Einige mathematische Probleme erfordern die Fähigkeit, die Quadratwurzel zu berechnen. Zu diesen Problemen gehört das Lösen von Gleichungen zweiter Ordnung. In diesem Artikel stellen wir eine effektive Methode zum Berechnen von Quadratwurzeln vor und verwenden sie beim Arbeiten mit Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung.
Was ist eine Quadratwurzel?
In der Mathematik entspricht dieser Begriff dem Symbol √. Historische Daten besagen, dass es erstmals um die erste Hälfte des 16. Jahrhunderts in Deutschland verwendet wurde (das erste deutsche Werk über Algebra von Christoph Rudolf). Wissenschaftler glauben, dass dieses Symbol ein umgewandelter lateinischer Buchstabe r ist (Radix bedeutet auf Lateinisch „Wurzel“).
Die Wurzel einer beliebigen Zahl ist gleich einem solchen Wert, dessen Quadrat dem Wurzelausdruck entspricht. In der Sprache der Mathematik sieht diese Definition so aus: √x=y wenn y2=x.
Die Wurzel einer positiven Zahl (x > 0) ist aucheine positive Zahl (y > 0), aber wenn die Wurzel aus einer negativen Zahl (x < 0) gezogen wird, dann ist ihr Ergebnis bereits eine komplexe Zahl, einschließlich der imaginären Einheit i.
Hier sind zwei einfache Beispiele:
√9=3 weil 32 =9; √(-9)=3i weil i2=-1.
Iterative Formel von Heron zum Finden von Quadratwurzeln
Die obigen Beispiele sind sehr einfach, und die Berechnung der Wurzeln darin ist nicht schwierig. Schwierigkeiten treten bereits auf, wenn die Wurzelwerte für jeden Wert gefunden werden, der nicht als Quadrat einer natürlichen Zahl dargestellt werden kann, zum Beispiel √10, √11, √12, √13, ganz zu schweigen von der Tatsache, dass es in der Praxis so ist ist notwendig, um Wurzeln für nicht ganzzahlige Zahlen zu finden: zum Beispiel √(12, 15), √(8, 5) und so weiter.
In allen oben genannten Fällen sollte eine spezielle Methode zur Berechnung der Quadratwurzel verwendet werden. Gegenwärtig sind mehrere solcher Verfahren bekannt: zum Beispiel Entwicklung in einer Taylor-Reihe, Division durch eine Sp alte und einige andere. Von allen bekannten Methoden ist vielleicht die einfachste und effektivste die Verwendung von Herons iterativer Formel, die auch als babylonische Methode zur Bestimmung von Quadratwurzeln bekannt ist (es gibt Hinweise darauf, dass die alten Babylonier sie in ihren praktischen Berechnungen verwendeten).
Es sei notwendig, den Wert von √x zu bestimmen. Die Formel zum Berechnen der Quadratwurzel lautet wie folgt:
an+1=1/2(a+x/a), wobei limn->∞(a)=> x.
Entschlüsseln Sie diese mathematische Schreibweise. Um √x zu berechnen, solltest du eine Zahl a0 nehmen (sie kann willkürlich sein, aber für ein schnelles Ergebnis solltest du sie so wählen, dass (a0) 2 war so nah wie möglich an x, dann setze es in die angegebene Quadratwurzelformel ein und erh alte eine neue Zahl a1, was schon näher am gewünschten Wert sein, es ist notwendig, a1 in den Ausdruck einzusetzen und ein2 zu erh alten Dieser Vorgang sollte wiederholt werden, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.
Ein Beispiel für die Anwendung der iterativen Formel von Heron
Der oben beschriebene Algorithmus zum Ziehen der Quadratwurzel einer bestimmten Zahl mag für viele ziemlich kompliziert und verwirrend klingen, aber in Wirklichkeit stellt sich alles als viel einfacher heraus, da diese Formel sehr schnell konvergiert (besonders wenn eine Glückszahl gewählt wird a0).
Nehmen wir ein einfaches Beispiel: Wir müssen √11 berechnen. Wir wählen a0=3, da 32=9, was näher an 11 liegt als 42=16. Durch Einsetzen in die Formel erh alten wir:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Weiter zu rechnen macht keinen Sinn, denn wir haben herausgefunden, dass sich a2 und a3 erst ab der 5. Dezimalstelle zu unterscheiden beginnen Ort. Somit reichte es aus, nur das 2-fache der Formel aufzutragenberechne √11 auf 0,0001 genau.
Rechner und Computer werden derzeit häufig zum Berechnen von Wurzeln verwendet, es ist jedoch hilfreich, sich die markierte Formel zu merken, um ihren genauen Wert manuell berechnen zu können.
