Die Volumenberechnung räumlicher Figuren ist eine der wichtigen Aufgaben der Stereometrie. In diesem Artikel werden wir uns mit der Bestimmung des Volumens eines solchen Polyeders als Pyramide befassen und auch die Formel für das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide angeben.
sechseckige Pyramide
Sehen wir uns zuerst an, was die Zahl ist, die im Artikel besprochen wird.
Lassen Sie uns ein beliebiges Sechseck haben, dessen Seiten nicht unbedingt gleich sind. Nehmen Sie außerdem an, dass wir einen Punkt im Raum gewählt haben, der nicht in der Ebene des Sechsecks liegt. Indem wir alle Ecken des letzteren mit dem ausgewählten Punkt verbinden, erh alten wir eine Pyramide. In der Abbildung unten sind zwei verschiedene Pyramiden mit sechseckiger Grundfläche dargestellt.
Es ist zu erkennen, dass die Figur neben dem Sechseck aus sechs Dreiecken besteht, deren Verbindungspunkt Scheitel genannt wird. Der Unterschied zwischen den abgebildeten Pyramiden besteht darin, dass die Höhe h der rechten von ihnen die sechseckige Basis nicht in ihrem geometrischen Zentrum schneidet und die Höhe der linken Figur abfälltgenau in diesem Zentrum. Dank dieses Kriteriums wurde die linke Pyramide als gerade und die rechte als schräg bezeichnet.
Da die Basis der linken Figur in der Figur durch ein Sechseck mit gleichen Seiten und Winkeln gebildet wird, heißt es richtig. Weiter im Artikel werden wir nur über diese Pyramide sprechen.
Volumen der sechseckigen Pyramide
Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, gilt folgende Formel:
V=1/3hSo
Hier ist h die Länge der Höhe der Figur, So ist die Fläche ihrer Grundfläche. Verwenden wir diesen Ausdruck, um das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide zu bestimmen.
Da der betrachteten Figur ein gleichseitiges Sechseck zugrunde liegt, kann man zur Flächenberechnung folgenden allgemeinen Ausdruck für ein n-Eck verwenden:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Hierbei ist n eine ganze Zahl gleich der Anzahl der Seiten (Ecken) des Polygons, a ist die Länge seiner Seite, die Kotangensfunktion wird anhand der entsprechenden Tabellen berechnet.
Durch Anwendung des Ausdrucks für n=6 erh alten wir:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Nun bleibt noch, diesen Ausdruck in die allgemeine Formel für das Volumen V einzusetzen:
V6=S6h=√3/2ha2
Um also das Volumen der betrachteten Pyramide zu berechnen, ist es notwendig, ihre beiden linearen Parameter zu kennen: die Seitenlänge der Basis und die Höhe der Figur.
Beispiel zur Problemlösung
Lassen Sie uns zeigen, wie der erh altene Ausdruck für V6 verwendet werden kann, um das folgende Problem zu lösen.
Es ist bekannt, dass das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide 100 cm beträgt3. Es ist notwendig, die Seite der Basis und die Höhe der Figur zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass sie durch die folgende Gleichheit miteinander verbunden sind:
a=2h
Da nur a und h in der Volumenformel enth alten sind, kann jeder dieser Parameter ersetzt werden, ausgedrückt durch den anderen. Ersetzen Sie zum Beispiel a, erh alten wir:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Um den Wert der Höhe einer Figur zu finden, musst du die Wurzel aus dem dritten Grad des Volumens ziehen, was der Längendimension entspricht. Wir ersetzen den Volumenwert V6 der Pyramide aus der Aufgabenstellung, wir erh alten die Höhe:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Da die Seite der Basis gemäß der Bedingung des Problems doppelt so groß ist wie der gefundene Wert, erh alten wir den Wert dafür:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Das Volumen einer sechseckigen Pyramide ergibt sich nicht nur aus der Höhe der Figur und dem Seitenwert ihrer Grundfläche. Es reicht aus, zwei verschiedene lineare Parameter der Pyramide zu kennen, um sie zu berechnen, zum Beispiel das Apotema und die Länge der Seitenkante.
