Dreieck ist eine der häufigsten geometrischen Formen, die wir bereits in der Grundschule kennen. Die Frage, wie man die Fläche eines Dreiecks findet, stellt sich jedem Schüler im Geometrieunterricht. Was sind also die Merkmale, um den Bereich einer bestimmten Figur zu finden, der unterschieden werden kann? In diesem Artikel werden wir die grundlegenden Formeln betrachten, die zum Ausführen einer solchen Aufgabe erforderlich sind, sowie die Arten von Dreiecken analysieren.
Arten von Dreiecken
Du kannst den Flächeninh alt eines Dreiecks auf ganz unterschiedliche Weise finden, denn in der Geometrie gibt es mehr als eine Art von Figur, die drei Winkel enthält. Zu diesen Arten gehören:
- Akutes Dreieck.
- Abgewinkelt.
- Gleichseitig (richtig).
- Rechtes Dreieck.
- Gleichschenklig.
Lassen Sie uns einen genaueren Blick auf jede der existierenden Arten von Dreiecken werfen.
AkutDreieck
Eine solche geometrische Figur wird als die häufigste bei der Lösung geometrischer Probleme angesehen. Wenn es notwendig wird, ein beliebiges Dreieck zu zeichnen, hilft diese Option.
In einem spitzen Dreieck sind, wie der Name schon sagt, alle Winkel spitz und ergeben zusammen 180°.
Obtwinkliges Dreieck
Dieses Dreieck kommt ebenfalls sehr häufig vor, allerdings etwas seltener als das spitzwinklige. Wenn Sie beispielsweise Dreiecke lösen (d. h. Sie kennen mehrere ihrer Seiten und Winkel und müssen die verbleibenden Elemente finden), müssen Sie manchmal feststellen, ob der Winkel stumpf ist oder nicht. Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist eine negative Zahl.
In einem stumpfen Dreieck überschreitet der Wert eines der Winkel 90°, sodass die verbleibenden zwei Winkel kleine Werte annehmen können (zum Beispiel 15° oder sogar 3°).
Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu finden, müssen Sie einige Nuancen kennen, über die wir später sprechen werden.
Regelmäßige und gleichschenklige Dreiecke
Ein regelmäßiges Polygon ist eine Figur, die n Winkel enthält und bei der alle Seiten und Winkel gleich sind. Das ist das rechtwinklige Dreieck. Da die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180° beträgt, beträgt jeder der drei Winkel 60°.
Ein regelmäßiges Dreieck wird aufgrund seiner Beschaffenheit auch als gleichseitige Figur bezeichnet.
Es ist auch erwähnenswert, dass inEin regelmäßiges Dreieck kann nur mit einem Kreis eingeschrieben und nur mit einem Kreis umschrieben werden, und ihre Mittelpunkte befinden sich in einem Punkt.
Neben dem gleichseitigen Typ kann man auch ein gleichschenkliges Dreieck wählen, das sich leicht davon unterscheidet. In einem solchen Dreieck sind zwei Seiten und zwei Winkel gleich, und die dritte Seite (an die gleiche Winkel angrenzen) ist die Basis.
Die Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck DEF, dessen Winkel D und F gleich sind und DF die Basis ist.
Rechtes Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck heißt so, weil einer seiner Winkel ein rechter Winkel ist, also gleich 90°. Die beiden anderen Winkel addieren sich zu 90°.
Die größte Seite eines solchen Dreiecks, die dem 90°-Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse, während die anderen beiden Seiten die Schenkel sind. Für diese Art von Dreiecken gilt der Satz des Pythagoras:
Die Summe der Quadrate der Beinlängen ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck BAC mit Hypotenuse AC und Schenkeln AB und BC.
Um die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie die Zahlenwerte seiner Schenkel kennen.
Lassen Sie uns zu den Formeln zum Ermitteln der Fläche dieser Figur übergehen.
Grundgebietsformeln
In der Geometrie gibt es zwei Formeln, die geeignet sind, den Flächeninh alt der meisten Arten von Dreiecken zu ermitteln, nämlich für spitzwinklige, stumpfwinklige, regelmäßige undgleichschenklige Dreiecke. Lassen Sie uns jeden von ihnen analysieren.
Nach Seite und Höhe
Diese Formel ist universell, um die Fläche der Figur zu finden, die wir betrachten. Dazu reicht es aus, die Länge der Seite und die Länge der darauf gezeichneten Höhe zu kennen. Die Formel selbst (das halbe Produkt aus Basis und Höhe) sieht so aus:
S=½AH, wobei A die Seite des angegebenen Dreiecks und H die Höhe des Dreiecks ist.
Um beispielsweise die Fläche eines spitzwinkligen Dreiecks ACB zu ermitteln, müssen Sie dessen Seite AB mit der Höhe CD multiplizieren und den resultierenden Wert durch zwei teilen.
Allerdings ist es nicht immer einfach, auf diese Weise die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln. Um diese Formel beispielsweise für ein stumpfwinkliges Dreieck zu verwenden, müssen Sie eine seiner Seiten fortsetzen und erst danach eine Höhe darauf zeichnen.
In der Praxis wird diese Formel häufiger verwendet als andere.
Auf zwei Seiten und einer Ecke
Diese Formel ist, wie die vorige, für die meisten Dreiecke geeignet und in ihrer Bedeutung eine Folgerung aus der Formel zur Ermittlung der Seitenfläche und Höhe eines Dreiecks. Das heißt, die betrachtete Formel kann leicht von der vorherigen abgeleitet werden. Ihre Formulierung sieht so aus:
S=½sinOAB, wobei A und B die Seiten eines Dreiecks sind und O der Winkel zwischen den Seiten A und B ist.
Denken Sie daran, dass der Sinus eines Winkels in einer speziellen Tabelle angezeigt werden kann, die nach dem herausragenden sowjetischen Mathematiker V. M. Bradis benannt ist.
Und jetzt kommen wir zu anderen Formeln,nur für außergewöhnliche Dreieckstypen geeignet.
Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks
Zusätzlich zur universellen Formel, die die Notwendigkeit beinh altet, eine Höhe in einem Dreieck zu zeichnen, kann die Fläche eines Dreiecks, die einen rechten Winkel enthält, durch seine Beine gefunden werden.
Daher ist die Fläche eines Dreiecks, das einen rechten Winkel enthält, die Hälfte des Produkts seiner Schenkel, oder:
S=½ab, wobei a und b die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind.
Reguläres Dreieck
Diese Art von geometrischen Figuren unterscheidet sich dadurch, dass ihre Fläche mit dem angegebenen Wert nur einer ihrer Seiten gefunden werden kann (da alle Seiten eines regelmäßigen Dreiecks gleich sind). Nachdem Sie sich also der Aufgabe gestellt haben, "die Fläche eines Dreiecks zu finden, wenn die Seiten gleich sind", müssen Sie die folgende Formel verwenden:
S=A2√3 / 4, wobei A die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist.
Reiherformel
Die letzte Möglichkeit, die Fläche eines Dreiecks zu finden, ist die Formel von Heron. Um es zu verwenden, müssen Sie die Längen der drei Seiten der Figur kennen. Die Formel von Heron sieht so aus:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), wobei a, b und c die Seiten dieses Dreiecks sind.
Manchmal wird die Aufgabe gestellt: "Die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks - finde die Länge seiner Seite." In diesem Fall müssen Sie die bereits bekannte Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks verwenden und daraus den Wert der Seite (oder ihres Quadrats) ableiten:
A2=4S / √3.
Prüfungsprobleme
In GIA-AufgabenIn der Mathematik gibt es viele Formeln. Außerdem ist es oft notwendig, die Fläche eines Dreiecks auf kariertem Papier zu finden.
In diesem Fall ist es am bequemsten, die Höhe an einer der Seiten der Figur zu zeichnen, ihre Länge durch Zellen zu bestimmen und die universelle Formel zum Bestimmen der Fläche zu verwenden:
S=½AH.
Also, nachdem Sie die im Artikel vorgestellten Formeln studiert haben, werden Sie keine Probleme haben, die Fläche eines Dreiecks jeglicher Art zu finden.