Gleichungen zweiter Ordnung
Zu verstehen, was eine Quadratwurzel ist, und die Fähigkeit, sie zu berechnen, wird beim Lösen quadratischer Gleichungen benötigt. Diese Gleichungen sind Gleichungen mit einer Unbekannten, deren allgemeine Form in der folgenden Abbildung dargestellt ist.
Hier sind c, b und a einige Zahlen, und a darf nicht gleich Null sein, und die Werte von c und b können völlig beliebig sein, einschließlich Null.
Alle Werte von x, die die in der Abbildung angegebene Gleichheit erfüllen, werden Wurzeln genannt (dieses Konzept sollte nicht mit der Quadratwurzel √ verwechselt werden). Da die betrachtete Gleichung die 2. Ordnung hat (x2), kann es nicht mehr als zwei Zahlen für ihre Wurzeln geben. Schauen wir uns später in diesem Artikel an, wie man diese Wurzeln findet.
Nutzen einer quadratischen Gleichung (Formel)
Diese Methode zur Lösung der betrachteten Art von Gleichungen wird auch universell oder die Methode durch die Diskriminante genannt. Es kann auf beliebige quadratische Gleichungen angewendet werden. Die Formel für die Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung lautet wie folgt:
Es zeigt, dass die Wurzeln vom Wert jedes der drei Koeffizienten der Gleichung abhängen. Außerdem die Berechnungx1 unterscheidet sich von der Berechnung x2 nur durch das Vorzeichen vor der Quadratwurzel. Der Wurzelausdruck, der gleich b2 - 4ac ist, ist nichts anderes als die Diskriminante der betrachteten Gleichheit. Die Diskriminante in der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung spielt eine wichtige Rolle, weil sie die Anzahl und Art der Lösungen bestimmt. Also, wenn es Null ist, dann gibt es nur eine Lösung, wenn es positiv ist, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, schließlich führt die negative Diskriminante zu zwei komplexen Wurzeln x1 und x 2.
Satz von Vieta oder einige Eigenschaften der Wurzeln von Gleichungen zweiter Ordnung
Am Ende des 16. Jahrhunderts gelang es einem der Begründer der modernen Algebra, dem Franzosen Francois Viet, die Gleichungen zweiter Ordnung zu studieren und die Eigenschaften ihrer Wurzeln zu ermitteln. Mathematisch können sie so geschrieben werden:
x1 + x2=-b / a und x1 x 2=c / a.
Beide Gleichungen sind für jedermann leicht zu ermitteln, dazu müssen lediglich die entsprechenden mathematischen Operationen mit den durch die Formel mit der Diskriminante erh altenen Wurzeln durchgeführt werden.
Die Kombination dieser beiden Ausdrücke kann zu Recht als zweite Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bezeichnet werden, die es ermöglicht, ihre Lösungen ohne Verwendung der Diskriminante zu erraten. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass, obwohl beide Ausdrücke immer gültig sind, sie zum Lösen einer Gleichung nur dann zweckmäßig sind, wenn sie faktorisiert werden kann.
Die Aufgabe, das erworbene Wissen zu festigen
Lassen Sie uns ein mathematisches Problem lösen, bei dem wir alle im Artikel besprochenen Techniken demonstrieren werden. Die Bedingungen des Problems sind wie folgt: Sie müssen zwei Zahlen finden, deren Produkt -13 ist und deren Summe 4 ist.
Diese Bedingung erinnert sofort an den Satz von Vieta, indem wir die Formeln für die Summe der Quadratwurzeln und ihr Produkt anwenden, schreiben wir:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Angenommen a=1, dann b=-4 und c=-13. Diese Koeffizienten erlauben es uns, eine Gleichung zweiter Ordnung zu schreiben:
x2 - 4x - 13=0.
Benutze die Formel mit der Diskriminante, wir erh alten folgende Wurzeln:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Das heißt, die Aufgabe wurde darauf reduziert, die Zahl √68 zu finden. Beachten Sie, dass 68=417, dann erh alten wir unter Verwendung der Quadratwurzeleigenschaft: √68=2√17.
Nun verwenden wir die betrachtete Quadratwurzelformel: a0=4, dann:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
A3 braucht man nicht zu berechnen, da sich die gefundenen Werte nur um 0,02 unterscheiden, also √68=8,246. In die Formel für x einsetzen 1, 2, wir erh alten:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 und x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Wie Sie sehen können, ist die Summe der gefundenen Zahlen tatsächlich 4, aber wenn Sie ihr Produkt finden, wird es gleich -12 sein,999, was die Bedingung des Problems mit einer Genauigkeit von 0,001 erfüllt.
