Berechnung der Masse eines Zylinders - homogen und hohl

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 05:21

Ein Zylinder ist eine der einfachen dreidimensionalen Figuren, die im Geometriekurs der Schule (Abschnitt Körpergeometrie) studiert werden. Dabei treten häufig Probleme bei der Berechnung des Volumens und der Masse eines Zylinders sowie bei der Bestimmung seiner Oberfläche auf. Antworten auf die markierten Fragen finden Sie in diesem Artikel.

Was ist ein Zylinder?

Bevor wir mit der Antwort auf die Frage fortfahren, was die Masse des Zylinders und sein Volumen ist, lohnt es sich zu überlegen, was diese räumliche Figur ist. Es sei gleich darauf hingewiesen, dass ein Zylinder ein dreidimensionales Objekt ist. Das heißt, im Raum können Sie drei seiner Parameter entlang jeder der Achsen in einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem messen. Tatsächlich reicht es aus, nur zwei seiner Parameter zu kennen, um die Abmessungen eines Zylinders eindeutig zu bestimmen.

Cylinder ist eine dreidimensionale Figur, die aus zwei Kreisen und einer zylindrischen Oberfläche besteht. Um dieses Objekt deutlicher darzustellen, reicht es aus, ein Rechteck zu nehmen und es um eine seiner Seiten zu drehen, die die Drehachse sein wird. In diesem Fall beschreibt das rotierende Rechteck die FormRotation - Zylinder.

Zwei runde Flächen werden als Basen des Zylinders bezeichnet, sie zeichnen sich durch einen bestimmten Radius aus. Der Abstand zwischen den Basen wird als Höhe bezeichnet. Die beiden Basen sind durch eine zylindrische Oberfläche miteinander verbunden. Die Linie, die durch die Mittelpunkte beider Kreise verläuft, heißt Achse des Zylinders.

Volumen und Oberfläche

Wie Sie oben sehen können, wird der Zylinder durch zwei Parameter definiert: die Höhe h und den Radius seiner Basis r. Mit Kenntnis dieser Parameter ist es möglich, alle anderen Eigenschaften des betrachteten Körpers zu berechnen. Unten sind die wichtigsten:

• Der Bereich der Basen. Dieser Wert wird nach folgender Formel berechnet: S₁=2pir², wobei pi gleich pi gleich 3, 14 ist. Ziffer 2 in Formel erscheint, weil der Zylinder zwei identische Basen hat.
• Zylindrische Oberfläche. Sie kann folgendermaßen berechnet werden: S₂=2pirh. Diese Formel ist leicht zu verstehen: Wenn eine zylindrische Oberfläche vertikal von einer Basis zur anderen geschnitten und erweitert wird, wird ein Rechteck erh alten, dessen Höhe gleich der Höhe des Zylinders ist und dessen Breite entspricht der Umfang der Basis der dreidimensionalen Figur. Da die Fläche des resultierenden Rechtecks das Produkt seiner Seiten ist, die gleich h und 2pir sind, erhält man die obige Formel.
• Zylinderoberfläche. Sie ist gleich der Summe der Flächen von S₁ und S₂, wir erh alten: S₃=S ₁ + S₂=2pir² + 2pir h=2pi r(r+h).
• Lautstärke. Dieser Wert ist leicht zu finden, Sie müssen nur die Fläche einer Basis mit der Höhe der Figur multiplizieren: V=(S₁/2)h=pir ² h.

Bestimmung der Masse eines Zylinders

Schließlich lohnt es sich, direkt zum Thema des Artikels zu gehen. Wie bestimmt man die Masse eines Zylinders? Dazu müssen Sie sein Volumen kennen, die oben vorgestellte Berechnungsformel. Und die Dichte der Substanz, aus der es besteht. Die Masse wird durch eine einfache Formel bestimmt: m=ρV, wobei ρ die Dichte des Materials ist, aus dem das betreffende Objekt besteht.

Der Begriff der Dichte charakterisiert die Masse einer Substanz, die sich in einer Volumeneinheit des Raumes befindet. Zum Beispiel. Eisen hat bekanntlich eine höhere Dichte als Holz. Das bedeutet, dass bei gleichen Volumina von Eisen- und Holzmaterial ersteres eine viel größere Masse hat als letzteres (etwa 16-mal).

Berechnung der Masse eines Kupferzylinders

Betrachten Sie ein einfaches Problem. Es ist notwendig, die Masse eines Zylinders aus Kupfer zu finden. Der Zylinder soll zur Sicherheit einen Durchmesser von 20 cm und eine Höhe von 10 cm haben.

Bevor Sie mit der Lösung des Problems beginnen, sollten Sie sich mit den Quelldaten auseinandersetzen. Der Radius des Zylinders ist gleich der Hälfte seines Durchmessers, also r=20/2=10 cm, während die Höhe h=10 cm beträgt. Da der in der Aufgabe betrachtete Zylinder aus Kupfer besteht, bezieht sich also auf die Referenzdaten schreiben wir den Dichtewert dieses Materials aus: ρ=8, 96 g/cm³ (für Temperatur 20 °C).

Jetzt können Sie mit der Lösung des Problems beginnen. Berechnen wir zunächst das Volumen: V=pir²h=3, 14(10)²10=3140 cm^{3. Dann ist die Masse des Zylinders: m=ρV=8,963140=28134 Gramm oder ungefähr 28 Kilogramm.}

Bei der Verwendung in den entsprechenden Formeln sollten Sie auf die Dimension der Einheiten achten. In der Aufgabe wurden also alle Parameter in Zentimetern und Gramm angegeben.

Homogen- und Hohlzylinder

Aus dem oben erh altenen Ergebnis ist ersichtlich, dass ein Kupferzylinder mit relativ kleinen Abmessungen (10 cm) eine große Masse (28 kg) hat. Dies liegt nicht nur daran, dass es aus schwerem Material besteht, sondern auch daran, dass es homogen ist. Diese Tatsache ist wichtig zu verstehen, da die obige Formel zur Berechnung der Masse nur verwendet werden kann, wenn der Zylinder vollständig (außen und innen) aus dem gleichen Material besteht, also homogen ist.

In der Praxis werden häufig Hohlzylinder verwendet (z. B. zylindrische Fässer für Wasser). Das heißt, sie bestehen aus dünnen Blättern aus irgendeinem Material, aber innen sind sie leer. Für einen Hohlzylinder kann die angegebene Formel zur Berechnung der Masse nicht verwendet werden.

Berechnung der Masse eines Hohlzylinders

Es ist interessant zu berechnen, welche Masse ein Kupferzylinder haben wird, wenn er innen leer ist. Beispielsweise aus einem dünnen Kupferblech mit einer Dicke von nur d=2 mm.

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie das Volumen des Kupfers selbst finden, aus dem das Objekt besteht. Nicht das Volumen des Zylinders. Wegen der DickeDas Blech ist klein im Vergleich zu den Abmessungen des Zylinders (d=2 mm und r=10 cm), dann kann das Kupfervolumen, aus dem das Objekt besteht, ermittelt werden, indem die gesamte Oberfläche des Zylinders mit multipliziert wird Dicke des Kupferblechs erh alten wir: V=dS ₃=d2pir(r+h). Durch Einsetzen der Daten aus dem vorherigen Problem erh alten wir: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm³. Die Masse eines Hohlzylinders kann erh alten werden, indem das erh altene Kupfervolumen, das für seine Herstellung benötigt wurde, mit der Kupferdichte multipliziert wird: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g oder 2,3 kg. Das heißt, der betrachtete Hohlzylinder wiegt 12 (28, 1/2, 3) mal weniger als ein homogener.