Schon in der Schule machen sich alle Schüler mit dem Konzept der "Euklidischen Geometrie" vertraut, dessen Hauptbestimmungen sich auf mehrere Axiome konzentrieren, die auf geometrischen Elementen wie Punkt, Ebene, Linie, Bewegung basieren. Sie alle zusammen bilden das, was seit langem unter dem Begriff „Euklidischer Raum“bekannt ist.
Euklidischer Raum, dessen Definition auf dem Konzept der Skalarmultiplikation von Vektoren basiert, ist ein Spezialfall eines linearen (affinen) Raums, der eine Reihe von Anforderungen erfüllt. Erstens ist das Skalarprodukt von Vektoren absolut symmetrisch, das heißt, der Vektor mit den Koordinaten (x;y) ist quantitativ identisch mit dem Vektor mit den Koordinaten (y;x), aber in entgegengesetzter Richtung.
Zweitens, wenn das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ausgeführt wird, dann ist das Ergebnis dieser Aktion positiv. Die einzige Ausnahme ist der Fall, wenn die Anfangs- und Endkoordinaten dieses Vektors gleich Null sind: In diesem Fall ist sein Produkt mit sich selbst ebenfalls gleich Null.
Drittens ist das Skalarprodukt distributiv, dh es ist möglich, eine seiner Koordinaten in die Summe zweier Werte zu zerlegen, was keine Änderungen im Endergebnis der Skalarmultiplikation von Vektoren mit sich bringt. Schließlich, viertens, wenn Vektoren mit derselben reellen Zahl multipliziert werden, erhöht sich auch ihr Skalarprodukt um denselben Faktor.
Wenn alle diese vier Bedingungen erfüllt sind, können wir mit Sicherheit sagen, dass wir einen euklidischen Raum haben.
Euklidischer Raum kann aus praktischer Sicht durch die folgenden konkreten Beispiele charakterisiert werden:
- Der einfachste Fall ist das Vorhandensein einer Menge von Vektoren mit einem nach den Grundgesetzen der Geometrie definierten Skalarprodukt.
- Euklidischer Raum wird auch dann erh alten, wenn wir unter Vektoren eine bestimmte endliche Menge reeller Zahlen mit einer gegebenen Formel verstehen, die ihre Skalarsumme oder ihr Produkt beschreibt.
- Ein Spezialfall des euklidischen Raums ist der sogenannte Nullraum, der entsteht, wenn die skalare Länge beider Vektoren gleich Null ist.
Der euklidische Raum hat eine Reihe spezifischer Eigenschaften. Erstens kann der Skalarfaktor sowohl vom ersten als auch vom zweiten Faktor des Skalarprodukts aus Klammern genommen werden, das Ergebnis daraus ändert sich in keiner Weise. Zweitens, zusammen mit der Distributivität des ersten Elements des SkalarsProdukt wirkt auch die Distributivität des zweiten Elements. Außerdem findet neben der skalaren Summe von Vektoren auch Distributivität bei der Vektorsubtraktion statt. Schließlich, drittens, wenn ein Vektor skalar mit Null multipliziert wird, ist das Ergebnis ebenfalls Null.
Daher ist der euklidische Raum das wichtigste geometrische Konzept zur Lösung von Problemen mit der gegenseitigen Anordnung von Vektoren relativ zueinander, das durch ein solches Konzept wie das Skalarprodukt gekennzeichnet ist.
