Die quantitative Untersuchung der Dynamik und Kinematik der Rotationsbewegung erfordert die Kenntnis des Trägheitsmoments eines materiellen Punktes und eines starren Körpers relativ zur Rotationsachse. Wir werden in dem Artikel überlegen, über welchen Parameter wir sprechen, und auch eine Formel zu seiner Bestimmung angeben.
Allgemeines zur physikalischen Größe
Lassen Sie uns zuerst das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes und eines starren Körpers definieren und dann zeigen, wie es zur Lösung praktischer Probleme verwendet werden sollte.
Unter der angegebenen physikalischen Eigenschaft für einen Punkt der Masse m, der sich im Abstand r um die Achse dreht, ist folgender Wert gemeint:
I=mr².
Daraus folgt, dass die Maßeinheit des untersuchten Parameters Kilogramm pro Quadratmeter (kgm²) ist.
Rotiert statt eines Punktes um eine Achse ein komplex geformter Körper, der eine beliebige Massenverteilung in sich trägt, so ist sein Trägheitsmoment bestimmtalso:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Wobei ρ die Dichte des Körpers ist. Mit der Integralformel lässt sich der Wert von I für jedes Rotationssystem bestimmen.
Das Trägheitsmoment hat für die Rotation genau die gleiche Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung. Jeder weiß zum Beispiel, dass es am einfachsten ist, einen Bodenwischer um eine Achse zu drehen, die durch seinen Griff verläuft, als um eine senkrechte. Dies liegt daran, dass das Trägheitsmoment im ersten Fall viel kleiner ist als im zweiten.
Ich schätze verschiedene Körperformen
Bei der Lösung physikalischer Aufgaben zur Rotation ist es oft notwendig, das Trägheitsmoment für einen Körper mit einer bestimmten geometrischen Form zu kennen, beispielsweise für einen Zylinder, eine Kugel oder einen Stab. Wenden wir die oben geschriebene Formel für I an, so erhält man leicht den entsprechenden Ausdruck für alle markierten Körper. Unten sind die Formeln für einige von ihnen:
Stab: I=1 / 12ML²;
Zylinder: I=1 / 2MR²;
Kugel: I=2 / 5MR².
Hier ist I für die Rotationsachse angegeben, die durch den Massenmittelpunkt des Körpers verläuft. Bei einem Zylinder ist die Achse parallel zum Generator der Figur. Das Trägheitsmoment für andere geometrische Körper und Möglichkeiten für die Lage der Drehachsen sind den entsprechenden Tabellen zu entnehmen. Beachten Sie, dass es zur Bestimmung verschiedener Figuren ausreicht, nur einen geometrischen Parameter und die Masse des Körpers zu kennen.
Satz und Formel von Steiner
Trägheitsmoment kann bestimmt werden, wenn die Rotationsachse in einiger Entfernung vom Körper liegt. Dazu müssen Sie die Länge dieses Segments und den Wert IO des Körpers relativ zu der Achse kennen, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft, der parallel zu dem darunter verlaufen sollte Rücksichtnahme. Die Herstellung einer Verbindung zwischen dem Parameter IO und dem unbekannten Wert I ist im Satz von Steiner festgelegt. Das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes und eines starren Körpers wird mathematisch wie folgt geschrieben:
I=IO+ Mh2.
Hier ist M die Masse des Körpers, h der Abstand vom Massenmittelpunkt zur Rotationsachse, relativ zu der I berechnet werden muss. Dieser Ausdruck ist leicht selbst zu erh alten, wenn Sie Verwenden Sie die Integralformel für I und berücksichtigen Sie, dass alle Punkte des Körpers im Abstand r=r0 + h.
liegen.
Der Satz von Steiner vereinfacht die Definition von I für viele praktische Situationen erheblich. Wenn Sie beispielsweise I für einen Stab der Länge L und der Masse M in Bezug auf eine Achse finden müssen, die durch sein Ende verläuft, können Sie mit dem Steiner-Theorem schreiben:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Sie können der entsprechenden Tabelle entnehmen, dass sie genau diese Formel für einen dünnen Stab mit einer Drehachse am Ende enthält.
Momentengleichung
In der Rotationsphysik gibt es eine Formel namens Momentengleichung. Das sieht so aus:
M=Iα.
Hier ist M das Kraftmoment, α die Winkelbeschleunigung. Wie man sieht, stehen das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes und eines starren Körpers und das Kraftmoment in linearer Beziehung zueinander. Der Wert M bestimmt die Möglichkeit einer bestimmten Kraft F, eine Drehbewegung mit der Beschleunigung α im System zu erzeugen. Um M zu berechnen, verwenden Sie den folgenden einfachen Ausdruck:
M=Fd.
Wobei d die Schulter des Moments ist, die gleich dem Abstand des Kraftvektors F zur Rotationsachse ist. Je kleiner der Arm d ist, desto geringer ist die Fähigkeit der Kraft, eine Rotation des Systems zu erzeugen.
Die Momentengleichung stimmt in ihrer Bedeutung voll und ganz mit dem zweiten Newtonschen Gesetz überein. In diesem Fall spielt I die Rolle der Trägheitsmasse.
Beispiel zur Problemlösung
Stellen wir uns ein System vor, bei dem es sich um einen Zylinder handelt, der auf einer vertikalen Achse mit einer gewichtslosen horizontalen Stange befestigt ist. Es ist bekannt, dass die Rotationsachse und die Hauptachse des Zylinders parallel zueinander sind und der Abstand zwischen ihnen 30 cm beträgt. Die Masse des Zylinders beträgt 1 kg und sein Radius 5 cm. Eine Kraft von 10 N wirkt tangential zur Rotationsbahn auf die Figur, deren Vektor durch die Hauptachse des Zylinders geht. Es ist notwendig, die Winkelbeschleunigung der Figur zu bestimmen, die diese Kraft verursacht.
Berechnen wir zunächst das Trägheitsmoment des I-Zylinders. Wenden Sie dazu das Steiner-Theorem an, wir haben:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Bevor Sie die Momentengleichung verwenden, müssen Siebestimme das Moment der Kraft M. In diesem Fall gilt:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Jetzt kannst du die Beschleunigung bestimmen:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Die berechnete Winkelbeschleunigung zeigt an, dass sich die Geschwindigkeit des Zylinders jede Sekunde um 5,2 Umdrehungen pro Sekunde erhöht.
