Beim Studium der Stereometrie ist eines der Hauptthemen "Zylinder". Die Seitenfläche wird, wenn nicht als Hauptfläche, als wichtige Formel zur Lösung geometrischer Probleme angesehen. Es ist jedoch wichtig, sich an Definitionen zu erinnern, die Ihnen beim Navigieren durch Beispiele und beim Beweisen verschiedener Theoreme helfen.
Zylinderkonzept
Zunächst müssen wir einige Definitionen betrachten. Erst nachdem man sie studiert hat, kann man anfangen, sich mit der Frage der Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Zylinders zu befassen. Basierend auf dieser Eingabe können andere Ausdrücke berechnet werden.
- Eine zylindrische Oberfläche wird als eine Ebene verstanden, die von einer Erzeugenden beschrieben wird, sich bewegt und parallel zu einer gegebenen Richtung bleibt und entlang einer bestehenden Kurve gleitet.
- Es gibt auch eine zweite Definition: Eine zylindrische Oberfläche wird durch eine Reihe paralleler Linien gebildet, die eine gegebene Kurve schneiden.
- Generativ wird üblicherweise die Höhe des Zylinders genannt. Wenn es sich um eine Achse bewegt, die durch die Mitte der Basis geht,man erhält den bezeichneten geometrischen Körper.
- Unter der Achse versteht man eine gerade Linie, die durch beide Basen der Figur verläuft.
- Ein Zylinder ist ein stereometrischer Körper, der von einer sich schneidenden Mantelfläche und 2 parallelen Ebenen begrenzt wird.
Es gibt Varianten dieser dreidimensionalen Figur:
- Circular ist ein Zylinder, dessen Führung ein Kreis ist. Seine Hauptbestandteile sind der Radius der Basis und die Erzeugende. Letzteres entspricht der Höhe der Figur.
- Da ist ein gerader Zylinder. Sie erhielt ihren Namen aufgrund der Rechtwinkligkeit der Erzeugenden zu den Basen der Figur.
- Die dritte Art ist ein abgeschrägter Zylinder. In Lehrbüchern finden Sie auch einen anderen Namen dafür - "Kreiszylinder mit abgeschrägter Basis". Diese Zahl definiert den Radius der Basis, die minimale und maximale Höhe.
- Unter einem gleichseitigen Zylinder versteht man einen Körper mit gleicher Höhe und gleichem Durchmesser wie eine Kreisebene.
Symbole
Traditionell werden die wichtigsten "Komponenten" eines Zylinders wie folgt bezeichnet:
- Der Radius der Basis ist R (er ersetzt auch den gleichen Wert einer stereometrischen Figur).
- Generativ – L.
- Höhe – H.
- Grundfläche - SBasis (mit anderen Worten, Sie müssen den angegebenen Kreisparameter finden).
- Abgeschrägte Zylinderhöhen – h1, h2 (Minimum und Maximum).
- Seitenfläche - SSeite (wenn Sie es erweitern, erh alten Sieeine Art Rechteck).
- Die Lautstärke einer stereometrischen Figur - V.
- Gesamtfläche – S.
„Bestandteile“einer stereometrischen Figur
Beim Studium eines Zylinders spielt die Mantelfläche eine wichtige Rolle. Dies liegt daran, dass diese Formel in mehreren anderen, komplexeren Formeln enth alten ist. Daher ist es notwendig, sich in Theorie gut auszukennen.
Die Hauptbestandteile der Figur sind:
- Seitenfläche. Wie Sie wissen, wird es aufgrund der Bewegung der Erzeugenden entlang einer bestimmten Kurve erh alten.
- Vollflächig inkl. bestehender Sockel und Seitenfläche.
- Der Querschnitt eines Zylinders ist in der Regel ein Rechteck, das parallel zur Figurenachse liegt. Andernfalls wird es als Flugzeug bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass Länge und Breite Teilzeitbestandteile anderer Figuren sind. Bedingt sind die Längen des Abschnitts also Generatoren. Breite - parallele Akkorde einer stereometrischen Figur.
- Axialschnitt bedeutet die Lage der Ebene durch die Körpermitte.
- Und zum Schluss die endgültige Definition. Eine Tangente ist eine Ebene, die durch die Erzeugende des Zylinders und im rechten Winkel zum Axialschnitt verläuft. In diesem Fall muss eine Bedingung erfüllt sein. Die angegebene Erzeugende muss in der Ebene des Axialschnitts enth alten sein.
Grundformeln für das Arbeiten mit einem Zylinder
Um die Frage zu beantworten, wie man die Oberfläche eines Zylinders findet, ist es notwendig, die wichtigsten "Komponenten" einer stereometrischen Figur und die Formeln zu ihrer Bestimmung zu studieren.
