Ursprung geht und die x-Achse dazu gehört.
Setze die Koordinaten des Punktes und die Koeffizienten der Ebene in die Formel für den Abstand d ein, wir erh alten:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Beachten Sie, dass sich der Abstand d nicht ändert, wenn Sie die x-Koordinate eines Punktes ändern. Diese Tatsache bedeutet, dass die Menge der Punkte (x; -1; 2) eine gerade Linie parallel zur gegebenen Ebene bildet.
