Arithmetische Quadratwurzel und ihre Eigenschaften

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Wir haben alle im Algebra-Unterricht in der Schule Quadratwurzeln gelernt. Es kommt vor, dass, wenn Wissen nicht aufgefrischt wird, es schnell vergessen wird, ebenso wie die Wurzeln. Dieser Artikel ist hilfreich für Achtklässler, die ihr Wissen in diesem Bereich auffrischen möchten, und für andere Schulkinder, da wir mit Wurzeln in den Klassen 9, 10 und 11 arbeiten.

Stamm- und Gradgeschichte

Schon in der Antike und insbesondere im alten Ägypten brauchten die Menschen Abschlüsse, um Operationen mit Zahlen durchzuführen. Als es ein solches Konzept noch nicht gab, schrieben die Ägypter das Produkt derselben Zahl zwanzigmal auf. Aber bald wurde eine Lösung für das Problem erfunden - die Anzahl der Male, die die Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, wurde in der oberen rechten Ecke darüber geschrieben, und diese Form der Aufzeichnung hat sich bis heute erh alten.

Und die Geschichte der Quadratwurzel begann vor etwa 500 Jahren. Es wurde auf unterschiedliche Weise bezeichnet, und erst im 17. Jahrhundert führte Rene Descartes ein solches Zeichen ein, das wir bis heute verwenden.

Was ist eine Quadratwurzel

Beginnen wir damit, zu erklären, was eine Quadratwurzel ist. Die Quadratwurzel einer Zahl c ist eine nicht negative Zahl, die, wenn sie quadriert wird, gleich c ist. In diesem Fall ist c größer oder gleich Null.

Um eine Zahl unter die Wurzel zu bringen, quadrieren wir sie und setzen das Wurzelzeichen darüber:

32=9, 3=√9

Außerdem können wir den Wert der Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht erh alten, da jede Zahl in einem Quadrat positiv ist, das heißt:

c² ≧ 0, wenn √c eine negative Zahl ist, dann c^{2 < 0 - entgegen der Regel.}

Um schnell Quadratwurzeln zu berechnen, müssen Sie die Tabelle der Quadrate von Zahlen kennen.

Eigenschaften

Betrachten wir die algebraischen Eigenschaften der Quadratwurzel.

1) Um die Quadratwurzel des Produkts zu ziehen, musst du die Wurzel aus jedem Faktor ziehen. Das heißt, es kann als Produkt der Wurzeln von Faktoren geschrieben werden:

√ac=√a × √c, zum Beispiel:

√36=√4 × √9

2) Beim Wurzelziehen aus einem Bruch muss die Wurzel getrennt von Zähler und Nenner gezogen werden, also als Quotient ihrer Wurzeln geschrieben werden.

3) Der durch Wurzelziehen einer Zahl erh altene Wert ist immer gleich dem Modul dieser Zahl, da der Modul nur positiv sein kann:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Um eine Wurzel zu irgendeiner Macht zu erheben, erheben wir sieWurzelausdruck:

(√с)⁴=√с^{4, zum Beispiel:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Das Quadrat der arithmetischen Wurzel von c ist gleich dieser Zahl selbst:

(√s)2=s.

Wurzeln irrationaler Zahlen

Nehmen wir an, die Wurzel aus sechzehn ist einfach, aber wie zieht man die Wurzel aus Zahlen wie 7, 10, 11?

Eine Zahl, deren Wurzel ein unendlicher nichtperiodischer Bruch ist, heißt irrational. Wir können die Wurzel daraus nicht selbst ziehen. Wir können es nur mit anderen Zahlen vergleichen. Nimm zum Beispiel die Wurzel aus 5 und vergleiche sie mit √4 und √9. Es ist klar, dass √4 < √5 < √9, dann 2 < √5 < 3. Das bedeutet, dass der Wert der Wurzel aus fünf irgendwo zwischen zwei und drei liegt, aber es gibt viele Dezimalbrüche zwischen ihnen und jedes zu pflücken ist ein zweifelhafter Weg, die Wurzel zu finden.

Du kannst diese Operation auf einem Taschenrechner durchführen - das ist der einfachste und schnellste Weg, aber in der 8. Klasse wirst du niemals irrationale Zahlen aus der arithmetischen Quadratwurzel ziehen müssen. Sie müssen sich nur die ungefähren Werte der Wurzel aus zwei und der Wurzel aus drei merken:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Beispiele

Nun werden wir basierend auf den Eigenschaften der Quadratwurzel mehrere Beispiele lösen:

1) √17² - 8²

Merk dir die Formel für die Differenz von Quadraten:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Wir kennen die Eigenschaft der quadratischen arithmetischen Wurzel - um die Wurzel aus dem Produkt zu ziehen, müssen Sie sie aus jedem Faktor ziehen:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Wende eine andere Eigenschaft der Wurzel an - das Quadrat der arithmetischen Wurzel einer Zahl ist gleich dieser Zahl selbst:

2 × 3 + 6=12

Wichtig! Zu Beginn der Arbeit und Lösung von Beispielen mit arithmetischen Quadratwurzeln machen Schüler oft den folgenden Fehler:

√12 + 3=√12 + √3 - das geht nicht!

Wir können nicht jedem Begriff die Wurzel ziehen. Es gibt keine solche Regel, aber sie wird mit dem Ziehen der Wurzel aus jedem Faktor verwechselt. Wenn wir diesen Eintrag hätten:

√12 × 3, dann wäre es fair zu schreiben √12 × 3=√12 × √3.

Daher können wir nur schreiben:

√12 + 3=√15