Methoden zum Aufstellen der Geradengleichungen in der Ebene und im dreidimensionalen Raum

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Die gerade Linie ist das wichtigste geometrische Objekt in der Ebene und im dreidimensionalen Raum. Aus geraden Linien werden viele Figuren gebaut, zum Beispiel: ein Parallelogramm, ein Dreieck, ein Prisma, eine Pyramide und so weiter. Betrachten Sie in dem Artikel verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen von Linien aufzustellen.

Definition einer Geraden und Arten von Gleichungen zu ihrer Beschreibung

Jeder Schüler hat eine gute Vorstellung davon, über welches geometrische Objekt er spricht. Eine gerade Linie kann als eine Ansammlung von Punkten dargestellt werden, und wenn wir jeden von ihnen der Reihe nach mit allen anderen verbinden, erh alten wir eine Menge paralleler Vektoren. Mit anderen Worten, es ist möglich, jeden Punkt der Linie von einem ihrer festen Punkte aus zu erreichen, indem man ihn auf einen Einheitsvektor multipliziert mit einer reellen Zahl überträgt. Diese Definition einer Geraden dient dazu, eine Vektorgleichheit zu ihrer mathematischen Beschreibung sowohl in der Ebene als auch im dreidimensionalen Raum zu definieren.

Eine gerade Linie kann mathematisch durch die folgenden Arten von Gleichungen dargestellt werden:

allgemein;
Vektor;
parametrisch;
in Segmenten;
symmetrisch (kanonisch).

Als nächstes betrachten wir alle genannten Typen und zeigen anhand von Beispielen zur Problemlösung, wie man mit ihnen arbeitet.

Vektor- und parametrische Beschreibung einer Geraden

Beginnen wir mit der Definition einer Geraden durch einen bekannten Vektor. Angenommen, es gibt einen Fixpunkt im Raum M(x₀; y₀; z_{0). Es ist bekannt, dass die Gerade durch sie hindurchgeht und entlang der Vektorstrecke v¯(a; b; c) gerichtet ist. Wie findet man aus diesen Daten einen beliebigen Punkt der Geraden? Die Antwort auf diese Frage ergibt die folgende Gleichheit:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Wobei λ eine beliebige Zahl ist.

Ein ähnlicher Ausdruck kann für den zweidimensionalen Fall geschrieben werden, wo die Koordinaten von Vektoren und Punkten durch eine Menge von zwei Zahlen dargestellt werden:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Die geschriebenen Gleichungen heißen Vektorgleichungen, und die gerichtete Strecke v¯ selbst ist der Richtungsvektor der Geraden.

Aus den geschriebenen Ausdrücken erhält man einfach die entsprechenden parametrischen Gleichungen, es genügt, sie explizit umzuschreiben. Für den räumlichen Fall erh alten wir beispielsweise die folgende Gleichung:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Es ist praktisch, mit parametrischen Gleichungen zu arbeiten, wenn Sie das Verh alten analysieren müssenjede Koordinate. Beachten Sie, dass der Parameter λ zwar beliebige Werte annehmen kann, aber in allen drei Gleichungen gleich sein muss.

Allgemeine Gleichung

Eine andere Möglichkeit, eine gerade Linie zu definieren, die oft verwendet wird, um mit dem betrachteten geometrischen Objekt zu arbeiten, ist die Verwendung einer allgemeinen Gleichung. Für den zweidimensionalen Fall sieht es so aus:

Ax + By + C=0

Hier stehen lateinische Großbuchstaben für bestimmte Zahlenwerte. Die Bequemlichkeit dieser Gleichheit beim Lösen von Problemen liegt darin, dass sie explizit einen Vektor enthält, der senkrecht zu einer geraden Linie steht. Wenn wir es mit n¯ bezeichnen, dann können wir schreiben:

n¯=[A; B]

Außerdem ist der Ausdruck bequem zu verwenden, um die Entfernung von einer geraden Linie zu einem Punkt P(x₁; y_{1 zu bestimmen). Die Formel für den Abstand d lautet:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Es ist leicht zu zeigen, dass wir, wenn wir die Variable y explizit aus der allgemeinen Gleichung ausdrücken, die folgende bekannte Schreibweise einer Geraden erh alten:

y=kx + b

wobei k und b durch die Zahlen A, B, C eindeutig bestimmt sind.

