Dreieck ist die einfachste geschlossene Figur in der Ebene, bestehend aus nur drei miteinander verbundenen Segmenten. Bei Geometrieproblemen ist es häufig erforderlich, die Fläche dieser Figur zu bestimmen. Was müssen Sie dafür wissen? In dem Artikel beantworten wir die Frage, wie man die Fläche eines Dreiecks auf drei Seiten findet.
Allgemeine Formel
Jeder Schüler weiß, dass die Fläche eines Dreiecks als Produkt der Länge einer seiner Seiten berechnet wird - a mal der halben Höhe - h, abgesenkt auf die gewählte Seite. Nachfolgend die entsprechende Formel: S=ah/2.
Dieser Ausdruck kann verwendet werden, wenn mindestens zwei Seiten und der Wert des Winkels zwischen ihnen bekannt sind. Die Höhe h lässt sich in diesem Fall einfach mit trigonometrischen Funktionen wie dem Sinus berechnen. Aber nicht jeder weiß, wie man die Fläche auf drei Seiten eines Dreiecks findet.
Reiherformel
Diese Formel ist die Antwort auf die Frage nach dem Wiedrei Seiten finden die Fläche des Dreiecks. Bevor wir es aufschreiben, bezeichnen wir die Längen der Segmente einer beliebigen Figur als a, b und c. Die Formel von Heron wird wie folgt geschrieben: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Wobei p der halbe Umfang der Figur ist, also: p=(a+b+c)/2.
Trotz der scheinbaren Umständlichkeit ist der obige Ausdruck für die Fläche S leicht zu merken. Dazu müssen Sie zuerst den Halbumfang des Dreiecks berechnen, dann eine Seitenlänge der Figur davon subtrahieren, alle erh altenen Differenzen und den Halbumfang selbst multiplizieren. Schließlich ziehe die Quadratwurzel aus dem Produkt.
Diese Formel ist nach Heron von Alexandria benannt, der zu Beginn unserer Zeitrechnung lebte. Die moderne Geschichte glaubt, dass es dieser Philosoph war, der diesen Ausdruck als erster verwendete, um die entsprechenden Berechnungen durchzuführen. Diese Formel ist in seiner Metrica veröffentlicht, die auf das Jahr 60 n. Chr. zurückgeht. Beachten Sie, dass einige der Werke von Archimedes, der zwei Jahrhunderte vor Heron lebte, Anzeichen dafür enth alten, dass der griechische Philosoph die Formel bereits kannte. Darüber hinaus wussten die alten Chinesen auch, wie man die Fläche eines Dreiecks bestimmt, da sie drei Seiten kannten.
Es ist wichtig anzumerken, dass das Problem gelöst werden kann, ohne die Existenz der Heron-Formel zu kennen. Zeichnen Sie dazu ein paar Höhen in das Dreieck und verwenden Sie die allgemeine Formel aus dem vorherigen Absatz, um das entsprechende Gleichungssystem zusammenzustellen.
Der Ausdruck von Heron kann verwendet werden, um die Flächen beliebiger Polygone zu berechnen, nachdem man sie aufgeteilt hatDreiecke und Berechnung der Längen der resultierenden Diagonalen.
Beispiel zur Problemlösung
Da wir wissen, wie man die Fläche eines Dreiecks auf drei Seiten bestimmt, konsolidieren wir unser Wissen, indem wir das folgende Problem lösen. Die Seiten der Figur seien 5 cm, 4 cm und 3 cm lang. Bestimme die Fläche.
Drei Seiten eines Dreiecks sind bekannt, also kannst du die Formel von Heron verwenden. Wir berechnen den Halbumfang und die notwendigen Differenzen, wir haben:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Dann erh alten wir die Fläche: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Das in der Bedingung der Aufgabe angegebene Dreieck ist rechtwinklig, was leicht zu überprüfen ist, wenn Sie den Satz des Pythagoras verwenden. Da die Fläche eines solchen Dreiecks das halbe Produkt der Schenkel ist, erh alten wir: S=43/2=6 cm2.
Der resultierende Wert ist derselbe wie für die Formel von Heron, was die Gültigkeit der letzteren bestätigt.
