Das Thema arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel ist Teil des Mathematikprogramms für die Klassen 6-7. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell bestanden und am Ende des Schuljahres vergessen die Schüler ihn. Für das Bestehen der Prüfung sowie für internationale SAT-Prüfungen sind jedoch Kenntnisse in grundlegender Statistik erforderlich. Und für den Alltag schadet entwickeltes analytisches Denken nie.
Wie berechnet man das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel von Zahlen
Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen dividiert durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, bei den Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie erhält man 6?
Lösung: (11 + 4 + 3) / 3=6
Der Nenner muss eine Zahl enth alten, die gleich der Anzahl der Zahlen ist, deren Mittelwert gebildet werden soll. Die Summe ist durch 3 teilbar, da es drei Terme gibt.
Jetzt müssen wir uns mit dem geometrischen Mittel befassen. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.
Geometrisches Mittel ist das Produkt aller gegebenen Zahlen, das unter der Wurzel mit einem Grad gleich der Anzahl der gegebenen Zahlen steht, dh im Fall der Zahlen 4, 2 und 8 ist die Antwort 4. So ist es passiert:
Lösung: ∛(4 × 2 × 8)=4
In beiden Fällen wurden ganze Antworten erh alten, da spezielle Zahlen als Beispiel genommen wurden. Dies ist nicht immer der Fall. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder an der Wurzel belassen werden. Beispielsweise ist für die Zahlen 11, 7 und 20 das arithmetische Mittel ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ∛1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten jeweils 5, 5 und √30.
Kann es vorkommen, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?
Natürlich kann es das. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Reihe von Zahlen gibt, die nur aus Einsen oder Nullen bestehen. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Nummer abhängt.
Beweis mit Einheiten: (1 + 1 + 1) / 3=3 / 3=1 (arithmetisches Mittel).
∛(1 × 1 × 1)=∛1=1(geometrisches Mittel).
1=1
Beweis mit Nullstellen: (0 + 0) / 2=0 (arithmetisches Mittel).
√(0 × 0)=0 (geometrisches Mittel).
0=0
Es gibt keine andere Möglichkeit und es kann keine geben.