Die Gleichung in Segmenten und kanonisch

Schnittpunkt der Koordinatenachsen einer Geraden

Die Gleichung in Segmenten ist am einfachsten aus der Gesamtansicht zu bekommen. Wir zeigen Ihnen, wie es geht.

Angenommen, wir haben die folgende Zeile:

Ax + By + C=0

Bewege den freien Term auf die rechte Seite der Gleichheit, dann dividiere die ganze Gleichung durch ihn, wir erh alten:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, wobei q=-C / A, p=-C / B

Wir haben die sogenannte Segmentgleichung. Es hat seinen Namen aufgrund der Tatsache, dass der Nenner, durch den jede Variable geteilt wird, den Wert der Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der entsprechenden Achse anzeigt. Es ist praktisch, diese Tatsache zu verwenden, um eine gerade Linie in einem Koordinatensystem darzustellen und ihre relative Position in Bezug auf andere geometrische Objekte (Geraden, Punkte) zu analysieren.

Lassen Sie uns nun zur Ermittlung der kanonischen Gleichung übergehen. Dies ist einfacher, wenn wir die parametrische Option in Betracht ziehen. Für den Fall im Flugzeug haben wir:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Wir drücken den Parameter λ in jeder Gleichheit aus, dann setzen wir sie gleich, wir erh alten:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Dies ist die gewünschte Gleichung in symmetrischer Form. Genau wie ein Vektorausdruck enthält er explizit die Koordinaten des Richtungsvektors und die Koordinaten eines der Punkte, die zur Linie gehören.

Wie man sieht, haben wir in diesem Absatz Gleichungen für den zweidimensionalen Fall angegeben. Ebenso kannst du die Gleichung einer geraden Linie im Raum schreiben. Hierbei ist zu beachten, dass bei der kanonischen FormAufzeichnungen und Ausdrücke in Segmenten dieselbe Form haben, dann wird die allgemeine Raumgleichung für eine gerade Linie durch ein System von zwei Gleichungen für sich schneidende Ebenen dargestellt.

Das Problem der Konstruktion der Geradengleichung

Aus der Geometrie weiß jeder Schüler, dass man durch zwei Punkte eine einzige Linie ziehen kann. Angenommen, in der Koordinatenebene seien folgende Punkte gegeben:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Es ist notwendig, die Gleichung der Linie zu finden, zu der beide Punkte gehören, in Segmenten, in Vektorform, in kanonischer und allgemeiner Form.

Bekommen wir zuerst die Vektorgleichung. Definieren Sie dazu für den direkten Richtungsvektor M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Jetzt können Sie eine Vektorgleichung erstellen, indem Sie einen der beiden in der Aufgabenstellung angegebenen Punkte nehmen, zum Beispiel M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Um die kanonische Gleichung zu erh alten, genügt es, die gefundene Gleichheit in eine parametrische Form zu transformieren und den Parameter λ auszuschließen. Wir haben:

x=-1 - 2λ, also λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, dann erh alten wir λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Die verbleibenden zwei Gleichungen (allgemein und in Segmenten) können aus der kanonischen gefunden werden, indem sie wie folgt transformiert wird:

x + 1=-2y + 6;

allgemeine Gleichung: x + 2y - 5=0;

in Segmentgleichung: x / 5 + y / 2, 5=1

Die resultierenden Gleichungen zeigen, dass der Vektor (1; 2) senkrecht auf der Linie stehen muss. Wenn Sie sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor finden, ist es tatsächlich gleich Null. Die Liniensegmentgleichung besagt, dass die Linie die x-Achse bei (5; 0) und die y-Achse bei (2, 5; 0) schneidet.

Das Problem der Schnittpunktbestimmung von Geraden

Zwei Geraden sind in der Ebene durch die folgenden Gleichungen gegeben:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu bestimmen, an dem sich diese Linien schneiden.

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Problem zu lösen:

Transformiere die Vektorgleichung in eine allgemeine Form und löse dann das System aus zwei linearen Gleichungen.
Führe keine Transformationen durch, sondern setze einfach die Koordinate des Schnittpunktes, ausgedrückt durch den Parameter λ, in die erste Gleichung ein. Suchen Sie dann den Parameterwert.

Lass uns den zweiten Weg machen. Wir haben: