Die Beine und die Hypotenuse sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die ersten sind Segmente, die an den rechten Winkel angrenzen, und die Hypotenuse ist der längste Teil der Figur und liegt dem Winkel bei 90o gegenüber. Ein pythagoräisches Dreieck ist eines, dessen Seiten gleich natürlichen Zahlen sind; ihre Längen werden in diesem Fall als "pythagoräisches Tripel" bezeichnet.
Ägyptisches Dreieck
Damit die heutige Generation Geometrie in der Form lernen kann, wie sie heute in der Schule gelehrt wird, hat sie sich über mehrere Jahrhunderte entwickelt. Der grundlegende Punkt ist der Satz des Pythagoras. Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (die Figur ist auf der ganzen Welt bekannt) sind 3, 4, 5.
Nur wenige Menschen kennen den Satz „Pythagoräische Hosen sind in allen Richtungen gleich.“Tatsächlich klingt der Satz aber so: c2 (das Quadrat der Hypotenuse)=a2+b2(die Summe der Quadratbeine).
Unter Mathematikern wird ein Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 (cm, m usw.) als "ägyptisch" bezeichnet. Interessant ist, dass der Radius des Kreises, der in die Figur eingeschrieben ist, gleich eins ist. Der Name entstand um das 5. Jahrhundert v. Chr., als griechische Philosophen nach Ägypten reisten.
Beim Bau der Pyramiden verwendeten Architekten und Vermessungsingenieure ein Verhältnis von 3:4:5. Solche Strukturen erwiesen sich als proportional, angenehm für das Auge und geräumig und brachen auch selten zusammen.
Um einen rechten Winkel zu bauen, benutzten die Baumeister ein Seil, an dem 12 Knoten befestigt waren. In diesem Fall stieg die Wahrscheinlichkeit, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, auf 95 %.
Gleichheitszeichen
- Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck und eine große Seite, die den gleichen Elementen im zweiten Dreieck entsprechen, ist ein unbestreitbares Zeichen für die Gleichheit der Zahlen. Unter Berücksichtigung der Winkelsumme lässt sich leicht nachweisen, dass auch die zweiten spitzen Winkel gleich sind. Somit sind die Dreiecke im zweiten Merkmal identisch.
- Wenn zwei Figuren übereinander liegen, drehe sie so, dass sie zusammen ein gleichschenkliges Dreieck ergeben. Gemäß ihrer Eigenschaft sind die Seiten oder besser gesagt die Hypotenusen gleich, ebenso wie die Winkel an der Basis, was bedeutet, dass diese Figuren gleich sind.
Durch das erste Zeichen ist es sehr einfach zu beweisen, dass die Dreiecke wirklich gleich sind, Hauptsache, die beiden kleineren Seiten (also Schenkel) sind einander gleich.
Dreiecke sind in II gleich, deren Essenz die Gleichheit des Schenkels und des spitzen Winkels ist.
Eigenschaften eines Dreiecks mit rechtem Winkel
Die im rechten Winkel abgesenkte Höhe teilt die Figur in zwei gleiche Teile.
Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und seine Seitenhalbierende sind leicht an der Regel zu erkennen: Die zur Hypotenuse abgesenkte Seitenhalbierende ist gleich der Hälfte davon. Die Fläche einer Figur lässt sich sowohl durch die Heron-Formel als auch durch die Aussage finden, dass sie gleich dem halben Produkt der Beine ist.
In einem rechtwinkligen Dreieck die Eigenschaften der Winkel bei 30o, 45o und 60o.
- Beachten Sie bei einem Winkel von 30o, dass das gegenüberliegende Bein 1/2 der größten Seite entspricht.
- Wenn der Winkel 45o ist, dann ist der zweite spitze Winkel auch 45o. Dies deutet darauf hin, dass das Dreieck gleichschenklig ist und seine Beine gleich sind.
- Die Eigenschaft eines Winkels von 60o ist, dass der dritte Winkel ein Gradmaß von 30o.
hat
Die Fläche lässt sich leicht mit einer von drei Formeln ermitteln:
- durch die Höhe und die Seite, auf die es fällt;
- nach der Formel von Heron;
- an den Seiten und dem Winkel zwischen ihnen.
Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bzw. die Schenkel laufen in zwei Höhen zusammen. Um das dritte zu finden, muss das resultierende Dreieck betrachtet und dann mit dem Satz des Pythagoras die erforderliche Länge berechnet werden. Neben dieser Formel gibt es noch das Verhältnis der doppelten Fläche und der Länge der Hypotenuse. Der häufigste Ausdruck unter Schülern ist der erste, da er weniger Berechnungen erfordert.
Sätze auf ein Rechteck angewendetDreieck
Die Geometrie eines rechtwinkligen Dreiecks beinh altet die Verwendung von Sätzen wie:
- Der Satz des Pythagoras. Seine Essenz liegt in der Tatsache, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine ist. In der euklidischen Geometrie ist diese Beziehung der Schlüssel. Sie können die Formel verwenden, wenn ein Dreieck angegeben ist, z. B. SNH. SN ist die Hypotenuse und muss gefunden werden. Dann SN2=NH2+HS2.
- Kosinussatz. Verallgemeinert den Satz des Pythagoras: g2=f2+s2-2fscos des Winkels zwischen ihnen. Zum Beispiel bei einem Dreieck DOB. Das Bein DB und die Hypotenuse DO sind bekannt, es ist notwendig, OB zu finden. Dann hat die Formel folgende Form: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos Winkel D. Es gibt drei Konsequenzen: Der Winkel des Dreiecks wird spitz, wenn das Quadrat der Länge des dritten von der Summe der Quadrate der beiden Seiten subtrahiert wird, muss das Ergebnis kleiner als Null sein. Der Winkel ist stumpf, wenn dieser Ausdruck größer als Null ist. Winkel ist ein rechter Winkel, wenn er gleich Null ist.
- Sinussatz. Es zeigt die Beziehung von Seiten zu gegenüberliegenden Winkeln. Mit anderen Worten, dies ist das Verhältnis der Seitenlängen zu den Sinus der gegenüberliegenden Winkel. Im Dreieck HFB, wo die Hypotenuse HF ist, gilt: HF/sin des Winkels B=FB/sin des Winkels H=HB/sin des Winkels F.