Diese Formeln unterscheiden sich darin, dass zuerst die Ausdrücke für den abgeschrägten Zylinder angegeben werden und dann für den geraden.
Dekonstruierte Beispiele
Aufgabe 1.
Es ist notwendig, die Fläche der Mantelfläche des Zylinders zu kennen. Die Diagonale des Schnitts AC=8 cm ist gegeben (außerdem ist sie axial). Bei Kontakt mit der Erzeugenden stellt sich heraus <ACD=30°
Entscheidung. Da die Werte der Diagonale und des Winkels bekannt sind, gilt in diesem Fall:
CD=ACcos 30°
Kommentar. Das Dreieck ACD ist in diesem speziellen Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck. Das bedeutet, dass der Quotient der Division von CD und AC=der Kosinus des gegebenen Winkels ist. Der Wert trigonometrischer Funktionen kann in einer speziellen Tabelle gefunden werden.
In ähnlicher Weise können Sie den Wert von AD finden:
AD=ACsin 30°
Jetzt müssen Sie das gewünschte Ergebnis mit der folgenden Formel berechnen: Die Fläche der Seitenfläche des Zylinders ist gleich dem doppelten Ergebnis der Multiplikation von "pi", dem Radius der Figur und ihrer Höhe. Es sollte auch eine andere Formel verwendet werden: die Fläche der Basis des Zylinders. Er ist gleich dem Ergebnis der Multiplikation von „pi“mit dem Quadrat des Radius. Und schließlich die letzte Formel: Gesamtfläche. Sie ist gleich der Summe der beiden vorherigen Bereiche.
Aufgabe 2.
Zylinder sind gegeben. Ihr Volumen=128n cm³. Welcher Zylinder hat den kleinstenvollflächig?
Entscheidung. Zuerst müssen Sie die Formeln verwenden, um das Volumen einer Figur und ihre Höhe zu ermitteln.
Da die Gesamtoberfläche eines Zylinders aus der Theorie bekannt ist, muss seine Formel angewendet werden.
Betrachtet man die resultierende Formel als Funktion der Zylinderfläche, so wird der minimale „Indikator“am Extremumpunkt erreicht. Um den letzten Wert zu erh alten, müssen Sie Differenzierung verwenden.
Formeln können in einer speziellen Tabelle zum Auffinden von Ableitungen angezeigt werden. In der Zukunft wird das gefundene Ergebnis mit Null gleichgesetzt und die Lösung der Gleichung gefunden.
Antwort: Smin wird bei h=1/32 cm, R=64 cm erreicht.
Problem 3.
Gegeben eine stereometrische Figur - ein Zylinder und ein Schnitt. Letzteres wird so ausgeführt, dass es parallel zur Achse des stereometrischen Körpers angeordnet ist. Der Zylinder hat folgende Parameter: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Es ist notwendig, den Abstand zwischen dem Abschnitt und der Achse zu finden.
Entscheidung.
Da der Querschnitt eines Zylinders VSCM ist, also ein Rechteck, ist seine Seite VM=h. WMC muss berücksichtigt werden. Das Dreieck ist rechteckig. Basierend auf dieser Aussage können wir die korrekte Annahme ableiten, dass MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Hieraus können wir schließen, dass MK=BC=8 cm.
Im nächsten Schritt zeichnest du einen Schnitt durch die Basis der Figur. Es ist notwendig, die resultierende Ebene zu berücksichtigen.
AD – Durchmesser einer stereometrischen Figur. Es ist parallel zu dem in der Problemstellung erwähnten Abschnitt.
BC ist eine gerade Linie, die auf der Ebene des bestehenden Rechtecks liegt.
ABCD ist ein Trapez. Im Einzelfall gilt er als gleichschenklig, da um ihn herum ein Kreis beschrieben wird.
Wenn Sie die Höhe des resultierenden Trapezes finden, erh alten Sie die Antwort, die am Anfang der Aufgabe gegeben wurde. Nämlich: Finden des Abstands zwischen der Achse und dem gezeichneten Abschnitt.
Dazu müssen Sie die Werte von AD und OS finden.
Antwort: Der Schnitt befindet sich 3 cm von der Achse entfernt.
Probleme bei der Konsolidierung des Materials
Beispiel 1.
Zylinder gegeben. In der weiteren Lösung wird die Mantelfläche verwendet. Andere Möglichkeiten sind bekannt. Die Fläche der Basis ist Q, die Fläche des Axialschnitts ist M. Es ist notwendig, S zu finden. Mit anderen Worten, die Gesamtfläche des Zylinders.
Beispiel 2.
Zylinder gegeben. Der laterale Oberflächenbereich muss in einem der Schritte zur Lösung des Problems gefunden werden. Es ist bekannt, dass Höhe=4 cm, Radius=2 cm. Es ist notwendig, die Gesamtfläche einer stereometrischen Figur zu finden.
