Seitenfläche eines regelmäßigen und eines Kegelstumpfes. Formeln und ein Beispiel zur Lösung des Problems

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Bei der Betrachtung von Figuren im Raum treten oft Probleme bei der Bestimmung ihrer Oberfläche auf. Eine solche Figur ist der Kegel. Überlegen Sie in dem Artikel, was die Seitenfläche eines Kegels mit runder Basis sowie eines Kegelstumpfs ist.

Kegel mit runder Basis

Bevor wir uns mit der Betrachtung der Mantelfläche des Kegels befassen, zeigen wir, um was für eine Figur es sich handelt und wie man sie mit geometrischen Methoden erhält.

Nehmen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC, wobei AB und AC Schenkel sind. Lassen Sie uns dieses Dreieck auf das Bein AC legen und es um das Bein AB drehen. Als Ergebnis beschreiben die Seiten AC und BC zwei Oberflächen der unten gezeigten Figur.

Die durch Drehung erh altene Figur wird als runder gerader Kegel bezeichnet. Er ist rund, weil seine Basis ein Kreis ist, und gerade, weil eine von der Oberseite der Figur (Punkt B) gezogene Senkrechte den Kreis in seinem Mittelpunkt schneidet. Die Länge dieser Senkrechten heißt Höhe. Offensichtlich ist es gleich Bein AB. Die Höhe wird üblicherweise mit dem Buchstaben h bezeichnet.

Neben der Höhe wird der betrachtete Kegel durch zwei weitere lineare Merkmale beschrieben:

• Erzeugung oder Erzeugende (Hypotenuse BC);
• Basisradius (Bein AC).

Der Radius wird mit r bezeichnet und die Generatoratrix mit g. Dann können wir unter Berücksichtigung des Satzes des Pythagoras die für die betrachtete Figur wichtige Gleichheit aufschreiben:

g²=h²+ r²

Kegelfläche

Die Gesamtheit aller Erzeugenden bildet eine Kegel- oder Kegelmantelfläche. Im Aussehen ist es schwierig zu sagen, welcher flachen Figur es entspricht. Letzteres ist wichtig zu wissen, wenn man die Fläche einer Kegelfläche bestimmt. Um dieses Problem zu lösen, wird das Sweep-Verfahren verwendet. Sie besteht in folgendem: Eine Fläche wird gedanklich entlang einer beliebigen Erzeugenden geschnitten und dann in einer Ebene entf altet. Bei dieser Sweep-Methode wird die folgende flache Figur gebildet.

Wie Sie sich denken können, entspricht der Kreis der Basis, aber der Kreissektor ist eine Kegelfläche, deren Fläche uns interessiert. Der Sektor wird durch zwei Erzeugende und einen Bogen begrenzt. Die Länge des letzteren ist genau gleich dem Umfang (Länge) des Umfangs der Basis. Diese Eigenschaften bestimmen eindeutig alle Eigenschaften des Kreissektors. Wir geben keine mathematischen Zwischenberechnungen an, sondern schreiben sofort die endgültige Formel auf, mit der Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels berechnen können. Die Formel lautet:

S_b=pigr

Die Fläche einer Kegelfläche S_b ist gleich dem Produkt zweier Parameter und Pi.

Kegelstumpf und seine Oberfläche

Wenn wir einen gewöhnlichen Kegel nehmen und seine Spitze mit einer parallelen Ebene abschneiden, wird die verbleibende Figur ein Kegelstumpf sein. Seine Seitenfläche wird von zwei runden Basen begrenzt. Lassen Sie uns ihre Radien als R und r bezeichnen. Wir bezeichnen die Höhe der Figur mit h und die Erzeugende mit g. Unten ist ein Papierausschnitt für diese Figur.

Es ist zu erkennen, dass die Seitenfläche kein Kreissektor mehr ist, sie ist flächenmäßig kleiner, da der Mittelteil davon abgeschnitten wurde. Die Abwicklung beschränkt sich auf vier Linien, zwei davon sind Geradensegment-Generatoren, die anderen beiden sind Bögen mit den Längen der entsprechenden Kreise der Grundflächen des Kegelstumpfes.

Seitenfläche S_bberechnet sich wie folgt:

S_b=pig(r + R)

Erzeuger, Radien und Höhe hängen durch die folgende Gleichheit zusammen:

g²=h²+ (R - r)²

Das Problem mit der Flächengleichheit von Figuren

Gegeben sei ein Kegel mit einer Höhe von 20 cm und einem Grundradius von 8 cm: Es soll die Höhe eines Kegelstumpfes ermittelt werden, dessen Mantelfläche den gleichen Flächeninh alt wie dieser Kegel hat. Die abgeschnittene Figur ist auf derselben Basis aufgebaut, und der Radius der oberen Basis beträgt 3 cm.

Schreiben wir zuerst die Bedingung der Gleichheit der Flächen des Kegels und der abgeschnittenen Figur auf. Wir haben:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Schreiben wir nun die Ausdrücke für die Erzeugenden jeder Form:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Ersetzen Sie g₁ und g₂ in die Formel für gleiche Flächen und quadrieren Sie die linke und rechte Seite, wir erh alten:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Wo wir den Ausdruck für h bekommen₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Wir werden diese Gleichheit nicht vereinfachen, sondern einfach die aus der Bedingung bekannten Daten ersetzen:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Um also die Flächen der Seitenflächen der Figuren gleich zu machen, muss der Kegelstumpf die Parameter haben: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm