Die Fläche der Seitenfläche und das Volumen eines Pyramidenstumpfes: Formeln und ein Beispiel zur Lösung eines typischen Problems

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-02 17:44

Beim Studium der Eigenschaften von Figuren im dreidimensionalen Raum im Rahmen der Stereometrie sind oft Aufgaben zur Volumen- und Flächenbestimmung zu lösen. In diesem Artikel zeigen wir, wie man das Volumen und die Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes mit bekannten Formeln berechnet.

Pyramide in der Geometrie

In der Geometrie ist eine gewöhnliche Pyramide eine Figur im Raum, die auf einem flachen n-Eck aufgebaut ist. Alle seine Eckpunkte sind mit einem Punkt verbunden, der sich außerhalb der Ebene des Polygons befindet. Hier ist zum Beispiel ein Foto, das eine fünfeckige Pyramide zeigt.

Diese Figur besteht aus Flächen, Ecken und Kanten. Die fünfeckige Fläche wird als Basis bezeichnet. Die verbleibenden Dreiecksflächen bilden die Seitenfläche. Der Schnittpunkt aller Dreiecke ist der Hauptscheitel der Pyramide. Wird von ihm ein Lot auf die Basis abgesenkt, so sind zwei Möglichkeiten für die Lage des Schnittpunktes möglich:

• im geometrischen Zentrum, dann heißt die Pyramide Gerade;
• nicht dringeometrisches Zentrum, dann ist die Figur schräg.

Im Folgenden betrachten wir nur gerade Figuren mit regelmäßiger n-Eckbasis.

Was ist diese Figur - ein Pyramidenstumpf?

Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu bestimmen, muss klar sein, um welche Figur es sich konkret handelt. Lassen Sie uns dieses Problem klären.

Angenommen, wir nehmen eine Schnittebene, die parallel zur Basis einer gewöhnlichen Pyramide ist, und schneiden damit einen Teil der Seitenfläche ab. Wenn diese Operation mit der oben gezeigten fünfeckigen Pyramide durchgeführt wird, erh alten Sie eine solche Figur wie in der folgenden Abbildung.

Auf dem Foto ist zu sehen, dass diese Pyramide bereits zwei Basen hat, und die obere ist ähnlich wie die untere, aber sie ist kleiner. Die Mantelfläche wird nicht mehr durch Dreiecke, sondern durch Trapeze dargestellt. Sie sind gleichschenklig und ihre Anzahl entspricht der Seitenzahl der Basis. Die abgeschnittene Figur hat keinen Hauptscheitel wie eine normale Pyramide, und ihre Höhe wird durch den Abstand zwischen parallelen Basen bestimmt.

Im allgemeinen Fall, wenn die betrachtete Figur aus n-eckigen Grundflächen besteht, hat sie n+2 Flächen oder Seiten, 2n Ecken und 3n Kanten. Das heißt, der Pyramidenstumpf ist ein Polyeder.

Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes

Erinnere dich daran, dass das Volumen einer gewöhnlichen Pyramide 1/3 des Produkts aus Höhe und Grundfläche ist. Diese Formel ist für einen Pyramidenstumpf nicht geeignet, da er zwei Basen hat. Und sein Volumenimmer kleiner als derselbe Wert für die reguläre Zahl, von der sie abgeleitet wird.

Ohne auf die mathematischen Details zum Erh alt des Ausdrucks einzugehen, präsentieren wir die endgültige Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes. Es wird wie folgt geschrieben:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Dabei sind S₁ und S_{2 die Bereiche der unteren bzw. oberen Basis, h ist die Höhe der Figur. Der geschriebene Ausdruck gilt nicht nur für einen geraden regelmäßigen Pyramidenstumpf, sondern für jede Figur dieser Klasse. Darüber hinaus unabhängig von der Art der Basispolygone. Die einzige Bedingung, die die Verwendung des Ausdrucks für V einschränkt, ist die Notwendigkeit, dass die Grundflächen der Pyramide parallel zueinander sind.}

Durch das Studium der Eigenschaften dieser Formel können mehrere wichtige Schlussfolgerungen gezogen werden. Wenn also die Fläche der oberen Basis Null ist, dann kommen wir zur Formel für V einer gewöhnlichen Pyramide. Wenn die Flächen der Basen einander gleich sind, dann erh alten wir die Formel für das Volumen des Prismas.

Wie bestimmt man die Seitenfläche?

Um die Eigenschaften eines Pyramidenstumpfes zu kennen, muss man nicht nur sein Volumen berechnen können, sondern auch wissen, wie man die Fläche der Seitenfläche bestimmt.

Pyramidenstumpf besteht aus zwei Arten von Flächen:

• gleichschenklige Trapeze;
• polygonale Basen.

Wenn es ein regelmäßiges Polygon in den Basen gibt, dann stellt die Berechnung seiner Fläche keine großen darSchwierigkeiten. Dazu müssen Sie nur die Seitenlänge a und deren Anzahl n kennen.

Im Fall einer Seitenfläche wird zur Berechnung ihrer Fläche dieser Wert für jedes der n Trapeze bestimmt. Stimmt das n-Eck, so lautet die Formel für die Seitenfläche:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Dabei ist h_b die Höhe des Trapezes, das Apotem der Figur genannt wird. Die Größen a₁ und a_{2sind die Seitenlängen regelmäßiger n-Eckbasen.}

Für jeden regulären n-gonalen Pyramidenstumpf kann das Apotem h_b durch die Parameter a₁ und a _{eindeutig definiert werden 2und die Höhe h der Form.}

Die Aufgabe, Volumen und Fläche einer Figur zu berechnen

Gegeben sei ein regelmäßiger dreieckiger Pyramidenstumpf. Es ist bekannt, dass seine Höhe h 10 cm beträgt und die Seitenlängen der Basen 5 cm und 3 cm betragen. Wie groß ist das Volumen des Pyramidenstumpfes und die Fläche seiner Seitenfläche?

Berechnen wir zuerst den Wert V. Finden Sie dazu die Flächen gleichseitiger Dreiecke, die sich an den Basen der Figur befinden. Wir haben:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Setze die Daten in die Formel für V ein, wir erh alten das gewünschte Volumen:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Um die Seitenfläche zu bestimmen, sollte man es wissenApotheme Länge h_{b. Wenn wir das entsprechende rechtwinklige Dreieck innerhalb der Pyramide betrachten, können wir die Gleichheit dafür schreiben:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Der Wert des Apothems und die Seiten der dreieckigen Grundflächen werden in den Ausdruck für S eingesetzt_{b und wir erh alten die Antwort:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Damit haben wir alle Fragen des Problems beantwortet: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.